Математические модели и эквивалентные схемы

При подаче на вход высокого уровня напряжения напряжение , эмиттерный переход открывается, и резко увеличивается ток коллектора , а напряжение , в соответствии с (3.8), резко уменьшается. При большом токе напряжениена коллекторном переходе становится прямым, коллекторный переход открывается, и транзистор переходит в режим насыщения. В этом случае выходное на-пряжение 0,1 В и ниже. Такое состояние ключа называ-ется открытым.

Режим насыщения можно рассматривать как суперпозицию активного и инверсного режимов. При этом прямой поток электронов из эмиттера в коллектор и, соответственно, создаваемый им ток на первый взгляд должны уменьшаться за счет инверсного потока из коллектора в эмиттер. Однако, поскольку прямое напряжение , отпирающее коллекторный пере-ход, образуется за счет падения напряжения на резисторе , которое вызыва-ется именно током , уменьшение тока коллектора не происходит, а только насыщается его рост, и ток достигает значения .

Отметим также, что в режиме насыщения дифференциальные входное и выходное сопротивления транзистора, как правило, оказываются значительно ниже сопротивлений резисторов и .Поэтому токи в цепях электродов транзистора в режиме насыщения определяются в основном внешними элементамисхемы ключа и слабо зависят от параметров транзистора

≈ , (3.23)

≈ . (3.24)

В режиме насыщения величина выходного напряжения определяется формулой

= , (3.25)

где - разность пороговых напряжений встречно включенных эмиттерного и коллекторного переходов (обычно = 0,05…0,2 В); – выходное сопротивление транзистора в режиме насыщения(реально , где - сопротивление тела коллектора). Более точные расчеты можно проводить с помощью моделей Эберса-Молла и Гумеля-Пуна.

В заключение отметим, что схема электронного ключа на биполярном транзисторе, по существу, совпадает срассмотренной в п. 3.3 схемой усилительного каскада. Различие между этими устройствами наиболее наглядно можно проследить с помощью передаточной характеристики, приведенной на рис. 3.8. Как видно из рисунка, в усилительном каскаде рабочая точка в любой момент времени находиться на крутом участке передаточной характеристики АБ. При этом транзистор работает в активном режиме. В ключе в закрытом состоянии рабочая точка выбирается на горизонтальном участке, соответствующем режиму отсечки( ), а в открытом состоянии рабочая точка выбирается на другом горизонтальном участке, соответствующем режиму насыщения. Поэтому для переключения ключа из одного состояния в другое на его вход подается импульсное напряжение, имеющее достаточно большой размах. Заметим, что в процессе переключения транзистор находится в активном режиме.

Таким образом, транзистор может использоваться в качестве электронного ключа, коммутирующего ток в цепи нагрузки. При этом скорость переключения на порядки превосходит скорость электромеханического ключа (реле). В цифровой схемотехнике, где импульсное напряжение используется для кодирования двоичной информации, транзисторный ключ выполняет логическую функцию инверсии (функцию НЕ), т.е. является простейшим логическим элементом – инвертором.

3.5. Статические характеристики биполярного транзистора

Как уже отмечалась в п. 3.1, транзистор в электрических схемах используется в качестве четырехполюсника, характеризующегося четырьмя величинами: входным и выходным напряжениями и входным и выходным токами(u_ВХ, u_ВЫХ, i_ВХ, i_ВЫХ). Функциональные зависимости между этими величинами называются статическими характеристиками транзистора. Чтобы установить функциональные связи между указанными величинами необходимо две из них взять в качестве независимых переменных, а две оставшиеся выразить в виде функций этих независимых переменных. Как правило, применительно к биполярному транзистору в качестве независимых переменных выбирают входной ток и выходное напряжение. В этом случае входное напряжение и выходной ток выражаются следующим образом:

. (3.26)

На практике удобнее использовать функции одной переменной. Для перехода к таким функциям необходимо вторую переменную, называемую в этом случае параметром характеристики, поддерживать постоянной. В результате получаются четыре типа характеристик транзистора:

- входная характеристика:

, (3.27)

- характеристика обратной передачи (связи) по напряжению:

, (3.28)

- характеристика (прямой) передачи тока, называемая также управ-ляющей или передаточной характеристикой:

, (3.29)

- выходная характеристика:

. (3.30)

Статические характеристики транзистора могут задаваться соответ-ствующими аналитическими выражениями, могут представляться в виде таблицы, а могутбыть представлены графически. Несколько характеристик одного типа, полученные при различных значениях параметра, образует семейство характеристик. Семейства входных и выходных характеристик транзистора считаются основными и приводятся в справочниках, с их помощью легко могут быть получены два других семейства характеристик.

