ЗАНЯТИЕ № 1. Примеры расчета характеристик надежности объектов.

ДИАГНОСТИКА И НАДЕЖНОСТЬ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ

СИСТЕМ

УПРАЖНЕНИЯ

ЗАНЯТИЕ № 1. Примеры расчета характеристик надежности объектов.

ПРИМЕР 1.Изделие содержит 8 независимо работающих элементов, вероятность отказа каждого из которых в течение года р = 0,1. Найти вероятность отказа ни одного, одного, двух и не менее двух элементов.

О независимых элементах (независимых отказах) – костяшки домино.

Число X отказавших элементов в группе n из независимых элементов это дискретная случайная величина с возможными значениями 0,1,2,…, n. Онаподчиняется биномиальному закону. Это легко показать, пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей. Так, вероятность не отказа ни одного элемента это вероятность произведения независимых событий, заключающихся в безотказной работе каждого элемента. Каждое такое событие имеет вероятность (1- р). Получим

P(X =0) = (1- р)ⁿ.

Вероятность отказа одного конкретного элемента и не отказа остальных (n-1) элементов на том же основании равна

р(1- р)ⁿ.

Вероятность отказа одного любого из n элементов и не отказа остальных равна сумме вероятностей несовместных событий, относящихся к каждому конкретному элементу. Отсюда

P(X =1) = nр(1- р)ⁿ.

В случае двух отказов несовместными событиями будут отказы различных пар элементов при безотказной работе остальных (n – 2). Число таких событий равно С_n²– числу сочетаний из n по 2, а вероятность каждого из них р²(1- р)^n-2. Отсюда

P(X =2) = С_n²р² (1- р)^n-2.

В общем случае

P(X =k) = С_n^kр² (1- р)^n-k. (1)

Как известно,

С_n^k = n!/(k!(n-k)!).

Теперь вернемся к примеру. Имеем: n = 8, р = 0,1 и далее

P(X =0) = (1-0,1)⁸ = 0,430;

P(X =1) = 8∙0,1∙(1-0,1)⁷ = 0,383;

8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙

P(X =2) = ---------------- (0,1)²(1- 0,1)⁶ = 0,149;

2∙6∙5∙4∙3∙2∙

P(X >=2) = 1 - P(X =0) - P(X = 1) = 0,187.

ПРИМЕР 2. Изделие содержит n = 1000 независимо работающих элементов, вероятность отказа каждого из которых в течение года р = 0,001. Найти вероятность отказа ни одного, одного, двух и не менее двух элементов.

Для упрощения вычислений воспользуемся тем, что при неограниченном увеличении n и при одновременном уменьшении р по формуле р= a/n биномиальный закон переходит в распределение Пуассона с параметром a

P(X =k) = a^k/k! e^-a . (2)

Формулой (2) можно пользоваться и при ограниченных, но достаточно больших по сравнению с k значениях n. Заметные погрешности возникают лишь при k, близких к n.

В примере a = рn = 1, а n достаточно велико. Согласно (2)

P(X =0) = e^-1 = 0,368;

P(X =1) = e^-1 = 0,368;

P(X =2) = ½ e^-1 = 0,184;

P(X>1) = 1-0,368-0,368 = 0,264;

ЗАНЯТИЕ № 2. Оценка средней наработки до отказа (математического ожидания времени безотказной работы) по опытным данным. Доверительные интервалы и доверительные вероятности (А.А. Свешников Сб.задач по теории вероятностей и матем. статистике, 1970, с.405.).

Пусть в результате испытаний (опыта) найдена оценка m математического ожидания времени безотказной работы τ .

Доверительной вероятностью α называется вероятность того, что истинное значение математического ожидания m лежит в интервале от m₁ до m₂

P(m₁ < m < m₂ ) = α .

Интервал [m₁ , m₂] называется доверительным интервалом. Его границы m_1, m₂ определяются по найденной оценке m, а вероятность α выбирается достаточно близкой к 1, чтобы суждение об интервале было по возможности безошибочным.

Понятия доверительных интервалов и вероятностей распространяются на оценки многих числовых характеристик случайных величин, но здесь они будут подробно рассмотрены только применительно к m и только для случая, когда τ распределено по экспоненциальному закону, а m находится как среднее арифметическое фактически наблюдавшихся при испытаниях значений τ₁, τ₂,…, τ_N времени безотказной работы N испытуемых изделий

m = ( τ₁ + τ₂+…+ τ_N)/ N. (1)

Процедура в этом случае такова.

1. Вычисляется m по формуле (1).

