Рабочее задание

1. Получить приближенное аналитическое решение поставленной задачи. В расчетной модели принять, что:

Рис. 1.1

1.1 диэлектрическая проницаемость среды

,

где - относительная диэлектрическая проницаемость (задается каждым студентом индивидуально);

1.2 напряженность электростатического поля Езадается каждым студентом индивидуально.

1.3 длинный металлический пруток (краевые эффекты не учитываются) в сечении представляет собой окружность с радиусом , равным мм;

1.4 на большом расстоянии от прутка поле является равномерным, а сам пруток представляет собой бесконечно тонкую нить, несущую линейный заряд (для упрощения расчетов рекомендуется принять );

1.5 вся поверхность прутка является эквипотенциальной;

1.6 систему координат рекомендуется выбрать цилиндрической, совместив ее начало с осью металлического прутка, ось Z направить вдоль прутка;

1.7 для упрощения расчетов нулевое значение угла рекомендуется совместить с направлением вектора напряженности внешнего электростатического поля (Следует помнить, что в силу условий симметрии, при движении вдоль координаты как в прямом, так и обратном направлении, потенциал будет меняться по одному закону!);

1.8 для разделения переменных удобнее всего использовать преобразование Фурье, для определения степени, в которую возводится расстояние r (от центра координат до произвольной точки) – подстановку Эйлера.

2. Определить расчетные значения напряженности поля в нескольких точках вблизи металлического прутка, согласно рис. 1.

3. С помощью компьютера получить точное решение поставленной задачи. Распечатать на принтере графическую зависимость . По известной картине изменения потенциалов построить семейство силовых линий электростатического поля. Для этого:

3.1. Запустить программу FEMM из меню "Пуск" или через ярлык, расположенным на рабочем столе. В главном меню рабочего окна программы "File" выбрать опцию "New", в открывшемся диалоговом окне "Create new problem" активировать тип задачи "Electrostatics problems" закрыть окно - "ОК".

Формулировка задачи. Пусть имеются два плоских проводника шириной 50 мм, расположенных на расстоянии 10 мм друг от друга. Посередине между ними находится третий проводник прямоугольной формы с размерами: . Соотношение линейных размеров конденсатора и внутреннего проводника обычно подбираются таким образом, чтобы устранить влияние краевых эффектов в исследуемой области (в данном случае расстояние от края конденсатора до внутреннего проводника примерно в 20 раз превышает длину ребра прямоугольного проводника). Потенциал первого (верхнего) провода примем, к примеру, равным 100 В, потенциал второго (нижнего) - 100 В и третий, внутренний проводник, согласно критерию симметрии, должен иметь потенциал 0 В. Характеристика диэлектрика между проводниками задается вручную.

3.2. Создание геометрии модели.

Кликнуть левой клавишей мыши по кнопке "Nodes" панели инструментов («Точка»), нажать кнопку "Tab"( ) на клавиатуре. В открывшемся окне ввести координаты первой точки модели (0, 0). Первая точка отобразится на мониторе. Аналогично ввести другие точки: (0,10),(50,10),(50,0). Ввести координаты вершин внутреннего проводника: (24;6),(24;4),(26;6),(26;4) и центр его симметрии (25;5).

Кликнуть левой клавишей мыши на кнопку "Line" (линия -справа от кнопки "Nodes"). Установить курсор на первую точку, кликнуть левой клавишей мыши и переместить курсор в точку 2, вторично кликнуть левой клавишей мыши. Появится линия, соединяющая точки 1 и 2. Указанным способом соединить все точки как показано на рис.2. Следует помнить, что область, в которой рассчитывается поле, должна быть замкнутой, поэтому необходимо показать вертикальные линии между точками (0;0) и (0;10), (50;0) и (50;10).

Рис. 1.2

3.3. Создание библиотеки материалов.

Выбрать "Properties Material" главного меню. В диалоговом окне кликнуть кнопку "Add Materials". Изменить "New Materials", к примеру, на "Air" и ввести нужные Вам параметры диэлектрика. Нажать "ОК".

3.4. . Определение материала для каждой области.

Кликнуть на кнопке "Block Labels" (Кнопка зеленого цвета, расположенная под клавишей Problem) левой клавишей мыши и установить курсор внутри области, образованной внешними проводниками. Кликнуть левой клавишей мыши, появится точка блока с надписью "None", затем, не перемещая курсор, кликнуть правой клавишей мыши, точка станет красного цвета. Нажать клавишу" пробел" и в появившемся окне задать свойства выбранного блока. В "Block type" внести "Air", в "Mesh Size" - размер сетки, например- 0,5. Нажать "ОК". Имя блока изменится с "None" на "Air". Таким образом, следует поставить метки блоков между пластинами конденсатора (первым и вторым проводниками) и внутри третьего проводника, таким образом, на модели будут созданы два блока с характеристиками диэлектрической среды.