В различных схемах включения транзистора в качестве входных и выходных токов и напряжений выступают токи, протекающие в цепях различных электродов, и напряжения, приложенные между различными электродами. Поэтому конкретный вид статических характеристик зависит от схемы включения транзистора. Рассмотрим статические характеристики транзистора в наиболее распространенных схемах ОБ и ОЭ.

В схеме с общей базой входным током является ток эмиттера i_Э, а выходным – ток коллектора i_К, соответственно, входным напряжением является напряжение u_ЭБ, а выходным – напряжение u_КБ.

Входная характеристика в схеме ОБ в соответствие с (3.27) представляет собой зависимость . Однако реальнов справочни-ках приводится обратная зависимость . Семейство входных характеристик n-p-n-транзистора приведено на рис. 3.13.

Выражение для идеализированной входной характеристики тран-зистора в активном режимеимеет вид:

, (3.31)

где u_ЭБ < 0 – прямое напряжение на эмиттерном переходе. Как видно из ри-сунка, вид входной характеристики транзистора аналогичен виду прямой ветви вольтамперной характеристики p-n-перехода.

Рис. 3.13. Семейство входных характеристик

биполярного транзистора в схеме ОБ

Следует отметить, что в выражении (3.31) отсутствует зависимость тока i_Э от напряжения на коллекторном переходе u_КБ. Реально такая зависимость существует и связана она с эффектом Эрли: при увеличении обратного напряжения u_КБ расширяется коллекторный переход и сужается база транзис-тора, в результате чего несколько увеличивается ток эмиттера i_Э. Увеличение тока i_Э с ростом u_КБ отражается небольшим смещением входной характе-ристики в сторону меньших напряжений | u_ЭБ | - см. рис. 3.13. Режиму от-сечки формально соответствует обратное напряжение u_ЭБ > 0, хотя реально эмиттерный переход остается закрытым ( ) и при прямых напряже-ниях меньших порогового напряжения (- u_ЭБ ˂ .

На практике часто используется кусочно-линейная аппроксимация входных характеристик транзистора, в соответствии с которой входной ток определяется следующим образом:

⎰ 0 при - ˂ ,

(3.32)

⎩ при- ˃ ,

где - сопротивление тела базы транзистора, подобное сопротивлению тела базы полупроводникового диода (см. п. 2. 5).

Выходная характеристика транзистора в схеме ОБ представляет собой зависимость . Семейство выходных характеристик n-p-n-транзистора приведено на рис. 3.14. Выражение для идеализированной выходной характеристики в активном режиме имеет вид:

, (3.33)

где I_КБО – тепловой ток коллекторного перехода в схеме ОБ при обрыве цепи эмиттера. В соответствии с этим выражением ток коллектора определя-ется током эмиттера и не зависит от напряжения u_КЭ. Реально имеет место очень небольшой рост i_К при увеличении обратного напряжения u_КБ, связанный с эффектом Эрли. В активном режиме характеристики практически экви-дистантны (расположены на одинаковом расстоянии друг от друга). В режиме отсечки (при i_Э = 0) в цепи коллектора протекает тепловой ток I_КБО.

Рис. 3.14. Семейство выходных характеристик

биполярного транзистора в схеме ОБ

В режиме насыщения на коллекторный переход подается прямое напряжение u_КБ ˂ 0, открывающее коллекторный переход. В структуре тран-зистора появляется инверсный сквозной поток электронов, движущийся из коллектора в эмиттер навстречу нормальному сквозному потоку, движущемуся из эмиттера в коллектор (потоку 1 на рис. 3.5). Инверсный поток очень резко увеличивается с ростом | u_КБ |, в результате чего коллекторный ток умень-шается и очень быстро спадает до нуля.

В схеме с общим эмиттером входным током является ток базы i_Б, а выходным ток коллектора i_К, соответственно, входным напряжением является напряжение u_БЭ, а выходным напряжение u_КЭ.

Входная характеристика в схеме ОЭ представляет собой зависимость . Однако, реально в справочниках приводится об-ратная зависимость . Семейство входных характе-ристик n-p-n-транзистора приведено на рис. 3.14.