2. Назначается доверительная вероятность из ряда 0,8; 0,9; 0,95; 0.99

(вообще говоря, допустимы и другие значения).

3. Находятся границы доверительного интервала m₁ , m₂ по определенным формулам и специальным статистическим таблицам (имеются во многих литературных источниках), выбор которых обусловлен тем, что при упомянутых условиях вид распределения случайной величины m известен (это Г-распределение). Таблицы представляют собой по существу таблицы других функций распределения, так или иначе связанных с Г-распределением.

При n < 15 m₁ , m₂ находятся по формулам

m₁ = ν₁ m , m₂ = ν₂ m, (2)

ν₁ = 2 N /χ²_δ , ν₂ = 2 N /χ²_1-δ . (3)

Величины χ²_δ и χ²_1-δ находятся по таблицам χ²- распределения. Эти таблицы имеют два входа, именуемых обычно «вероятность» и «число степеней свободы». Распространенные обозначения для них – p и r (в разных литературных источниках могут встретиться и другие). Значения χ² располагаются в поле таблицы (см. приложение из книги Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров, Теория вероятностей и ее инженерные приложения, 1988). Для использования таблицы следует положить

r = 2 N , (4)

χ²_δ найти при p = δ, а χ²_{1 -δ} – при p = 1- δ. Сама величина δ связана с α формулой

δ = (1 – α)/2. (5)

Пример 1.При испытаниях 10 однотипных приборов получено

i
τi , час

Найти оценку m и доверительный интервал при доверительной вероятности 0,9.

Оценка по формуле (1) при N = 10

m =4250/10 = 425 час.

Согласно (4) и (5)

r = 20, δ = 0,05; 1- δ = 0,95.

По таблице находим

χ²_δ = 31,4; χ²_{1 -δ} = 10,85.

По формулам (2) и (3)

ν₁ = 20/31,4 = 0,637; ν₂ = 20/10,85 = 1,84;

m₁ = 425∙0,637 = 271 час; m₂ = 425∙1,84 = 783час.

Таким образом, с вероятностью 0,9 истинное значение m лежит в пределах от 271 до 783 час.█

Некоторые авторы настаивают на формулировке «с вероятностью 0,9 интервал [271,784] накрывает истинное значение m». С вероятностью 0,9 Иван женится на Марье или Марья выйдет за Ивана.

С уменьшением доверительной вероятности доверительный интервал увеличивается.

Пример 2. Рассчитать границы доверительного интервала при α = 0,8; 0,6 , сохранив прочие данные из примера 1.

Ответ: m₁ = 299 час, m₂ = 684час;

m₁ = 340 час, m₂ = 582час. █

Для справки:

α	m1, час	m2, час
0,6
0,8
0,9
0,96
0,98

См. график.

Для α=0,96; 0,98 использована таблица из Корн, Корн стр. 551.

При n > 15 распределение χ² становится очень близким к нормальному, что позволяет пользоваться соответствующими таблицами и вносит изменения в расчетные формулы

m₁ =4 mN/(√(4N-1) +ε₀)², m₂ =4 mN/(√(4N-1) - ε₀)², (6)

где ε₀ является решением уравнения

α/2 = Φ(ε₀), (7)

в котором Φ(ε₀) = – специальная функция, именуемая интегралом вероятности или функцией Лапласа.

Таблицы этой функции имеют в качестве входа значение ε₀ (могут быть и другие обозначения – х, например), а в поле таблицы помещаются значения Φ(ε₀). Для нахождения ε₀ следует найти в поле ближайшее к α/2 число, а затем – соответствующее значение входа.

Пример3. Сумма времен безотказной работы 25 изделий составила 1600 час. Найти оценку m и границы доверительного интервала для доверительной вероятности α=0,8.

Находим m = 1600/25 = 64 час. По таблицам функции Лапласа определяем ближайшее к α/2 =0,4 число Φ(ε₀) = 0.39973 и соответствующее ему значение ε₀ = 1,28.

По формулам (6) находим

m₁ =4∙1600/(√99 +1,28)²=50,5 час; m₂ =4∙1600/(√99 - 1,28)²=84 час.█

С увеличением объема испытаний n доверительный интервал уменьшается.

Пример 4. Пусть по результатам испытаний получено m = 64 час. Найти границы доверительного интервала для α=0,8, считая, что испытаниям подвергались 250, 2500, 25000 изделий.

Ответ: m₁ = 59,2 час, m₂ = 69,5час.

m₁ = 62,4 час, m₂ = 65,7час.

m₁ = 63,5 час, m₂ = 64,5час.

Построить график зависимости m₁, m₂ от N в полулогарифмическом масштабе (см.) █