Нормального распределения

Как уже известно сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических частот. Эмпирические частоты находят из опыта. Теоретические частоты рассчитываются следующим образом [3] .

1. Весь интервал наблюдаемых значений X (выборки объема n) делят на s частичных интервалов (x1, хi+1) одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов хi* = (xi + xi+1) /2; в качестве частоты ni варианты xi принимают число вариант, которые попали в i-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

х1* х2* . . . хs .

n1 n2 . . . ns .

При этом Σ ni = n.

2. Вычисляют, например методом произведений, выборочную среднюю Нормального распределения - student2.ru и выборочное среднее квадратическое отклонение σ*.

3.Нормируют случайную величину X, т. е. переходят к величине Z = (X— Нормального распределения - student2.ru )/σ* и вычисляют концы интервалов (zi , zi+1 ) :

zi = (xiНормального распределения - student2.ru ) /σ*, zi+1 = ( xi+1Нормального распределения - student2.ru )/ σ*,

причем наименьшее значение Z, т. е. z1 полагают равным -∞ а наибольшее , т.е. zs , полагают равным ∞

4. Вычисляют теоретические вероятности рi попадания в интервалы (xi, xi+1) по равенству :

pi=Ф(zi+1)-Ф (zi),

где Ф (z) - функция Лапласа (см. таблицу приложения 4)

и, наконец, находят искомые теоретические частоты : n'i = пpi .

Пример решения задачи к разделу 3.4.4. [3 ]

Пример 5. Найти теоретические частоты по заданному интервальному распределению выборки объема п =200, предполагая,что генеральная совокупность распределена нормально(табл. 3.3)

Решение

1. Найдем середины интервалов xi* = (xi+xi+1)/2, Например, xi* = (4 + 6)/2 = 5. Поступая аналогично, получим последовательность равноотстоящих вариант хi* и соответствующих им частот ni

xi* 5 7 9 11 13 15 17 19 21

ni 15 26 25 30 26 21 24 20 13

2.Пользуясь методом произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение:

Нормального распределения - student2.ru = 12,63, σ* = 4,695.

3.Найдем интервалы (zi , zi+1 ), учитывая, что Нормального распределения - student2.ru = 12,63, σ* = 4,695, 1/σ* = 0,213, для чего составим расчетную табл. 3.4

Таблица 3.3.

  Номер интер- вала   Границы интервала   Частота   Номер интер- вала   Границы интервала   Частота
      интервала    
i xi xi+1 ni i xi xi+1 ni
               
       
              n= 200

4.Найдем теоретические вероятности pi и искомые теоретические частоты ni'= npi, для чего составим расчетную табл. 3.5.

Таблица 3.4.

i Границы интервала xi - Нормального распределения - student2.ru (xi+1- Нормального распределения - student2.ru ) Границы интервала
        ‑   ‑6,63   -∞   ‑1,41
‑6,63 ‑4,63 ‑1,41 ‑0,99
‑4,63 ‑2,63 ‑0,99 ‑0,56
‑2,63 ‑0,63 ‑0,56 ‑0,13
‑0,63 1,37 ‑0,13 0,29
1,37 3,37 0,29 0,72
3,37 5,37 0,72 1,14
5,37 7,37 1,14 1,57
7,37 1,57
  xi xi+1     zi= =(xi - Нормального распределения - student2.ru )/ σ* zi+1 = =(xi+1- Нормального распределения - student2.ru σ*  

Таблица 3.5.

  i Границы Интервала     Ф( zi )   Ф(zi+1) pi= Ф( zi+1 )- - Ф( zi )   Нормального распределения - student2.ru i=npi= = 200pi
zi zi+1
‑ ∞ ‑1,41 ‑0,5000 ‑0,4207 0,0793 15,86
‑1,41 ‑0,99 ‑0,4207 ‑0,3389 0,0818 16,36
‑0,99 ‑0,56 ‑0,3389 ‑0,2123 0,1266 25,32
‑0,56 ‑0,13 ‑0,2123 ‑0,0517 0,1606 32,12
‑0,13 0,29 ‑0,0517 0,1141 0,1658 33,16
0,29 0,72 0,1141 0,2642 0,1501 30,02
0,72 1,14 0,2642 0,3729 0,1087 21,74
1,34 1,57 0,3729 0,4418 0,0689 13,78
1,57 0,4418 0,5000 0,0582 11,64
          Σpi = 1 Σ Нормального распределения - student2.ru = = 200

Искомые теоретические частоты помещены в последнем столбце табл. 3.5.


Наши рекомендации