Рис. 3.15. Семейство входных характеристик

биполярного транзистора в схеме ОЭ

Выражение для идеализированной входной характеристики в актив-ном режимеимеет вид:

, (3.34)

где u_БЭ -прямое напряжение на эмиттерном переходе. Так же, как и в схеме ОБ, входная характеристика имеет вид, характерный для прямой ветви ВАХ p-n-перехода (см. рис. 3.13), однако, входной ток i_Б здесь в ( ) раз меньше, чем в схеме ОБ. Экспоненциальный рост тока базы при увеличении u_БЭ связан с увеличением инжекции электронов в базу и соответствующим усилением их рекомбинации с дырками.

В выражении (3.34) отсутствует зависимость тока i_Б от напряжения u_КЭ. Реально эта зависимость имеет место, она связана с эффектом Эрли. С ростом обратного напряжения на коллекторном переходе сужается база транзистора, в результате чего уменьшается рекомбинация носителей в базе и, соответственно, уменьшается ток базы. Снижение тока базы с ростом u_КЭ отражается не-большим смещением характеристик в область бо льших напряжений u_БЭ - см. рис. 3.15.

При малых напряжениях u_КЭ < u_БЭ открывается коллекторный переход, и транзистор переходит в режим насыщения. В этом режиме вследствие двойной инжекции в базе накапливается большой избыточный заряд электронов, их рекомбинация с дырками усиливается, и ток базы резко возрастает -см. кривую, соответствующую u_КЭ = 0,нарис. 3.15.

Выходная характеристика в схеме ОЭ представляет собой зависимость . Семейство выходных характеристик n-p-n-транзис-тора приведено на рис. 3.16. Выражение для идеализированной выходной характеристики в активном режиме имеет вид:

, (3.35)

где I_КЭО = I_КБО – тепловой ток коллекторного перехода в схеме ОЭ при обрыве цепи базы, называемый также сквозным тепловым током транзистора.

Особенностью выходной характеристики транзистора в схеме ОЭ по сравнению с характеристикой в схеме с ОБ является то, что она целиком лежит в первом квадранте. Это связано с тем, что в схеме ОЭ напряжение uКЭ распределяется между обоими переходами, и при uКЭ < uБЭ напряжение на коллекторном переходе меняет знак и становится прямым, в результате транзистор переходит в режим насыщения при uКЭ > 0. В режиме насыщения

Рис. 3.16. Семейство выходных характеристик

биполярного транзистора в схеме ОЭ

характеристики практически сливаются в одну линию, то есть ток коллектора не зависит от тока базы.

Так же, как и в схеме ОБ, идеализированная характеристика в активном режиме не зависит от напряжения u_КЭ. Реально имеет место заметный рост тока i_К с ростом u_КЭ, связанный с эффектом Эрли. Этот рост выражен значительно сильнее, чем в схеме ОБ в связи с более резкой зависимостью от напряжения на коллекторном переходе коэффициента передачи тока базы по сравнению с коэффициентом передачи тока эмиттера . Также более резкой зависимостью от тока эмиттера и, соответственно, от тока базы объясняется практическое отсутствие эквидистантности выходных характеристик. В режиме отсечки (при i_Б = 0) в цепи коллектора протекает тепловой ток I_КЭО.

В режиме насыщения широко используется линейная аппроксимация выходных характеристик транзистора, в соответствии с которой

, (3.36)

где - выходное сопротивление транзистора в режиме насыщения, определяемое (в основном) сопротивлением тела коллектора .

Статические характеристики транзистора, приводимые в справочниках или снимаемые экспериментально, применяются для расчета параметров транзисторных каскадов графическим методом. Однако, это возможно только на низких частотах.

Математические модели и эквивалентные схемы

Биполярного транзистора

Среди многочисленных моделей биполярного транзистора наибольшую известность получила ставшая классической нелинейная модель Эберса- Молла,описанная в [1,2].Эквивалентная схема, соответствующая этой модели для включения транзистора по схеме ОБ приведена на рис. 3.17. Здесь встречно включенные диоды отражают идеализированные эмиттерный и коллекторный переходы транзистора. Протекающие через них токи и , отражающие инжекцию электронов из эмиттера и коллектора в базу, связаны с напряжениями на переходах и экспоненциальными выражениями, характерными для ВАХ идеализированного перехода [1-3]. Встречно включенные нелинейные генераторы тока отражают экстракцию электроновиз базы в коллектор (правый генератор) и из базы в эмиттер (левый генератор). Токи в цепях электродов транзистора определяются системой уравнений

, (3.37)

где - статический коэффициент передачи тока эмиттера;

- инверсный коэффициент передачи тока.

