Параллельный колебательный контур и резонанс токов

Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R₁ и R₂ имеет вид, изображенный на рисунке 1.21, а.

Комплексная входная проводимость такого контура:

Y = + = G₁ + G₂ – j(B₁ – B₂) = G – jB,(1.93)

где = G₁ – jB₁; = G₂ – jB₂ – комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и емкостью соответственно.

Рисунок 1.21 – Параллельный колебательный контур с потерями

и векторные диаграммы

Из условия резонанса токов имеем j = arctg(B/G) = 0. Отсюда следует:

B = B₁ – B₂ = {wL/[R₁² + (wL)²]} – {(1/wC)/[R₂² + (1/wC)²]} = 0.(1.94)

Решив (1.94) относительно w , получим уравнение резонансной частоты

. (1.95)

Резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного выражения (т. е. при R₁ < r и R₂ < r илиR₁ > r и R₂ > r ).

Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны друг другу:

I_p1 = UB₁ = I_p2 = UB₂. (1.96)

При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения:

i₀ = U/R_0э ,(1.97)

где активное сопротивление R_0э называют эквивалентным резонансным сопротивлением параллельного контура.

Входной ток контура совпадает по фазе с приложенным напряжением. Величину R_0э можно найти из условия резонанса токов. При резонансе токовВ = 0, а эквивалентное резонансное сопротивление контура равно:

R_0э = (r ² + R₁R₂)/(R₁ + R₂) .(1.98)

Контур без потерь. Для контура без потерь (R₁ = R₂ = 0)уравнение резонансной частоты принимает вид:

w_р = w₀ = 1/ ,(1.99)

т. е. совпадает с выражением для последовательного контура. Эквивалентное сопротивление контура без потерь R_0э = µи входной ток равен нулю, а добротность обращается в бесконечность.

Контур с малыми потерями.(R₁ << r ; R₂ << r ).Резонансная частота для этого случая будет приближенно совпадать с частотой w₀. Для контура с малыми потерями можно принять, что r² >> R₁R₂, тогда:

R_0э » r ²/(R₁ + R₂) = r ²/R = Q²R,(1.100)

где R = R₁ + R₂.Ток в неразветвленной части цепи: I₀ = U/R_0э = U/(Q²R), а действующие значения токов в ветвях:

I₁ = I₂ = U/r = U/(QR).(1.101)

Отношение токов в ветвях к току в неразветвленной части цепи равно добротности контура: I₁/I₀ = I₂/I₀ = Q, т. е. ток в реактивных элементах L и С при резонансе в Q раз больше тока на входе контура(отсюда термин «резонанс токов»). На рисунке 1.21, визображена векторная диаграмма токов для этого случая.

При R₁ = R₂ = r дляw_р получаем неопределенность, при этом входное сопротивление контура будет носить чисто активный характер на любой частоте (случай безразличного резонанса).

Частотные зависимости параметров параллельного контура без потерь от частоты имеют вид:

B_L(w) = 1/(wL); B_C(w) = wC; B(w) = (1/wL) – wC; X(w) = 1/B(w) . (1.102)

На рисунке 1.22 изображены графики этих зависимостей. Из рисунка следует: при w < w₀входное сопротивление контура Х носит индуктивный, а при w > w₀ – ёмкостной характер, причём вследствие отсутствия потерь при переходе через частоту w = w₀ФЧХ контура изменяется скачком от –p/2 до p/2, а входное реактивное сопротивление контура претерпевает разрыв (|Х| = µ ). Комплексное эквивалентное сопротивление контура с малыми потерямиможно определить уравнением:

. (1.103)

Рисунок 1.22 – Частотные зависимости параллельного контура без потерь

На рисунке 1.23 изображены нормированные относительно R_0эчастотные характеристики R_э/R_0э, X_э/R_0э и Z_э/R_0э как функции обобщенной расстройки x.

Рисунок 1.23 – Нормированные частотные характеристики

параллельного контура

Фазочастотная характеристика цепи определится уравнением:

j = –arctg(X_э/R_э) = –arctgx .(1.104)

Анализ полученных зависимостей показывает, что по своему виду частотные характеристики контура с потерями существенно отличаются от характеристик контура без потерь. Прежде всего, зависимости реактивного сопротивления контура от частоты: для контура с потерями при резонансе оно оказывается равным нулю, а в контуре без потерь терпит разрыв (рисунок 1.22).

Колебательный контур подключается обычно к источнику с задающим напряжением и определённым внутренним сопротивлением R_Г. При этом напряжение на контуре определяется:

. (1.105)

При резонансе токов: . (1.106)

Определяя частотную зависимость и вводя понятиеэквивалентной добротности контура,которая определяется выражением

, (1.107)

могут быть получены АЧХ и ФЧХ относительно напряжения на контуре, нормированного к напряжению U_КР :

; . (1.108, 1.109)

На рисунке 1.24 показан характер этих зависимостей при различных сопротивлениях R_Г источника.

Рисунок 1.24 – Частотные характеристики параллельного контура

Полоса пропускания параллельного контура определяется как полоса частот, на границах которой напряжение на контуре уменьшается в раз относительно U_КР. Параллельный контур в общем случае имеет более широкую полосу, чем последовательный. И только при R_г = ¥ их полосы пропускания будут равны. Таким образом, для улучшения избирательных свойств параллелью контура его необходимо возбуждать источником тока. Параллельный контур нельзя использовать для усиления напряжения, так как всегда U_к.р < U_г.

Электрические фильтры

Фильтры применяются для выделения или подавления определенных колебаний, разделения частотных каналов, формирования спектра сигналов. Электрическим фильтром называется четырёхполюсник, пропускающий без ослабления или с малым ослаблением колебания определенных частот и пропускающий с большим ослаблением колебания других частот.

Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико, называется полосой непропускания (задерживания). Между этими полосами находится переходная область.

По расположению на шкале частот полосы пропускания различают следующие фильтры:

а) нижних частот (ФНЧ), в которых полоса пропускания располагается на шкале частот от ω = 0 до некоторой граничной частоты ω = ω_ср, а полоса непропускания (задерживания) – от частоты ω = ω_ср до бесконечно больших частот (рисунок 1.25, а);

Рисунок 1.25 – Электрические фильтры

б) верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты ω = ω_ср до бесконечно больших частот и полосой непропускания от частоты ω = 0 до ω = ω_ср (рисунок 1.25, б);

в) полосовые (ПФ) – в них полоса пропускания от ω_срн до ω_срв располагается между полосами непропускания 0–ω_З1 и ω_З2–µ (рисунок 1.25, в);

г) заграждающие (режекторные), в которых между полосами пропускания 0–ω_срн и ω_ср –µ находится полоса непропускания ω_срн–ω_срв (рисунок 1.25, г);

д) многополосные, имеющие несколько полос пропускания.

На рисунке 1.25 показаны также условные графические обозначения фильтров каждого типа в соответствии с ГОСТ. Исторически первыми (и все еще наиболее широко применяемыми) являются пассивные фильтры, содержащие элементы L и С. Во многих случаях на практике требовалась крайне высокая избирательность (различие ослаблений в полосах пропускания и непропускания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, магнито-стрикционных, электромеханических.

Требования микроминиатюризации аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах. Появились активные RС-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов). Эти фильтры могут быть выполнены в виде интегральной схемы.

Разработка цифровых систем стимулировала создание фильтров на базе элементов цифровой и вычислительной техники - цифровых фильтров.

Требования к электрическим характеристикам фильтров. Избирательность фильтра определяется крутизной характеристики рабочего ослабления. Чем больше крутизна этой характеристики и чем сильнее ослабление в полосе непропускания, тем лучше избирательность фильтра и меньше уровень помех от подавляемых колебаний. Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так,

а) рабочее ослабление в полосе пропусканияне должно превышать некоторого максимального допустимого значения А_{p max}, а в полосе непропускания не должно быть ниже некоторого минимально допустимого значения А_{p min}.

Помимо требований к частотной зависимости рабочего ослабления (а значит, ик АЧХ) могут задаваться также требования:

б) к фазочастотной характеристике фильтра (допустимые отклонения от линейного закона) и величине;

в) к нелинейным искажениям (обусловленных наличием ферромагнетика в катушках индуктивности). Могут предъявляться требования и к другим характеристикам и параметрам фильтра.

Идеальные частотные характеристики фильтра заведомо нереализуемы. Частотные характеристики реальных фильтров могут лишь приближаться к ним с той или иной степенью точности в зависимости от сложности схемы фильтра.

Необходимо сделать два замечания. В теории фильтров принято иметь дело не с обычной угловой частотой w, а с нормированной частотой Ω =w/w_н, где w_н - нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей частоты выбирают граничную частоту полосы пропускания w_ср, так что Ω = w_ср /w_н = w_ср /w_ср = 1 .

