Приклад розв’язування задачі. Короткі теоретичні відомості

РОЗДІЛ 2. РОЗРАХУНКИ ПАРАМЕТРІВ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ МАТЕРІАЛІВ

Короткі теоретичні відомості

Напівпровідникові матеріали є основними для створення напівпровідникових інтегрованих мікросхем і активних компонентів для гібридних ІМС.

Основні фізичні властивості найпоширеніших напівпровідникових матеріалів наведено в табл. Д.1.1.

Питома провідність напівпровідників

Питому провідність власних напівпровідників розраховують за виразом:

,

(2.1)

де q – заряд електрона або дірки; n_i, p_i – концентрації власних носіїв; m_n, m_p – рухливість електронів і дірок, відповідно. Оскільки n_i = p_i :

.

(2.2)

Питомий опір власних напівпровідників розраховують за виразом:

(2.3)

Концентрація носіїв заряду і питома провідність домішкових напівпровідників.За температури 300 К усі атоми широко вживаних донорних домішок будуть іонізовані. Концентрація електронів у зоні провідності за умов рівноваги приблизно дорівнює концентрації атомів донорної домішки :

(2.4)

де N_D - концентрація донорних атомів домішки.

Концентрацію неосновних носіїв за умов рівноваги визначають за законом діючих мас:

.

(2.5)

Визначальною в питомій провідності домішкового напівпровідника n – типу є домішкова електронна провідність :

(2.6)

Питомий опір є величина зворотна питомій провідності :

(2.7)

Для розрахунків питомої провідності домішкових напівпровідників p-типу можна скористатися виразами (2.4) – (2.7), урахувавши, що основними носіями будуть дірки. За умов рівноваги концентрація дірок у валентній зоні приблизно дорівнює концентрації атомів акцепторної домішки

(2.8)

де N_A - концентрація акцепторних атомів домішки .

Концентрацію неосновних носіїв у напівпровіднику p – типу розраховують за виразом:

.

(2.9)

Питому провідність і питомий опір напівпровідника p – типу визначають за виразами:

,	(2.10)
	(2.11)

Залежність питомого опору силіцію за кімнатної температури від концентрації донорної або акцепторної домішки зображено на рис. 2.1.

Потенціал Фермі

Положення рівня Фермі власного напівпровідника E_i збігається із серединою забороненої зони. Якщо ж чистий напівпровідник легувати домішками, то рівень Фермі домішкового напівпровідника n-типу E_Fn зміщується на величину DE відносно E_i у напрямку до зони провідності

(2.12)

а рівень Фермі домішкового напівпровідника p-типу E_Fp зміщується в напрямку до валентної зони на величину відносно E_i

(2.13)

Співвідношення між DE і концентрацією електронів у напівпровіднику n-типу за умов рівноваги визначається за виразом :

(2.14)

Величину зміщення рівня Фермі відносно середини забороненої зони розраховують за виразом :

(2.15)

Електрони є основними носіями для напівпровідника n-типу. Концентрацію неосновних носіїв (дірок) у напівпровіднику n-типу розраховують за виразом :

(2.15)

Відповідні співвідношення між величиною зміщення рівня Фермі відносно середини забороненої і основними й неосновними носіями в домішковому напівпровіднику p-типу можемо записати :

	(2.16)
	(2.17)

Величина, що характеризує зміщення рівня Фермі домішкового напівпровідника відносно рівня Фермі власного напівпровідника називається потенціалом Фермі j_F :

	(2.18)
- ,	(2.19)

де тепловий потенціал.

За відомих значень потенціалів Фермі концентрації основних носіїв у відповідних зонах розраховують за виразами :

	(2.20)
	(2.21)

Любій відомій концентрації донорних або акцепторних атомів відповідає значення потенціалу Фермі (2.18), (2.19) і рівня Фермі (2.12), (2.13).

Рухливість носіїв. Дрейфова швидкість носіїв заряду прямо пропорційна напруженості електричного поля за умови, якщо v_др багато менша швидкості теплового руху носіїв (1.10⁵ м/с). Коефіцієнт пропорційності між дрейфовою швидкістю й напруженістю електричного поля називають рухливістю носія і позначають m

vдр = m ξ .

(2.22)

Рухливість носіїв залежить також від загальної концентрації домішок у силіції. На рис. 2.2 зображено залежність рухливості електронів і дірок від їх концентрації за слабкої напруженості електричного поля ξ (меншої 1.10⁵ В/м ) за нормальної (300 К) температури. Рухливість електронів приблизно в три рази вища рухливості дірок. За низької концентрації домішки (£1.10²⁰ атом/м³), нормальної температури і слабкого електричного поля рухливість електронів m_n » 0,135 м² /(В.с), а рухливість дірок m_p » 4,8.10^-2 м²/(В.с).

Дрейфовий струм

Дрейфовий струм виникає за умови існування електричного поля в напівпровіднику. Електричне поле в напівпровіднику може бути створене як зовнішнім джерелом живлення, так і за рахунок перерозподілення зарядів у напівпровіднику.

Щільність дрейфового струму розраховують за формулами:

Jдр=Jдр.n+Jдр.p,	(2.23)
	(2.24)

де v_др.n і v_др.p - швидкості дрейфу електронів і дірок.

