Некоторые правила алгебры комплексных чисел

Комплексным числом называется число вида

,

где = – вещественная часть комплексного числа; – коэффициент при его мнимой части; – мнимая единица.

Приведенная запись представляет собой алгебраическую форму комплексного числа. Существуют также тригонометрическая и показательная формы:

,

где ; ; е – основание натуральных логарифмов.

Величина А – модуль комплексного числа, – его аргумент.

При складывании (вычитании) комплексных чисел удобно пользоваться их алгебраической формой, если , :

.

При умножении – показательной формой:

,

где ; ; ; .

Так же при делении:

.

Если два комплексных числа ( и ) равны: = , то, следовательно, равны их вещественные и мнимые части, соответственно: , кроме того, равны их модули – и аргументы – . Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие сопряженный комплекс = .

Геометрическим изображением комплексного числа служит вектор в так называемой комплексной плоскости (рис.7), по оси абсцисс которой откладываются вещественные количества, по оси ординат – мнимые.

Рис. 7. Изображение комплексного числа вектором

Заметим, что часто для упрощения комплексное число в показательной форме записывается в виде: .

Синусоидальному току или напряжению заданной частоты ставится в соответствие его символическое изображение – комплексное число:

Þ ,

Þ ,

где , – действующие значения тока и напряжения. Символические изображения синусоидальных величин в электротехнике обозначаются точками над соответствующими выражениями. Здесь употреблены так называемые действующие комплексы. Можно пользоваться также амплитудными комплексными изображениями:

, .

Заданные источники напряжения и тока также изображаются своими символами:

Þ или ,

Þ или .

Такое соответствие между синусоидальными величинами известной частоты, с одной стороны, и комплексными числами, с другой стороны, базируется на том, что для характеристики синусоид необходимо знать их амплитуды и начальные фазы и каждое комплексное число несет в себе информацию в объеме двух количеств: вещественной и мнимой части или модуля и аргумента.

Решим обратную задачу. Пусть в результате преобразований получено изображение искомого тока в форме действующего комплекса . Необходимо восстановить функцию времени, то есть записать, как ток зависит от времени. Восстанавливаем: ток изменяется по синусоидальному закону с заданной частотой , амплитуда синусоиды равна модулю комплекса, умноженному на (например, ), начальная фаза равна аргументу изображения , и, таким образом, .

Главное достоинство символического метода состоит в том, что совокупность линейных интегро-дифференциальных уравнений, которыми в общем случае описывается линейная электрическая цепь произвольной сложности, сводится к системе алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами и комплексными правыми частями. Искомые – символические изображения токов и напряжений.