Во-вторых, имеет смысл подробно изучать только фильтры нижних частот, так как остальные типы фильтров (верхних частот, полосовые и заграждающие) могут быть легко получены из ФНЧ с помощью замены переменной (частоты).

Фильтры типа k и m.Фильтром типа k называются лестничные схемы с взаимно обратными сопротивлениями плеч . Элементарным фильтром типа k является Г-образная схема, представленная на рисунке 1.26, а. Сопротивление r = называется номинальным характеристическим сопротивлением фильтра. Из двух Г-образных фильтров можно образовать симметричные Т-образные и П-образные фильтры.

Фильтры типа k обладают двумя существенными недостатками. Во-первых, они имеют малую крутизну характеристики ослабления А_с, во-вторых, частотная зависимость характеристических сопротивлений в полосе пропускания не позволяет удовлетворительно согласовать фильтр с нагрузкой и генератором. Это приводит к потерям энергии за счет ее отражения, особенно на краях полосы пропускания, где рассогласование наибольшее.

Рисунок 1.26 – Фильтр типа k (Г-образная схема)

Чтобы избежать этих недостатков, используют фильтры типа m (рисунок 1.27), которые дают всплески ослабления А_с на частоте резонанса контуров W_µ.

Рисунок 1.27 – Фильтры типа m

Значения элементов фильтра типа m определяются значениями фильтра типа k и параметра . Фильтры типа m обладают меньшей частотной зависимостью характеристических сопротивлений в полосе пропускания и лучше согласуются с генератором и нагрузкой. Но фильтры типа тимеют в полосе непропускания глубокий спад ослабления А_с.

Обычно используют каскадное соединение фильтров типа т и k. Фильтры типа k увеличивают ослабление в полосе непропускания, а фильтры типа т поднимают крутизну характеристики ослабления вблизи частоты среза. Ввиду того, что фильтры типа т лучше согласуются с генератором и нагрузкой, их ставят по краям, а звенья типа k в середине составного фильтра.

Вопросы для самотестирования

1 Как ведёт себя полоса пропускания колебательного контура, если возрастает его добротность?

2 Как соотносятся между собой реактивные сопротивления в последовательном колебательном контуре на резонансной частоте?

3 Какой характер носит сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте?

4 Напишите формулу для определения резонансной частоты последовательного колебательного контура.

5 Могут ли вносить нелинейные искажения в передаваемый сигнал пассивные фильтры?

1.10 Переходные процессы в цепи RC

Значительный практический интерес представляют нестационарные явления, возникающие при заряде и разряде емкости. Предположим, что цепь на рисунке 1.28 в момент t = 0 подключается к источнику внешнего напряжения. Запишем для этой цепи второй закон Кирхгофа вследующем виде:

u_с + u_r = e(t), t ³ 0.(1.110)

Рисунок 1.28 – Заряд ёмкости через сопротивление

Учитывая, что ток в цепи i = С и u_r = ir = rC , формулу (1.110) можно записать следующим образом:

.(1.111)

Полученное равенство представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией u_c. Общее решение уравнения можно записать в виде суммы свободной u_св и вынужденной и_в составляющих напряжения:

, (1.112)

где t_ц = rC –постоянная времени цепиrС.

Рассмотрим пример переходного процесса, если цепь rС подключается к источнику постоянного напряжения U₀, афункция е(t) имеет вид скачка напряжения. Величина и_в в этом случае должна быть равна внешнему напряжению U₀, так как при t ® µемкость заряжается до напряжения источника питания. Следовательно,

_.(1.113)

Для определения постоянной интегрирования А введем начальные условия. Будем иметь u_c(0+) = u_c(0–) = 0, откуда вытекает, что А = –U₀.Таким образом, при t ³ 0:

; .(1.114, 1.115)

Из последнего выражения видно, что напряжение на емкости в процессе заряда возрастает по экспоненциаль ному закону, стремясь к величине U₀(рисунок 1.29).

Рисунок 1.29 – Переходной процесс в rC цепи

при включении постоянного напряжения

Скорость заряда ем кости зависит от постоянной временя цепи: чем больше величина емкости и активного сопротивления, определяющих t_Ц, тем медленнее растет напряжение u_c. Ток

(1.116)

с течением времени убывает по экспоненте. Аналогично изменяется и напряжение на активном сопротивлении:

_. (1.117)

Если напряжение на емкости к моменту включения равно U_н,начальные условия должны быть записаны в виде: U_c (0+) = U_c(0–) = U_н . В этом случае напряжение u_c определяется формулой

. (1.118)