Основные принципы проектирования фильтров
ВВЕДЕНИЕ
Основными задачами электротехнических и радиотехнических дисциплин являются анализ и синтез электрических цепей и сигналов. В первом случае анализируются токи, напряжения, коэффициенты передачи, спектры при известных моделях, схемах, устройствах, сигналах. При синтезе решается обратная задача – разработка аналитических и графических моделей (схем) электрических цепей и сигналов. Если проводимые расчеты, разработка завершаются изготовлением конструкторской и технологической документации, изготовлением макетов или опытных образцов, то применяется термин проектирование.
Первыми дисциплинами радиотехнических специальностей высших учебных заведений, в которых рассматриваются различные задачи анализа и синтеза, являются дисциплины «Основы теории электрических цепей» и «Электротехника и электроника». Основные разделы этих дисциплин:
– анализ в установившемся режиме линейных резистивных электрических цепей, линейных реактивных электрических цепей, в том числе резонансных и с негальваническими связями;
– анализ комплексных частотных характеристик электрических цепей;
– анализ линейных электрических цепей при сложных периодических воздействиях;
– анализ линейных электрических цепей при импульсных воздействиях;
– теория линейных четырехполюсников;
– анализ нелинейных электрических цепей;
– линейные электрические фильтры, синтез электрических фильтров.
Перечисленные разделы изучаются во время аудиторных занятий [1, 2], однако важной частью учебного процесса является также курсовое проектирование. Тема курсовой работы (проекта) может соответствовать одному из изучаемых разделов, может быть комплексной, то есть включать в себя несколько разделов дисциплины, может быть предложена студентом.
В данных методических указаниях рассмотрены рекомендации по выполнению комплексной курсовой работы (проекта), в которой необходимо решить взаимосвязанные задачи синтеза и анализа для аналоговой электрической цепи.
1. АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ.
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В качестве комплексной курсовой работы (проекта) в данных методических указаниях предложена разработка электрических эквивалентных и принципиальных схем электрической цепи, содержащей электрический фильтр и усилитель, а также анализ спектра входного сигнала генератора импульсов и анализ «прохождения» входного сигнала к выходу устройства. Эти задачи являются важными, практически полезными, так как разрабатываются и анализируются широко применяемые в радиотехнике функциональные узлы.
Схема электрическая структурная всего устройства, для которого необходимо провести расчеты, приведена на рисунке 1. Варианты заданий для отдельных разделов расчетов приведены в приложениях Б, В, Г. Номера вариантов заданий соответствуют номерам студентов в списке группы, либо номер варианта формируется более сложным образом. При необходимости студенты могут самостоятельно задать дополнительные требования к проектированию, например, массогабаритные требования, требования к фазочастотным характеристикам и другие.
 | |||||
| |||||
 | |||||
Рис. 1
На рисунке 1 обозначены комплексные действующие значения входных и выходных электрических напряжений гармонической формы.
При курсовом проектировании необходимо решить следующие задачи:
а) синтезировать (разработать) любым методом схему электрическую эквивалентную, а затем – схему электрическую принципиальную на любых радиоэлементах. Провести расчеты ослабления и коэффициента передачи по напряжению, проиллюстрировать расчеты графиками;
б) разработать схему электрическую принципиальную усилителя напряжения на любых радиоэлементах. Провести расчеты усилителя по постоянному току, проанализировать параметры усилителя в режиме малых переменных сигналов;
в) рассчитать любым методом спектр сложного периодического сигнала, подаваемого с генератора импульсов на вход фильтра, проиллюстрировать расчеты графиками амплитудного и фазового спектра входного сигнала;
г) проанализировать прохождение электрического напряжения от генератора импульсов через электрический фильтр и усилитель, проиллюстрировать анализ графиками амплитудного и фазового спектра выходного сигнала.
В этой последовательности рекомендуется проводить необходимые расчеты, а затем оформить их в виде разделов пояснительной записки. Расчеты необходимо выполнять с точностью не менее 5 %. Это следует учитывать при различных округлениях, приближенном анализе спектра сигнала, при выборе стандартных радиоэлементов, близких по номиналу к расчетным значениям.
Далее рассмотрены общие принципы решения поставленных задач, методики расчетов и расчетные формулы.