Для малих значень напруженості електричного поля ξ зберігається лінійна залежність між дрейфовою швидкістю v_др і напруженістю електричного поля ξ. Тому J_др розраховують за виразом :

ξ .

(2.25)

Оскільки концентрація основних носіїв n_n і p_p у відповідних напівпровідниках у 1.10¹⁰ і більше разів перевищує концентрацію неосновних носіїв, то щільність дрейфового струму (2.25) для напівпровідника, легованого донорною домішкою, розраховують за виразом :

ξ,

(2.26)

а для напівпровідника, легованого акцепторною домішкою за виразом :

ξ.

(2.27)

Співвідношення між прикладеним електричним полем і щільністю струму J_др визначають законом Ома :

ξ,

(2.28)

де - питома провідність напівпровідника.

Для домішкових напівпровідників питома провідність буде залежати від переважаючого типу носіїв. За нормальної температури (300 К) і умов рівноваги , a .

Дифузійний струм

Щільність дифузійного струму електронів пропорційна градієнту концентрації електронів і для одновимірного випадку

(2.29)

де D_n - коефіцієнт дифузії електронів ; - градієнт концентрації електронів у напрямку руху. Знак мінус указує на те, що дифузія електронів відбувається у напрямку їх меншої концентрації.

Коефіцієнт дифузії електронів визначають за формулою Ейнштейна:

(2.30)

Вирази (2.29 і 2.30) можна використати для розрахунків щільності струму дифузії дірок.

Коефіцієнт дифузії електронів D_n або дірок D_p характеризує ступінь легкості проходження носіїв у кристалі. Для силіцію з низьким рівнем легування рухливість електронів і дірок буде відповідно m_n » 0,135 м²/(Вс) і m_p » 4,8.10^-2 м²/(Вс). Оскільки величина kT/q за нормальної температури дорівнює приблизно 0,026 В, то розраховані значення коефіцієнтів дифузії будуть D_n » 3,5.10^-3 м²/c і D_p »1,25.10^-3 м²/c.

Довжину вільного пробігу рухливого заряду (дифузійну довжину носіїв заряду) L_n і L_p визначають за формулами:

	(2.31)
	(2.32)

де t - термін життя неосновних носіїв: t_n - електронів і t_p - дірок.

Приклад розв’язування задачі

Умова задачі.

Силіцієвий зразок p – типу провідності з питомим опором 0,2 Ом×м і розмірами: довжина 5 мм, ширина 1 мм і висота 1 мм, ввімкнено в електричне коло з напругою між протилежними гранями по довжині 10 В. Рухливість електронів і дірок дорівнює відповідно 0,130 і 0,048 м2/(В×с).

Розрахувати:

1) питому провідність;

2) опір зразка;

3) концентрації основних і неосновних носіїв;

4) відношення електронної питомої провідності до діркової;

5) дрейфові швидкості дірок і електронів;

6) коефіцієнти дифузії дірок і електронів;

7) дрейфові струми електронів і дірок;

8) повний дрейфовий струм.

Розв’язування задачі

1. Питому провідність визначають за формулою (2.3):

,
См/м.

2. Опір зразка розраховують за формулою :

,

Ом.

3. Концентрацію акцепторів визначають за формулою для розрахунків питомої провідності власного напівпровідника (2.1):

,

Виконують необхідні спрощення і перетворення і отримують рівняння:

Розв’язують останнє рівняння відносно p_p. Це буде концентрація основних носіїв – дірок у силіцієвому зразку

м-3.

Концентрація акцепторної домішки буде N_A = 6,5×10²⁰ м^-3.

4. Концентрацію неосновних носіїв визначають за законом діючих мас (2.5):

м-3.

5. Визначають відношення електронної питомої провідності до діркової:

6. Дрейфові швидкості дірок і електронів визначають за формулою (2.22):

ξ ,

м/c ,

м/c .

7. Коефіцієнти дифузії дірок і електронів визначають за формулою (2.30):

,

м2/c,

м2/с.

8. Дрейфовий струм дірок і електронів визначають за формулами (2.27) і (2.26) з урахуванням площі перетину зразка:

ξ = мА,

ξ = А.

9. Повний дрейфовий струм визначають за формулою (2.25) з урахуванням площі перетину зразка:

ξ ,

мА.

Рекомендована література

1. Прищепа М. М. Мікроелектроніка. В 3 ч. Ч. 1. Елементи мікроелектроніки [Текст]: навч. посіб. / М. М. Прищепа, В. П. Погребняк. / За ред. М. М. Прищепи. – К.: Вища шк., 2004. – 431 с.: іл.

2. Прищепа М. М. Мікроелектроніка. Елементи мікросхем. Збірник задач. [Текст]: навч. посіб. / М. М. Прищепа, В. П. Погребняк. / За ред. М. М. Прищепи. – К.: Вища шк., 2005. – 167 с.: іл.

3. Интегральные схемы на МДП – приборах: Пер. с англ. / Под ред. А. Н. Кармазинского. – М.: Мир, 1975. – 513 с.

РОЗДІЛ 3. РОЗРАХУНКИ І ПРОЕКТУВАННЯ ІНТЕГРОВАНИХ ДIОДІВ