Модулированные колебания и их спектры
Одна из основных функций радиотехнических устройств – передача сигналов с использованием радиоволн. Радиоволны эффективно излучаются такими излучателями, размеры которых соизмеримы с длиной волны. Поэтому конкретные излучатели – антенны – узкополосные. Отношение полосы эффективно излучаемых частот к средней частоте полосы всегда меньше единицы. Кроме того, из-за ограниченности размеров реально применяют излучатели только высокочастотных колебаний.
С другой стороны, сигналы, получаемые от источников информации (речевые, телевизионные ), - широкополосные, т. е. видеосигналы. Ширина полосы частот спектра соизмерима со средней частотой. Кроме того, спектры видеосигналов содержат низкочастотные составляющие, поэтому такие сигналы без преобразования их спектра не могут быть переданы по радиоканалам.
Для передачи сигнала нужно произвести модуляцию. Под модуляцией в радиоэлектронике понимается процесс, при котором один или несколько параметров несущего колебания изменяются по закону передаваемого сообщения. Получаемые в процессе модуляции колебания называют радиосигналами. В аналоговых системах связи радиосигналы передаются непрерывно во времени, и при модуляции могут изменяться амплитуда, частота или фаза несущего гармонического колебания. В зависимости от того, какой из названных параметров несущего колебания подвергается изменению, различают два основных вида аналоговой модуляции: амплитудную и угловую. Последний вид модуляции, в свою очередь, разделяется на частотную и фазовую.
В современных и перспективных цифровых системах связи, радиолокации, радионавигации, радиотелеуправления применяются и будут применяться различные виды импульсной модуляции, при которой радиосигналы представляются в виде так называемых радиоимпульсов.
Радиосигналы с амплитудной модуляцией.В процессе осуществления амплитудной модуляции несущего колебания
Uн(t)=Uнcos(ωot+φo)=Uнcosψ(t), (1.1)
его амплитуда должна изменяться по закону:
Uн(t)=Uн+kAe(t), (1.2)
где Uн – амплитуда в отсутствии модуляции; ωо – угловая (круговая) частота; φо – начальная фаза; ψ(t)= ωot+ φо – полная (текущая или или мгновенная) фаза; kA – безразмерный коэффициент пропорциональности; e(t) – модулирующий сигнал.
Подставив формулу (1.2) в (1.1), получим общее выражение для АМ – сигнала
uAM(t)= Uнcos(ωot+φo)=[ Uн+kAe(t)]cos(ωot+φo) (1.3)
Обратимся к простейшему виду амплитудной модуляции – однотональной, когда модулирующий сигнал представляет собой гармоническое колебание
e(t)=Eocos(Ωt+θo), (1.4)
где Ео – амплитуда; Ω=2π/Т1 – круговая частота; Т1 – период; θо – начальная фаза.
Для упрощения выкладок примем начальные фазы несущего колебания и модулирующего сигнала φо=0 и θо=0. Тогда, подставив формулу (1.4) в (1.3), получим выражение для АМ-сигнала
uAM(t)=( Uн+kAEocosΩt)cosωot. (1.5)
Обозначив через ∆U=kAEo максимальное отклонение амплитуды АМ-сигнала от амплитуды несущей Uн и проведя несложные преобразования, запишем
uAM(t)= Uн(1+МcosΩt) cosωot, (1.6)
где М=∆U/ Uн – коэффициент или глубина амплитудной модуляции.
Спектр АМ-сигнала.Используя в выражении (1.6) тригонометрическую формулу произведения косинусов, получим
uAM(t)= Uнcosωot+ cos(ωo+Ω)t+
cos(ωo-Ω)t. (1.7)
Из этой формулы видно, что при однотональной модуляции спектр АМ-сигнала состоит из трех высокочастотных составляющих. Первая из них представляет собой исходное несущее колебание с амплитудой Uн и частотой ωо. Вторая и третья составляющие характеризуют новые гармонические колебания, появляющиеся в процессе амплитудной модуляции и отражающие передаваемый сигнал.
Колебания с частотами ωo+Ω и ωo-Ω называются соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Амплитуды боковых составляющих одинаковы, равны MUн/2, и расположены симметрично относительно несущей частоты сигнала ωо. Ширина спектра АМ-сигнала при однотональной модуляции ∆ωАМ=2Ω=4πF, где F – циклическая частота модуляции.
Графики несущего колебания с φо=90о, модулирующего сигнала с θо=90о и АМ-сигнала показаны на рис.1.1, а…в, а на рис1.1, г…е – соответствующие им спектры. При отсутствии модуляции (М=0) амплитуды боковых составляющих равны нулю и спектр АМ-сигнала переходит в спектр несущего колебания (составляющая Uн на частоте ωо). При М 1 амплитуда АМ-сигнала изменяется в пределах от минимальной Uмин=Uн(1-М) до максимальной Uмакс=Uн(1+М). Исключая постоянное значении Uн получаем формулу, удобную для экспериментального определения коэффициента модуляции:
М= . (1.8)
Рис.1.1. Амплитудная моду- ляция: а – несущее колебание; б – АМ-сигнал; г…е – соответствующие спектры.
Если же М>1, то возникают искажения, называемые перемодуляцией. Наличие этих искажений в АМ-сигнале может привести к потере передаваемой информации.
На практике однотональные АМ-сигналы используются либо для учебных, либо для исследовательских целей. Реальный же модулирующий сигнал имеет сложный спектральный состав. Математически такой сигнал, состоящий из N гармоник, можно представить тригонометрическим рядом
e(t)= . (1.9)
В этом соотношении амплитуды гармоник сложного модулирующего сигнала Ei произвольны, а их частоты образуют упорядоченный спектр Ω1< Ω2…< Ωi< …<ΩN. Подставляя (1.9) в (1.3), после несложных выкладок получим выражение АМ-сигнала с начальной фазой несущего φо=0.
uAM(t)= Uн(1+ (1.10)
где Mi=kAE/Uн – совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции. Эти коэффициенты характеризуют влияние отдельных гармонических составляющих сложного модулирующего сигнала на общее изменение амплитуды полученного высокочастотного модулированного колебания.
Воспользовавшись тригонометрической формулой произведения двух косинусов и проделав несложные выкладки, запишем выражение (1.7) в следующем виде:
uAM(t)= Uнcosωot+ (1.11)
Из этого соотношения видно, что в спектре сложного АМ-сигнала, наряду с несущим колебанием , содержатся группы верхних и нижних боковых составляющих, являющихся масштабными копиями спектра модулирующего сигнала и расположенных симметрично относительно несущей частоты ωо. Отсюда следует важный вывод: ширина спектра сложного АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего сигнала ΩN. В качестве примера на рисунке 1.2. показаны спектральные диаграммы трехтонального (состоящего из трех разных гармоник) модулирующего сигнала Se(ω) и соответ ствующего ему АМ- сигнала SAM(ω).
а) б)
Рис.1.2. Спектральные диаграммы при трехтональной модуляции:
а – модулирующего сигнала; б – АМ-сигнала.
Пример 1.1.Определить спектральный состав и записать аналитическое выражение АМ-сигнала
uAM(t)=20(1+0,5cos103t)cos105t.
Решение. Используя формулу (1.6), находим, что несущая частота ωо=105; частота модуляции Ω=103; боковые частоты ωо+Ω=1,01∙105; ωо-Ω=0,99∙105; амплитуда несущей Uн=20В; коэффициент модуляции М=0,5. Следовательно, в соответствии с выражением (1.7) имеем:
uAM(t)=20cos105t+5cos(1,01∙105t)+5cos(0,99∙105t).
C помощью несложного энергетического анализа можно показать, что значительная доля мощности АМ-сигнала (не менее50%) сосредоточена в несущем колебании, которое фактически не переносит никакой информации. Передаваемая же полезная информация (сообщение) заложена только в боковых составляющих радиосигнала, на долю которых приходится менее 50% мощности. Поэтому для более эффективного использования мощности передатчика радиотехнических систем передачи информации создают АМ-сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную амплитудную модуляцию (БМ). Выражение для радиосигнала с балансной амплитудной модуляцией нетрудно получить из (1.7), она имеет следующий вид:
UБМ(t)= cos(ωo+Ω)t+
cos(ωo-Ω)t. (1.12)
В современных системах связи часто приходится экономить не только мощность, но и полосу занимаемых частот. С этой целью формируют АМ-сигналы с подавленной верхней (или нижней) боковой полосой частот, получая колебание с одной боковой полосой (ОБП)
UОБП(t)= Uнcosωot+ cos(ωo-Ω)t. (1.13)
Другой, еще более эффективный с точки зрения энергетических показателей, разновидностью АМ-сигналов является однополосная амплитудная модуляция с подавленной несущей (ОБП-ПН):
UОБП-ПН(t)= cos(ωo-Ω)t. (1.14)
Данный вид амплитудной модуляции представляет собой такое преобразование несущего колебания, при котором спектр радиосигнала полностью совпадает со спектром сообщения, перенесенным по оси частот в высокочастотную область нижней или верхней боковой полосы.
Лекция №6.
Радиосигналы с угловой модуляцией.Обратимся к модулированным сигналам, полученным путем изменения по закону передаваемого сообщения в несущем колебании (1.1) частоты ωо, или начальной фазы φо. Поскольку в обоих случаях аргумент гармонического колебания Ψ(t)= ωоt+ φо определяют мгновенное значение фазового угла, такие радиосигналы получили название сигналов с угловой модуляцией. Если в несущем колебании изменяется частота ωо, то имеем дело с частотной модуляцией (ЧМ), если же изменяется начальная фаза φо – фазовой модуляцией (ФМ).
Частотная модуляция. При частотной модуляции частота несущего колебания ω(t) связана с модулирующим сигналом e(t) зависимостью
ω(t)=ωj+kчe(t), (1.15)
где кч – размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением [рад/В∙с].
Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание e(t)=EocosΩt. Примем для упрощения начальную фазу несущего колебания φо=0. Полную фазу ЧМ-сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования частоты, выраженной через формулу (1.15):
Ψ(t)= =
= ωоt+( ωд/Ω)sinΩt, (1.16)
где ωд =kдЕо – максимальное отклонение частоты от значения ωо, или девиация частоты. Отношение
mч= ωд/Ω=kчEo/Ω, (1.17)
являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции. С учетом (1.16) и (1.17) выражение для ЧМ-сигнала запишется следующим образом:
uчм(t)=UнcosΨ(t)=Uнcos(ωot+mчsinΩt) (1.8)
На рис.1.3. представлены временные диаграммы соответственно несущего колебания uн(t) и модулирующего сигнала e(t) с начальными фазами φо=θо=90о и полученный в результате процесса частотной модуляции ЧМ-сигнала uчм(t).
Рис.1.3. Частотная однотональная модуляция:
а – несущее колебание; б – модулирующий сигнал; в – ЧМ-сигнал.
Фазовая модуляция. В фазомодулированном напряжении полная фаза несущего колебания изменяется пропорционально модулирующему сигналу
Ψ(t)= ωot+kфe(t) (1.9)
где kф – размерный коэффициент пропорциональности [рад/В].
При однотональной модуляции фаза несущего колебания:
Ψ(t)= ωot+kфЕоcosΩt (1.20)
Из этой формулы следует, что как ив случае частотной модуляции , полная фаза несущего колебания при фазовой модуляции изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение фазы несущего колебания от начальной фазы характеризует индекс фазовой модуляции
mф=kфEo (1.21)
Подставляя формулы (1.20) и (1.21) в (1.1), запишем ФМ-сигнал
uфм(t)=Uнcos(ωot+mфcosΩt) (1.22)
Дифференцирование формулы (1.20) дает частотуФМ-сигнала
ω(t)=ωo-mфΩsinΩt- ωo- ωдsinΩt (1.23)
где ωд=mфΩ= kфEoΩ - максимальное отклонение частоты от значения несущей ωo, т.е. девиация частоты при фазовой модуляции.
В таблице 1.1 проведен сравнительный анализ основных параметров сигналов с частотной и фазовой однотональной модуляцией.
Таблица1.1
Наглядное представление о законах изменения частоты и фазы при угловой однотональной модуляции дают графические построения, показанные на рис.1.4.
Рис.1.4. Графики изменения частоты и фазы при угловой однотональной модуляции: а,б – модулирующий сигнал; в,г – частота; д,е – фаза.
Выражения (1.8) и (1.22) и приведенные на рисунке 1.4 соответствующие им графики показывают, что при однотональной угловой модуляции нельзя определить, является ли сигнал частотно- или фазомодулированным? Различия между этими видами однотональной модуляции проявляются только при изменении амплитуды Ео или частоты Ω модулирующего сигнала e(t).
В случае частотной модуляции девиация частоты ωд пропорциональна амплитуде Ео и не зависит от частоты Ω модулирующего сигнала e(t)= ЕоcosΩt. Индекс же модуляции mч прямо пропорционален амплитуде Ео и обратно пропорционален частоте Ω модулирующего сигнала. При фазовой модуляции девиация частоты ωд изменяется пропорционально амплитуде и частоте модулирующего сигнала. Индекс модуляции ωф пропорционален амплитуде Ео и не зависит от частоты Ω модулирующего сигнала.
Спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции. Можно показать, что спектр ЧМ-сигнала при mч<<1 имеет (приближенно) вид:
uчм(t)=Uнcosωot+(mUн/2)cos(ωo+Ω)t- (mUн/2)cos(ωo-Ω)t (1.24)
Сравнение соотношений (1.24) и (1.11) показывает, что спектр ЧМ-сигнала анологичен спектру АМ-сигнала и также состоит из несущего и двух боковых составляющих с частотами ωо+Ω и ωо-Ω. Индекс модуляции m играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной модуляции М. Единственное и принципиальное отличие – знак минус перед нижней боковой составляющей в формуле для ЧМ-сигнала, который характеризует поворот ее фазы на 180о, что аналитически приводит к превращению АМ-сигнала в ЧМ-сигнал.
На рис.1.5 показана спектральная диаграмма для ЧМ-сигнала при индексе модуляции m<<1. Отметим, что ширина спектра в данном случае равна 2Ω, как и при амплитудной модуляции.
Рис.1.5. Спектральная диаграмма ЧМ-сигнала при m<<1.
Спектр ЧМ-синала при m>1 (не приводя выводы на основе функции Jn(m) -- Бесселя ) определяется выражением:
Uчм(t)=UнJo(m) cosωot+ UнJn(m) cos(ωo +nΩ)t+
+ (-1)nUнJn(m) cos(ωo -nΩ)t (1.25)
Таким образом, спектр ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией при индексе модуляции m>1 состоит из исходного несущего колебания и бесконечного числа боковых составляющих с частотами ωo +nΩ и ωo -nΩ, расположенными попарно и симметрично относительно несущей частоты ωo. Теоретически спектр ЧМ-сигнала (анологично и ФМ-сигнала) бесконечен по полосе частот, однако в реальных случаях он ограничен. Практически ширина спектра радиосигнала с угловой модуляцией определяется:
∆ωум=2(m+1)Ω. (1.26)
ЧМ- и ФМ-сигналы, применяемые на практике, имеют индекс модуляции m>1, поэтому
∆ωум=2mΩ (1.27)
Таким образом, полоса частот, занимаемая сигналами с угловой однотоннальной модуляцией, значительно шире, чем при амплитудной. Следует отметить, что радиосигналы с угловой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.
1. Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебаний не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от от амплитудной), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к искажению передаваемого сообщения.
2. Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизменной колебательной мощности. Однако для реализации этих преимуществ необходимо отводить конкретному радиосигналу слишком широкую полосу частот, значительно превышающую ширину спектра модулирующей функции.
Пример 1.2.Радиосигнал с фазовой модуляцией, имеющий амплитуду Uн=5В и несущую частоту fo=200 МГц, промодулирован частотой F=20 кГц при индексе модуляции m=10. Записать выражение для ФМ-сигнала, определить пределы, в которых изменяется частота, и рассчитать ширину спектра.
Решение. Воспользовавшись формулой (1.22), запишем выражение ФМ-сигнала
Uфм(t)=5cos[4π∙108t+10cos(4π∙104t)].
Определим девиацию циклической частоты
Fд=ωд/(2π)=mF=0,2 МГц.
Значит, при ФМ, мгновенная частота изменяется в пределах:
fmin=100-0,2=99,8 MГц; fmax=100+0,2=100,2 МГц.
Ширина спектра ФМ-сигнала будет
∆fфм=∆ωфм/(2π)=2(m+1)F=440 кГц.
Лекция №7.
Радиосигналы с импульсной модуляцией. При импульсной модуляции (рис.1.6) в качестве несущего колебания (точнее, поднесущего) используются различные периодические импульсные последовательности, в один из параметров которых вводится информация о передаваемом сообщении. Для дискретных сигналов процесс модуляции принято называть манипуляцией параметров импульсов.
Положим, что поднесущим колебанием в системе передачи информации с импульсной модуляцией является периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой Uн, длительностью τи и периодом повторения Т (рис.1.6 а). Для наглядности и упрощения выкладок выберем в качестве модулирующего сигнала гармоническое колебание вида (1.4) с начальной фазой θо=90о (рис.1.6, б).
Рис.1.6. Импульсная модуляция:
а – периодическая последовательность исходных импульсов;
б – модулирующий сигнал; в – АИМ; г – ШИМ; д – ФИМ; е – ИКМ.
Импульсную модуляцию в зависимости от выбора изменяемого параметра модулируемой импульсной последовательности принято делить на следующие виды:
· Амплитудно-импульсную (АИМ), когда по закону передаваемого сообщения изменяется амплитуда импульсов исходной последовательности (рис.1.6, в);
· Широтно-импульсную (ШИМ), при изменению по закону передаваемого сообщения длительности (ширины) импульсов исходной последовательности (рис.1.6, г);
· Фазоимпульсную (ФИМ), или времяимпульсную (ВИМ), если по закону передаваемого сообщения изменяется временное положение импульсов (рис.1.6, д);
· Импульсно-кодовая (ИКМ) применяется наиболее широко в современной радиоэлектронике и системах связи, при которой передаваемый аналоговый первичный сигнал превращается в цифровой код – последовательность импульсов (1 – «единиц») и пауз (0 – «нулей»), имеющих одинаковую длительность (рис.1.6, е).
В качестве примера, позволяющего оценить параметры импульсно-модулированных колебаний, рассмотрим АИМ-сигнал и определим его спектр при модуляции импульсной последовательности гармоническим колебанием e(t)=EocosΩt.
Из-за громоздких преобразований (в том числе и по Фурье) здесь мы приведем только окончательное выражение для АИМ-сигнала:
uFBV(t)=(1+McosΩt)Ao+(1+McosΩt) Ancos(nω1t+φn)=
=Ao+AoMcosΩt+ Ancos(nω1t+φn)+ (1.28)
+ cos[(nω1+Ω)t+ φn]+
cos[(nω1-Ω)t+φn].
Из этой формулы следует, что при однотональной амплитудно-импульсной модуляции (рис.1.7) периодической последовательности прямоугольных импульсов спектр полученного сигнала содержит постоянную составляющую Ао, гармонику АоМ частоты модуляции Ω и высшие гармонические составляющие An частоты следования импульсов nω1, около каждой из которых симметрично расположены боковые составляющие с частотами nω1+Ω и nω1-Ω.
Рис.1.7. Спектр сигнала при амплитудно-импульсной модуляции.
В тех случаях, когда требуется передать сообщение на большое расстояние, сигналами с импульсной модуляцией модулируют, в свою очередь, высокочастотное колебание несущей частоты. Полученные подобным образом высокочастотные импульсные сигналы – радиоимпульсы – затем излучаются антенной в свободное пространство (рис.1.8).
Покажем спектр одиночного прямоугольного радиоимпульса, полученного в результате амплитудной модуляции гармонического колебания прямоугольным видеоимпульсом с амплитудой Е и длительностью τи (рис.1.8, а). Как было найдено выше, спектральная плотность заданного видеоимпульса определяется функцией вида sinx/x:
Sp(ω)= (1.29)
На рис.1.9. для наглядности показаны графики спектральных плотностей соответственно модулирующего видеоимпульса и радиоимпульса. Как нетрудно заметить из графиков на данном рисунке, спектральная плотность радиоимпульса полностью повторяет спектральную плотность модулирующего видеоимпульса. Основное отличие – сдвиг спектральной плотности радиоимпульса по оси частот на величину несущей ωо.
Рис.1.8. Импульсные сигналы: Рис.1.9. Спектральные диаграммы:
а – видеоимпульс; б – радиоимпульс. А – видеоимпульса; б – радиоимпульса.
Лекция №8.