2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ
Основные принципы проектирования фильтров
2.1.1. Основные требования к проектированию
Электрические фильтры – это линейные или квазилинейные электрические цепи, имеющие частотно-зависимые комплексные коэффициенты передачи полной мощности 
. При этом частотно-зависимым является также хотя бы один из двух коэффициентов передачи: по напряжению 
или по току 
. Вместо безразмерных коэффициентов передачи при анализе и синтезе фильтров широко применяется ослабление ( 
), измеряемое в децибелах:
, (1)
где 
, 
, 
– модули коэффициентов передачи (в формуле (1) применяется десятичный логарифм).
Частотный диапазон, в котором ослабление ( ) приближается к нулю, а коэффициент передачи полной мощности ( ) приближается к единице, называется полосой пропускания (ПП). И наоборот, в частотном диапазоне, где коэффициент передачи мощности близок к нулю, а ослабление составляет несколько десятков децибел, находится полоса задерживания (ПЗ). Полосу задерживания в специальной литературе по электрическим фильтрам также называют полосой ослабления или полосой затухания. Между ПП и ПЗ находится переходная полоса частот. По расположению полосы пропускания в частотном диапазоне электрические фильтры относят к следующим типам:
ФНЧ – фильтр нижних частот, полоса пропускания находится на нижних частотах;
ФВЧ – фильтр верхних частот, полоса пропускания находится на верхних частотах;
ПФ – полосовой фильтр, полоса пропускания находится в относительно узком частотном диапазоне;
РФ – режекторный фильтр, полоса задерживания находится в сравнительно узком частотном диапазоне.
Реальный электрический фильтр может быть выполнен на различных радиокомпонентах: катушках индуктивности и конденсаторах, избирательных усилительных устройствах, избирательных пьезоэлектрических и электромеханических устройствах, волноводах и многих других. Существуют справочники по расчету фильтров на вполне определенных радиокомпонентах. Однако более универсальным является следующий принцип: вначале разрабатывается эквивалентная схема на идеальных LC-элементах, а затем идеальные элементы пересчитываются в любые реальные радиокомпоненты. При таком пересчете и разрабатывается схема электрическая принципиальная, перечень элементов, выбираются стандартные или проектируются самостоятельно необходимые радиокомпоненты. Наиболее простым вариантом подобного расчета является разработка принципиальной схемы реактивного фильтра с конденсаторами и катушками индуктивности, так как принципиальная схема в этом случае подобна эквивалентной.
Но и при таком общем универсальном расчете существует несколько различающихся между собой методов синтеза эквивалентной схемы LC-фильтра:
– синтез в согласованном режиме из одинаковых Г-, Т-, П-образных звеньев [3]. Этот метод также называют синтезом по характеристическим параметрам или синтезом фильтров типа “k”. Достоинства: простые расчетные формулы; рассчитанное ослабление (неравномерность ослабления) в полосе пропускания ( 
) принимается равным нулю. Недостаток: в этом методе синтеза используются различные приближения, на самом же деле согласование во всей полосе пропускания получить невозможно. Поэтому у фильтров, рассчитанных этим методом, ослабление в полосе пропускания может быть более трех децибел; 
– полиномиальный синтез [4, 5]. В этом случае требуемый коэффициент передачи мощности аппроксимируется полиномом, то есть синтезируется вся схема, а не отдельные звенья. Этот метод также называют синтезом по рабочим параметрам или синтезом по справочникам нормированных ФНЧ. При использовании справочников, рассчитывается порядок фильтра, выбирается эквивалентная схема ФНЧ, удовлетворяющая требованиям задания. Достоинства: в расчетах учитываются возможные несогласования и отклонения параметров радиоэлементов, ФНЧ легко преобразуются в фильтры других типов. Недостаток: необходимо пользоваться справочниками или специальными программами;
– синтез по импульсным или переходным характеристикам. Основан на взаимосвязи временных и частотных характеристик электрических цепей через различные интегральные преобразования (Фурье, Лапласа, Карсона и т. д.). Например, импульсная характеристика ( 
) выражается через передаточную характеристику ( 
) с помощью прямого преобразования Фурье:
. (2)
Этот метод нашел применение при синтезе различных трансверсальных фильтров (фильтров с задержками), например цифровых, акустоэлектронных, для которых разработать электрические схемы проще по импульсным, чем по частотным характеристикам. В курсовой работе при разработке схем фильтров рекомендуется применять метод синтеза по характеристическим или рабочим параметрам.
