Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках

Концентрация равновесных носителей заряда определяется соотношениями (1.36) и (1.38), из которых следует, что она зависит от положения уровня Ферми. В элек­тронном полупроводнике концентрация электронов в основном обусловлена переходом электронов с энергетических уровней Еd на энергетические уровни зоны проводимости. Поэтому концентрация пп должна быть равна концентрации иони­зированных доноров:

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

Здесь Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru вероятность отсутствия электрона на уровне Еd, определяе­мая уравнением (1.34). Следовательно,

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.40)

Приравнивая правые части уравнений (1.36) и (1.40), получаем:

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

Решая это равенство относительно ЕFn, получаем уравнение

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.41)

Из полученного уравнения следует, что положение уровня Ферми зависит от тем­пературы T и концентрации примеси Nd. При Т= 0 уровень Ферми располагается посередине между уровнями Ed и Eс, а с ростом температуры опускается вниз. В интервале рабочих температур (примерно от -100 °С до +100 °С) уровень Фер­ми расположен между уровнями Ei и Еd. С ростом концентрации доноров уровень Ферми сдвигается вверх. Энергетическая диаграмма электронного полупровод­ника показана на рис. 1.45.

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

Заштрихованная площадь под графиком Fn(E) пропорциональна концентрации электронов па, а заштрихованная площадь под графиком FP(E) — концентрации дырок рn. Из диаграммы вытекает соотношение

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

Следовательно, уравнение (1.36) можно представить в виде

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.42)

Учитывая, что Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru , уравнение (1.38) принимает вид

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

(1.43)

Из полученных соотношений следует, что чем выше концентрация донорных при­месей, тем выше расположен уровень Ферми ЕFn соответственно, выше концен­трация электронов nn, и ниже концентрация дырок рп. Умножая nn на рп, получаем:

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.44)

Таким образом, при любой концентрации примесей произведение концентраций электронов и дырок остается постоянной величиной.

На практике в области рабочих температур можно считать, что все доноры иони­зированы, тогда пп = Nd, следовательно, уравнение (1.42) принимает вид

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

Отсюда следует, что

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.45)

Чем больше концентрация доноров, тем выше расположен уровень Ферми.

В дырочном полупроводнике концентрация дырок в основном обусловлена пере­ходом электронов с энергетических уровней валентной зоны на энергетический уровень акцепторов. Поэтому концентрация дырок должна быть равна концент­рации ионизированных примесей, то есть

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.46)

Приравнивая правые части уравнений (1.38) и (1.46) и решая их относительно EF p, получаем:

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.47)

При Т= 0 уровень Ферми располагается посередине между уровнями Еа и Ev, а с рос­том температуры сдвигается вверх. В рабочем интервале температур он находит­ся между уровнями Ei, и Еa, Энергетическая диаграмма дырочного полупроводни­ка имеет вид, показанный на рис. 1.46.

Учитывая, что Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru , уравнение (1.38) принимает вид

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.48)

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

С учетом того, что Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru , уравнение (1.36) принимает вид

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.49)

Перемножая рp и пp , получаем

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.50)

В области рабочих температур можно считать р? = Nw тогда уравнение (1.48) при­нимает вид

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

Отсюда получаем

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.51)

Из изложенного можно сделать следующие выводы:

◙ концентрация как основных, так и неосновных носителей заряда зависит от положения уровня Ферми;

◙ введение в полупроводник примесей сдвигает уровень Ферми относительно середины запрещенной зоны в электронном полупроводнике вверх, а в дыроч­ном — вниз;

◙ повышение температуры полупроводника сдвигает уровень Ферми к середи­не запрещенной зоны;

◙ увеличение концентрации примесей повышает концентрацию основных носи­телей заряда и уменьшает концентрацию неосновных носителей заряда.

Зависимость концентрации электронов и дырок от температуры показана на рис. 1.47

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru

При Т= 0 все валентные электроны заняты в ковалентных связях, валентная зона полностью заполнена электронами, а в зоне проводимости электроны отсутству­ют. При повышении температуры происходит ионизация примесных атомов, по­этому концентрация основных носителей заряда возрастает. При температуре Ts, которая равна примерно 100 К, практически все примесные атомы ионизирова­ны. В интервале от температуры Ts до температуры Ti примерно равной 400 К, концентрация основных носителей заряда сохраняется приблизительно посто­янной и равной концентрации примесей. Некоторое увеличение концентрации в этом интервале температур объясняется тепловой генерацией электронов и ды­рок. При температуре Т > Тi происходит более интенсивная тепловая генерация электронов и дырок, поэтому концентрация основных носителей заряда резко увеличивается и различие между концентрациями основных и неосновных носи­телей заряда уменьшается, то есть примесный полупроводник по своим свойствам приближается к свойствам собственного полупроводника.

В отличие от концентрации основных носителей, концентрация неосновных но­сителей заряда с ростом температуры растет быстрее, чем концентрация собствен­ных носителей. Чтобы убедиться в этом, примем пn = Nd и, учитывая (1.39) и (1.44), получим:

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.52)

Полагая рP, = Na и учитывая (1.39) и (1.50), получаем

Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках - student2.ru (1.53)

Сравнивая (1.52) и (1.53) с (1.39), легко убедиться в том, что показатель степени экспоненты в (1.52) и (1.53) вдвое больше показателя степени экспоненты в (1.39), следовательно, повышение температуры более сильно влияет на пP и рП, чем на пi Увеличение концентрации неосновных носителей заряда с ростом температуры оказывает существенное влияние на работу полупроводниковых приборов.

Практически все полупроводниковые приборы работают в интервале температур от 300 до 400 К, в котором концентрацию основных носителей заряда можно считать не зависящей от температуры и учитывать сильную температурную зависимость концентрации неосновных носителей заряда.

Наши рекомендации