Сигналы с угловой модуляцией
При угловой модуляции по модуляции по закону управляющего сигнала изменяется текущая фаза .В зависимости от того, какой из параметров изменяется ( частота
или
фаза) различают две разновидности угловой модуляции: частотную или фазовую. Эти виды модуляции имеют много общего. Рассмотрим каждый из них.
Фазовая модуляция. Управляющее напряжение изменяет фазу ВЧ-колебания, а амплитуда остается постоянной.
;
(1.24)
где — начальная фаза ;
—коэффициент пропорциональности, связывающий изменение фазы с управляющим сигналом.
Следовательно
(1.30)
Примем .
Модуляция по фазе всегда сопровождается изменением частоты колебаний. Для выяснения этого обстоятельства запишем в виде
, где
— текущая фаза.
Мгновенная угловая частота колебаний определяется как скорость изменения угла
во времени , то есть
. В свою очередь
. Подставляя значение в выражение
получим :
.
Таким образом изменение фазы при фазовой модуляции в соответствии с выражением
приводит к изменению частоты на величину
.
Если управляющий сигнал изменяется по гармоническому закону ,то мгновенное значение изменения формы на величину
приводит к изменению частоты на величину
. Фазомодулированное колебание можно представить в следующем виде :
(1.31)
где — индекс фазовой модуляции ; величина его определяет максимальное отклонение фазы ВЧ-колебании при модуляции от первоначального значения ( при отсутствии модуляции ).
Частотная модуляция. При ЧМ переменным параметром, изменяющимся по закону управляющего сигнала, является частота то есть
(1.32)
где ;
-коэффициент пропорциональности, связывающий изменение частоты с управляющим сигналом.
Получим аналитическое выражение для ЧМ сигнала. Для этого воспользуемся соотношением .
Нам задана частота , нужно найти аргумент
. Известно , что
или
.
Следовательно .
Из этого выражения следует , что при ЧМ фаза колебаний также является величиной переменной :
Если управляющий сигнал изменяется по гармоническому закону ,то аналитическое выражение для ЧМ сигнала примет вид :
;
, (1.34)
где — изменение или девиация частоты при модуляции.
Видно , что изменение частоты по закону приводит к изменению фазы по закону
.
Величина называется индексом частотной модуляции . Проведенный анализ показывает, что фазовая и частотная модуляции имеют много общего : в обоих случаях происходит взаимосвязанное изменение фазы и частоты колебаний. ЧМ и ФМ можно рассматривать как две разновидности так называемой угловой модуляции , при которой по закону управляющего сигнала изменяется угол
. Тональной модуляции разницы между ЧМ и ФМ нет. Различия проявляются сложных управляющих сигналах. Это различие определяется тем фактом , что фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным колебанием пропорционален
(ф.1.30), в то время как для ЧМ-сигнала этот сдвиг пропорционален интегралу от управляющего сигнала (ф.1.33).
Спектр ЧМ-колебания. ЧМ-колебание изменяется по закону .
Для определения спектра заменим косинус суммы двух углов : .
1.Определим спектр ЧМ-колебания при малом индексе модуляции .
В этом случае
,
.
Поэтому
.
Замечаем что при малом индексе модуляции спектр ЧМ-колебания отличается от спектра АМ-колебания только сдвигом фазы нижней боковой частоты на 180 градусов (рис.1.21 а).
2.Определим спектр ЧМ-колебания при произвольных индексах модуляции. Для этого периодические функции и
нужно разложить в ряд Фурье , коэффициенты которых являются функциями Бесселя первого рода :
.
Подставляя эти выражения в общее выражение S(t) для ЧМ сигнала (1.34) и выполнив тригонометрические преобразования, окончательно получим
. (1.35)
Таким образом, ЧМ-колебание имеет дискретный спектр и состоит из несущей и бесконечного цикла боковых частот c амплитудами
.Однако практически ширина спектра при ЧМ ограничена . Это можно заметить из рисунка 1.20, на котором приведены графики функций
Рис.1.20
При и
функции
убывают столь быстро, что ими можно пренебречь, то есть считать, что
при
.
Поэтому ширина спектра при ЧМ будет равна
,
то есть приближенно равна удвоенной девиации частоты. На рисунке 1.21 б в качестве примера показан график спектра ЧМ-колебаний при . Таким образом, ширина спектра при ЧМ-колебании в
раз шире, чем при АМ.
Рис.1.22