Итак, в работе, касающейся синтеза электрического фильтра, необходимо одним из методов разработать схему электрическую эквивалентную на идеальных реактивных элементах, а затем схему электрическую принципиальную на любых реальных радиоэлементах.
В задании к курсовому проектированию в части, касающейся синтеза электрического фильтра (приложение Б), могут быть приведены следующие данные:
– тип синтезируемого фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ);
– 
– активные сопротивления внешних цепей, с которыми полностью или частично должен быть согласован фильтр в полосе пропускания;
– 
– граничная частота полосы пропускания фильтра;
– 
– граничная частота полосы задерживания фильтра;
– 
– средняя частота фильтра (для ПФ и РФ);
– 
– ослабление фильтра в полосе пропускания (не более);
– 
– ослабление фильтра в полосе задерживания (не менее);
– 
– полоса пропускания ПФ или РФ;
– 
– полоса задерживания ПФ или РФ;
– 
– коэффициент прямоугольности ФНЧ, ФВЧ;
– 
– коэффициент прямоугольности ПФ, РФ.
При необходимости студенты могут самостоятельно выбрать дополнительные данные или требования к проектированию.
2.1.2. Нормирование и частотные преобразования
При синтезе эквивалентных и принципиальных схем фильтров целесообразно применять нормирование и частотные преобразования. Это позволяет уменьшить количество разнотипных расчетов и проводить синтез, взяв за основу фильтр нижних частот. Нормирование заключается в следующем. Вместо проектирования на заданные рабочие частоты и сопротивления нагрузки, проектируются фильтры на нормированное сопротивление нагрузки 
и нормированные частоты 
. Нормирование частот осуществляется, как правило, относительно частоты 
.. При таком нормировании частота 
, а частота 
. При нормировании вначале разрабатывается эквивалентная схема с нормированными элементами 
, а затем эти элементы пересчитываются к заданным требованиям с помощью денормирующих множителей:
, (3)
, (4)
где 
.
Возможность применения нормирования при синтезе электрических цепей следует из того, что вид требуемых передаточных характеристик электрической цепи при этой операции не изменяется, они лишь переносятся на другие (нормированные) частоты.
Например, для схемы делителя напряжения, показанной на рисунке 2, коэффициент передачи по напряжению аналогичен как при заданных радиоэлементах и рабочей частоте, так и при нормированных величинах – при применении нормирующих множителей.
|
Без нормирования:
, (5)
с нормированием:
. (6)
В выражении (6), в общем случае, нормирующие множители могут быть произвольными действительными числами.
Дополнительное применение частотных преобразований позволяет существенно упростить синтез ФВЧ, ПФ, РФ. Так, рекомендуемая последовательность синтеза ФВЧ, при применении частотных преобразований, следующая:
– графические требования к ФВЧ нормируются (вводится ось нормированных частот 
);
– производится частотное преобразование требований к ослаблению за счет преобразования частот:
; (7)
– проектируется ФНЧ с нормированными элементами;
– ФНЧ преобразуется в ФВЧ с нормированными элементами;
– элементы денормируются в соответствии с формулами (3), (4).
Рекомендуемая последовательность синтеза полосового фильтра, при использовании частотных преобразований, следующая:
– графические требования к ПФ заменяются на требования к ФНЧ из условия равенства их полос пропускания и задерживания;
– синтезируется схема фильтра нижних частот;
– применяется обратное частотное преобразование для получения схемы полосового фильтра включением в ветви ФНЧ дополнительных реактивных элементов для образования резонансных контуров.
Рекомендуемая последовательность синтеза режекторного фильтра при использовании частотных преобразований:
– графические требования к РФ заменяются на требования к ФВЧ из условия равенства их полос пропускания и задерживания;
– синтезируется схема фильтра верхних частот, непосредственно или с использованием прототипа – фильтра нижних частот;
– схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра, включением в ветви ФВЧ дополнительных реактивных элементов.