Отклик нелинейной цепи на гармонический сигнал.
Как уже отмечалось ранее, существенно упростить анализ процессов в нелинейной радиоэлектронной цепи удается при ее теоретическом представлении последовательно соединенными безынерционным нелинейным элементом и линейной цепью – фильтром. Проанализируем физические процессы, протекающие в нелинейной цепи (рис.2.4. а), при воздействии на вход безынерционного нелинейного элемента z гармонического сигнала u1(t)=Umcosωt и постоянного напряжения смещения Uo. Испоьзуя вольтамперную характеристику нелинейного элемента и проведя несложные графические построения, найдем аналитическую запись формы тока в радиоэлектронной цепи в зависимости от фазового угла ν=ωt (рис. 2.4, б, в). Вследствие нелинейности характеристики форма тока на выходе цепи становится несинусоидальной. Причину этого искажения гармонического колебания нетрудно пояснить следующим образом. Так как ток и напряжение связаны линейной зависимостью ∆i = S ∆u, а крутизна ВАХ на разных участках неодинаковая (имеет нелинейный характер), то равным приращениям напряжения отвечают неравные приращения тока.
Рис. 2.4. Цепь с нелинейным элементом:
а – схема; б, в – графики процессов.
Поскольку функция тока обладает периодичностью (рис.2.4, в), то ее можно представить тригонометрическим рядом Фурье:
i(t)=Io+ Incosnωt. (2.5)
Здесь Io и In – амплитуды постоянной и гармонических составляющих.
Спектр тока в цепи с НЭ при степенной аппроксимации. Пусть суммарное напряжение источников смещения и входного гармонического сигнала
u(t)=Uo+Umcosωt (2.6)
приложено к нелинейному элементу, вольтамперная характеристика которого в окрестности рабочей точки аппроксимирована полиномом Тэйлора вида:
i(u)=ao+a1(u-Uo)+a2(u-Uo)2+a3(u-Uo)3+… (2.7)
Подставив формулу (2.6) в (2.7), получим
i(u)=ao+a1Umcosωt+a2Um2cos2ωt+ a3Um3cos3ωt+…
Используя известные формулы разложения степеней косинусов:
cos2x= (1+cos2x); cos3x=
(3cosx+cos3x); cos4x=
(3+4cos2x+cos4x); и т.д.
запишем общее выражение для тока нелинейной цепи, сгруппировав отдельно постоянные составляющие и все члены с косинусами одинаковых аргументов:
i(t)=(ao+ a2Um2+
a4Um4+…)+(a1Um+
a3Um3+
a5Um5+…)cosωt+(
a2Um2+
a4Um4+…)cos2ωt+(
a3Um3+
a5Um5+…)cos3ωt+… (2.8)
Представленное в более компактной форме соотношение (2.8) примет вид
i(t)=Io+I1cosωt+ I2cos2ωt+ I3cos2ωt+ … (2.9)
Здесь постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока:
Io=ao+ a2Um2+
a4Um4+…;
I1= a1Um+ a3Um3+
a5Um5+…;
I2= a2Um2+
a4Um4+…;
I3= a3Um3+
a5Um5+… . (2.10)
Анализ состава этих формул показывает, что при степенной аппроксимации гармонический состав тока в цепи с НЭ существенно зависит от степени полинома. При этом постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются четными, а амплитуды нечетных гармоник – нечетными коэффициентами степенного полинома.
Спектр тока в цепи с НЭ при кусочно-линейной аппроксимации его характеристики.Пусть суммарное гармоническое и постоянное напряжение вида (2.6) подается на вход электрической цепи с НЭ, характеристика которого аппроксимирована кусочно-линейной линией и описывается формулой (2.4). В этом случае временная диаграмма тока, протекающего через НЭ цепи, имеет форму косинусоидальных импульсов с отсечкой их нижней части (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Форма тока при кусочно-линейной аппроксимации характеристики НЭ.
Параметр θ (в радианах или градусах), при котором ток изменяется от максимального значения Im до нуля, называется углом отсечки. Изменение фазы, соответствующее длительности полного импульса тока на выходе цепи, равно 2θ. Из графиков на рис. 2.5. нетрудно определить, что при фазовом угле ωt=0 напряжение начала характеристики Ен=Uo+Umcosθ, откуда
сosθ=(Ен- Uo)/ Um (2.11)
Подставив в формулу (2.4) суммарное напряжение источников сигнала и смещения из выражения (2.6) и напряжение начала характеристики Ен, получим аналитическую запись формы тока в зависимости от фазового угла:
i(ωt)=SUm(cosωt-cosθ), -θ<ωt<θ (2.12)
Полученную четную функцию i(ωt) периодической последовательности импульсов тока (2.12) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье, в котором период повторения составляет 2π, длительность импульса – 2θ, а текущий переменной является мгновенный фазовый угол ν= ωt. В этих импульсах тока постоянная составляющая запишется следующим образом:
Io= (cosωt-cosθ)dωt=
(sinθ-θcosθ). (2.13)
Амплитуда первой гармоники
I1= (cosωt-cosθ)cosωtdωt=
(θ-sinθcosθ). (2.14)
Подобным же образом определяются амплитуды гармонических составляющих In и для n=2,3, … . При этом обобщенная формула для вычисления этих гармоник будет:
In= . (2.15)
В радиотехнике полученные результаты принято записывать в специальной форме:
Io=SUmγo; I1=SUmγ1; …; In=SUmγn; (2.16)
Здесь γo, γ1, …, γn – так называемые функции Берга, или коэффициенты гармоник, отражающие величины присутствующих гармоник в спектре преобразованного тока, которые аналитически выглядят следующим образом:
γn= (sinθ-θcosθ),
γn= (sinθ-θcosθ),
γn=
, n=2.3, … (2.17)
Пример 2.3.Характеристика нелинейного элемента имеет кусочно-линейную аппроксимацию двумя отрезками, у которой Ен=0,6 В, S=0,25 мА/в. На элемент воздействует суммарное (постоянное и переменное) напряжение u(t)=0,2+0,8cosωt В. Определить постоянную составляющую и первую гармонику тока, протекающих через нелинейный элемент цепи.
Решение. Воспользовавшись формулой (2.11), находим, что cosθ=0,6- 0,2)/0,8=0,5. Отсюда угол отсечки тока, протекающий через нелинейный элемент, θ=60о. Два первых коэффициента гармоник, соответствующие этому углу, будут γо=0,11; γ1=0,2. Подставив последовательно эти значения в соотношение (2.16), вычисляем соответственно амплитуды постоянной составляющей и первой гармоники: Io=2 мА, I1=4 мА.
Коэффициенты гармоник очень часто используются в инженерных расчетах, например, при проектировании схем нелинейных усилителей мощности, умножителей частоты и автогенераторов. Поэтому они приводятся в специальной технической литературе.
Лекция №10.