Рис. 3.17. Эквивалентная схема биполярного транзистора,

соответствующая классической модели Эберса-Молла.

С развитием компьютеров применительно к машинному моделированию процессов в транзисторах и расчету схем на их основе более перспективной оказалась так называемая «передаточная» модель Эберса-Молла, описанная в [3]. На рис. 3.18 приведена эквивалентная схема биполярного транзистора, соответствующая передаточной модели Эберса-Молла. Эта модель может ис-

Рис. 3.18. Эквивалентная схема биполярного транзистора,

соответствующая передаточной модели Эберса-Молла.

использоваться в режимах большого сигнала и высоких частот. В основе этой модели лежит представление о том, что в структуре биполярного транзистора могут протекать два встречных сквозных потока электронов:

нормальный сквозной поток из эмиттера в коллектор и инверсный поток из коллектора в эмиттер. Реально оба потока присутствуют только в режиме насыщения. Соответственно центральное место в приведенной на рисунке эквивалентной схеме занимает генератор сквозного тока, представляющего разность нормальной составляющей i_N, создаваемой нормальным потоком, и инверсной соcтавляющей i_I, создаваемой инверсным потоком.Заметим, что только нормальная составляющая этого тока i_N является полезной.Отмеченный генератор тока является нелинейным. Связь его составляющих с напряжениями на переходах определяется системой

, (3.38)

где I₀ – тепловой ток транзистора.

Встречно включенные диоды на рис. 3.18 отражают идеализированные эмиттерный и коллекторный переходы. Токи, протекающие через них, создаются за счет встречной инжекции дырок из базы и рекомбинации электронов с дырками в базе – см. потоки 2 и 3 на рис. 3.3. В соответствии с эквивалентной схемой токи в цепях электродов транзистора определяются системой

, (3.39)

где - (нормальный) статический коэффициент передачи тока базы; - инверсный статический коэффициент передачи тока базы. В реальных транзисторах .

Таким образом в простейшем случае для расчета токов транзистора используются только три параметра (I₀, и ).

Резисторы, включенные последовательно в цепи электродов транзистора, отражают объемные сопротивления соответствующих его областей (сопротивления тел эмиттера, базы и коллектора). Заметим, что объемное сопротивление эмиттера, как сильно легированной области, как правило считается равным нулю ( = 0).

На высоких частотах (в динамическом режиме) необходимо учитывать конечное время перезарядки емкостей переходов С_Э и С_К. Эти емкости в общем случае содержат барьерные и диффузионные составляющие и нелинейно зависят от приложенных напряжений (см. выше п. 2.6).

В реальных компьютерных программах используется более точная модель Гуммеля-Пуна, позволяющая учесть более тонкие эффекты, такие как эффект Эрли, высокий уровень инжекции и ряд других.

Рис. 3.19. Малосигнальная физическая эквивалентная схема биполярного транзистора, включенного по схеме ОЭ.

Для расчетов в малосигнальном режиме осуществляется линеаризациянелинейной модели в заданной рабочей точке по постоянному току (см. выше п.

3.4). Для этого все функциональные зависимости заменяются полными диф-ференциалами. Малосигнальная физическая эквивалентная схема бипо-лярного транзистора, полученная на основе линеаризации передаточной модели Эберса-Молла, приведена на рис. 3.19. Точка Б на рисунке соответствует «внутренней» точке базы, через которую протекает нормальный сквозной поток электронов. Между ней и внешним выводом базы включается резистор , отражающий сопротивление тела базы. Нелинейный источник тока в коллекторной цепи управляется напряжением . Крутизна и дифферен-циальное выходное сопротивление транзистора определяются соответ-ственно формулами (3.12) и (3.13). Сопротивления и определяются по формулам

, (3.40)

. (3.41)

Заметим, что сопротивление очень великои как правило считается равным бесконечности.

Более подробно применение моделей биполярного транзистора будет рассмотрено в рамках изучения дисциплины «Электроника».