Представление периодических функций рядом Фурье

Все периодические сигналы (напряжения, токи), отличные от гармонических, называются негармоническими. Они характеризуются периодом Т, формой и размахом напряжения или тока (U_p или I_p). Математически такой сигнал, как функция времени, удовлетворяет условию:

Если эта функция удовлетворяет ряду условий, называемых условиями Дирихле, (в пределах периода Т функция f(x) непрерывна, либо имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов), то такая функция может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда Фурье. Сумма этого ряда совпадает со значениями f(t) во всех точках непрерывности, а в точках разрыва дает среднее арифметическое предельных значений функции при приближении к точке разрыва слева f(t-) и справа f(t+).

Если обозначить w=2p/Т (частота основной или первой гармоники), то ряд Фурье в тригонометрической форме можно записать:

(2.1)

где

(2.2)

- постоянная составляющая, a_n, b_n - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов ряда. Как следует из (2.1), ряд Фурье содержит только кратные основной частоте гармонические слагаемые, поскольку n принимает только целые значения, и называется номером гармоники. Все гармоники, кроме первой, называются высшими гармониками.

Можно показать, что значения a_n и b_n не зависят от выбора t₀. Поэтому, положив t₀.=0. Поэтому, положив t₀.=0 и введя новую переменную с учетом, что и , формулы (2.1) и (2.2) можно переписать:

(2.3)

(2.4)

Если вспомнить соотношение из тригонометрии:

(2.5)

откуда

и (2.6)

то ряд Фурье запишется в виде:

. (2.7)

либо , (2.8)

где (2.9)

Очень часто периодические функции электрических или магнитных величин обладают некоторым видом симметрии, что значительно упрощает разложение такой функции в ряд Фурье. Отметим некоторые виды симметрии:

1. Функция f(a) симметрична относительно оси ординат

(рис.1).

В этом случае , т.е. функция четная. Из тригонометрических функций четной является только косинус, а синус – нечетная. Поэтому синусоиды не входят в состав ряда Фурье таких функций, т.е.

, (2.10)

т.е. четная функция может содержать только косинусоиды и постоянную составляющую. Важное свойство четных функций: для определения коэффициентов а_n достаточно пользоваться кривой f(a) за половину периода, т.е.

(2.11)

2. Функция f(a) симметрична относительно начала координат (рис.2).

В этом случае выполняется условие f(-a)= -f(a). Такие функции называются нечетными. Этому условию не удовлетворяют постоянная составляющая и косинусоиды, поэтому при данном виде симметрии ряд содержит только синусоиды.

, (2.12)

т.е. нечетная функция может содержать только синусоиды. Здесь также для определения коэффициентов b_n достаточно пользоваться кривой f(a) за половину периода, т.е.

(2.13)

3. Функция f(a) симметрична относительно оси абсцисс, если её дополнить той же функцией, смещенной на полпериода (рис. 3).

Такая функция удовлетворяет условию: f(a)= -f(a+p). Заменив f(a) по формуле (2.3), получим:

откуда для четных n получим:

.

Это условие выполняется при произвольных значениях a только в том случае, когда a₀=0 и a_n=b_n=0 для четных n. То есть, при данном виде симметрии

. (2.14)

Поэтому, функция с данным видом симметрии содержит только нечетные гармоники. Коэффициенты a_n и b_n можно вычислять по формулам (2.11) и (2.13).

При разложении периодической функции в ряд Фурье следует сначала проанализировать её на наличие каких-либо видов симметрии. Если они имеются, то этот факт позволяет предсказать, какие гармоники не войдут в разложение. Если, например, одновременно выполняются условия симметрии по п.п. 1 и 3, то в разложении будут только нечетные синусоиды.

Часто для придания функции симметрии относительно оси ординат бывает необходимо перенести начало отсчета. На рис. 4 показана однополупериодная синусоида. Если сместить начало отсчета на отрезок b, то кривая становится симметричной относительно оси абсцисс.

Пусть для некоторой функции f(a) известно разложение в ряд Фурье, т.е. заданы коэффициенты a_n и b_n:

.

Если сместить начало отсчета на отрезок b вправо или налево относительно исходного положения, то разложение функции в новой координатной системе получается заменой a на a₁ +b₁, где a₁ – абсцисса в новой системе координат; b >0 – соответствует смещению нового начала координат вправо, b <0 – влево.

(2.15)

Используя известные соотношения для тригонометрических функций:

,

выражение под знаком суммы формулы (2.3) можно переписать:

Из формул (2.4) нетрудно определить, что a_n – четная функция n, а b_n – нечетная, т.е. a_n=a_-n; b_n= -b_-n. Кроме того, .

Поэтому ряд Фурье можно записать в следующем виде:

, (2.16)

где

(2.17)

называется комплексной амплитудой n-ой гармоники. Формула (2.16) – ряд Фурье в комплексной форме.