Основные положения квантовой физики

Электропроводность создается свободными электронами, способными покинуть атомы. Такой способностью обладают только валентные электроны. Поэтому в дальнейшем речь пойдет только об электронах, находящихся на энергетических уровнях валентной зоны.

Квантовая физика исходит из того, что электроны могут находиться на строго определенных энергетических уровнях, энергетическая плотность которых вблизи границ энергетических зон изменяется по параболическому закону (рис. 1.20, а):

(1.14)

где — эффективная масса электрона, учитывающая взаимодействие электро­на с периодическим полем кристаллической решетки, то есть это масса свободно­го электрона, который под действием внешней силы смог бы приобрести такое же ускорение, как и электрон в кристалле под действием той же силы.

В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне могут нахо­диться два электрона с противоположными спинами. Если концентрация свобод­ных электронов равна п, то при температуре абсолютного нуля они займут n/2 самых низких энергетических уровней. Наиболее высокий из занятых уровней называется уровнем Ферми и обозначается E_F. При нагреве кристалла электронам сообщается тепловая энергия порядка k*T, вследствие чего некоторые электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, переходят на более высокие энергетические уровни. Избыток энергии, получаемый электронами при нагреве проводника, очень незначителен по сравнению с энергией Ферми, при комнатной температу­ре он равен 0,026 эВ (1 эВ = 1,6-10^-19 Дж). Поэтому средняя энергия свободных электронов сохраняется практически неизменной, а незначительное изменение средней энергии означает малую теплоемкость электронного газа.

В квантовой теории вероятность заполнения энергетических уровней электрона­ми определяется функцией Ферми—Дирака (рис 1.20, б):

(1.15)

Из (1.15) следует, что уровень Ферми представляет собой энергетический уро­вень, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Распределение электронов по энергиям (рис 1.20, в) определяется энергетической плотностью разрешенных уровней и вероятностью их заполнения:

Концентрация электронов может быть найдена путем интегрирования по всем заполненным состояниям:

(1.16)

Если считать, что атомы в металле ионизированы однократно, то концентрация свободных электронов будет равна концентрации атомов, которая рассчитывает­ся по формуле

где d — плотность материала;

А — атомная масса;

N_o — число Авогадро (6,02*10²³ моль^-1).

Следовательно, уровень Ферми, отсчитанный от дна валентной зоны, может быть найден из уравнения (1.16):

(1.17)

Величина Ферми для различных металлов лежит в пределах от 3 до 15 эВ.

Если в проводнике создать электрическое поле с напряженностью , то электроны. Расположенные вблизи уровня Ферми, переходят на более высокие энергетические уровни, приобретая добавочную скорость направленного движения

где — время свободного пробега;

и_F — тепловая скорость быстрых электронов, обладающих энергией, близкой к энергии E_F.

Электроны, находящиеся на глубинных уровнях, вероятность заполнения кото­рых равна 1, непосредственно реагировать на внешнее поле не могут, так как все ближайшие энергетические уровни заняты.. Однако несмотря на это они участву­ют в процессе электропроводности, перемещаясь на более высокие энергетиче­ские уровни по мере их освобождения. Поле начинает влиять на эти электроны тогда, когда они оказываются вблизи уровня Ферми. Таким образом, под действи­ем поля в движение приходит весь «коллектив» электронов. Скорость движения этого «коллектива» определяется скоростью движения электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. С учетом этого обстоятельства выражение для плотности тока принимает вид

(1.18)

Где - удельная электрическая проводимость.

Учтем, что

Найдем отсюда *u_F и, подставив найденное значение в (1.18), получим

(1.19)

Концентрация свободных электронов в чистых металлах огромна и различается незначи­тельно. Поэтому удельная электрическая проводимость металлов определяется средней длиной свободного пробега электронов, которая зависит от структуры атомов и типа кристаллической решетки, то есть подвижностью μ: