Быстрое преобразование Фурье

Лабораторная работа № 5

по дисциплине «Основы радиоэлектроники и связи»

Тема:

«Быстрое преобразование Фурье»

Выполнил: студент гр. № 4141 Понкин Д. О.

Руководитель: проф. Трофимов А. Т.

Дубна, 2011

Цель работы:

Целью работы является ознакомление с понятием быстрого преобразования Фурье (БПФ) и роли БПФ при построении цифровых фильтров.

Задачи:

В ходе выполнения лабораторной работы необходимо решить следующие задачи:

1. Поострить спектр отдельно взятой гармоники (кратной частоте );

2. Поострить спектр гармоники (не кратной частоте );

3. Взять БПФ от прямоугольного импульса.

Теоретическая часть:

В цифровых фильтрах входной и выходной сигналы являются дискретными последовательностями цифровых отсчетов сигналов.

Цифровая фильтрация заключается в цифровом преобразовании последовательности числовых отсчетов входного сигнала в последовательность числовых отсчетов выходного сигнала.

Дискретное преобразование Фурье

В дискретном преобразовании Фурье исследуемая функция является периодической и имеет конечный период повторения, является дискретной. Фактически, дискретное преобразование Фурье позволяет представить дискретную функцию в виде конечного числа частот с определёнными значениями амплитуды и фазы (раскладывает функцию в спектр). Это основывается на том, что по следствию из теоремы Котельникова в дискретном сигнале период, соответствующий наивысшей представимой частоте соответствует двум периодам дискретизации.

Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это быстрый алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющего сложность O(Nlog(N)).

Как было отмечено выше, обычное дискретное преобразование Фурье имеет большую временну сложность алгоритма, что ограничивает его применение. Алгоритм быстрого преобразования Фурье основывается на таком математическом преобразовании как свёртка функций. Остановимся на некоторых характерных чертах работы алгоритма быстрого преобразования Фурье. Количество элементов в выборке, поступающих на вход быстрого преобразования Фурье должно быть 2^n. Временная сложность преобразования - O(n · log n).

Для обратного преобразования Фурье можно применять алгоритм прямого преобразования Фурье — нужно лишь использовать вместо (или применить операцию комплексного сопряжения в начале к входным данным, а затем к результату, полученному после прямого преобразования Фурье) и окончательный результат поделить на N.

Спектр сигнала – это совокупность коэффициентов разложения функции в ряд по некоторому базису функции.

Спектральное разложение (представление) — операция представления непрерывных детерминированных сигналов в виде совокупности постоянной составляющей и суммы гармонических колебаний с кратными частотами.

Амплитудо-частотный спектр (АЧС) — совокупность модулей амплитуд гармонических составляющих .

Фазо-частотный спектр (ФЧС) — совокупность начальных фаз всех гармоник сигнала, — .

Обобщенный ряд Фурье — представление функции (сигнала) в виде:

где — некоторые коэффициенты (спектр сигнала), – система функций, совокупностью которых представлен произвольный сигнал.

Тригонометрический ряд Фурье — представление функции (сигнала) в виде:

где — некоторые коэффициенты, — гармоника, — частота первой гармоники.

Комплексный ряд Фурье — представление функции (сигнала) в виде:

где — комплексная амплитуда гармоники.