3.5. Задание потенциалов проводников.

Выбрать "Properties Conductors" в появившемся меню кликнуть на кнопке "Add Property". Заменить имя "New Conductor" на "One". Выбрать "Prescribed Voltage" и ввести 100. Нажать "ОК". Таким же образом ввести потенциал второго проводника - -100 и третьего проводника -0.

Выбрать "Lines", поместить курсор на первый проводник и кликнуть правой клавишей мыши. Линия, обозначающая проводник станет красного цвета. Нажать клавишу "пробел" и в появившемся окне в "In Conductor" заменить "None" на "One". Повторить операции для второго и третьего проводников. Для третьего проводника необходимо выделить весь периметр.

3.6. Установка характеристик задачи.

Выбрать “Problem” в меню инструментов, в открывшемся диалоговом окне должен быть указан тип задачи “Planar” – плоскопараллельная задача. Установить единицу длины “Millimeter” и глубину модели в направлении оси z - “depth” - 100. По умолчанию точность решения равна 10^-8. При необходимости её можно изменить. Для наглядности можно добавить комментарий в “Comment”.

3.7. Сохранение файла.

В главном меню выбрать “File” затем “Save as” , выбрать папку для размещения файла, задать имя и нажать кнопку сохранить.

3.8. Построение сетки и запуск задачи на счёт.

Кликнуть на кнопку с жёлтой сеткой, произойдёт построение сетки. По окончании процесса появится сообщение о количестве узлов созданной сетки. Если возникла проблема, будет выдано диагностическое сообщение.

Для запуска программы на счёт нажать кнопку с шестерёнкой. Начнётся расчёт, ход которого отражается в появившемся окне.

3.9. Отображение результатов на мониторе.

Для отображения результатов нажать кнопку панели задач с изображением очков или выполнить команду главного меню Analysis Results. По умолчанию на экране появится цветная картина, отражающая интенсивность поля. Для изображения силовых линий выполнить команду View Contour Plot и в появившемся диалоговом окне поставить галочку напротив поля Show equipotential lines, нажать "ОК" или нажать кнопку с изображением квадрата с чёрной штриховкой. Для изображения вектора напряжённости поля выбрать команду View Vector Plot или нажать кнопку с изображением стрелки. Появится диалоговое окно Vector Plot Options в выпадающем списке Vector Plot Type выбрать Electric Field Intensity (E).

3.10. Для просмотра параметров поля в интересующей области необходимо нажать кнопку с изображением точки и задать координаты. Это можно сделать, либо курсором левой клавиши мыши, либо нажать кнопку Tab и ввести координаты точки см. п. 3.2. Параметры точки отображаются в окне FEMM Output. Если окна нет на экране, то следует выполнить:View Output Window.

Рис. 1.3

3.11. Редактирование модели.

Изменение потенциала проводника. В режиме Line указать курсором нужный проводник и кликнуть правой клавишей мыши, цвет проводника станет красным. В главном меню выполнить команду Properties Conductors . Откроется диалоговое окно Property Definition кликнуть кнопку Modify Property и в появившемся окне выбрать нужный проводник и изменить его свойства см. п. 3.5.

Изменение положения внутреннего проводника.

Проводник можно перемещать. Для этого нужно, прежде всего, выйти из режима просмотра результатов расчета. Нажмите кнопку в левом нижнем углу окна с изображением конденсатора. Уберите сетку, для чего нажмите желтую кнопку. В режиме Line выделите контур проводника, затем перейдите в Edit Move, в появившемся окне выбрать желаемое перемещение: вращение (Move) или прямолинейное перемещение (Translation). При вращении тела необходимо задать координаты точки, вокруг которой будет происходить перемещение, задать угол поворота в градусах и нажать "ОК". Далее, построить сетку, провести расчет задачи и получить результат (рис. 1.3)

4. Сравнить величины напряженности поля в заданных точках, полученные с помощью аналитической модели и точного расчета на основе программы «FEMM 4.2». Сделать вывод о допустимости использования аналитической модели для расчета поля, а различных областях исследуемого пространства.

5. Распечатать на принтере картину силовых линий в исследуемой области. Сравнить графические зависимости, построенные «вручную» и результаты точного расчета. Сделать вывод о допущенных ошибках.

6. На картине, представленной на мониторе компьютера, повернуть металлический пруток вокруг своей оси на угол . Повторить п. п. 3 – 5.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как записывается уравнение Лапласа в различных системах координат? Какие независимые координаты используются в этих случаях?

2. Когда для расчета электростатического поля используется уравнение Лапласа?

3. Чем обусловлен выбор той, или иной системы координат при решении конкретной задачи?

4. Почему силовые линии и эквипотенциали пересекаются под прямым углом?

5. Почему каждая эквипотенциаль входит в металлическое тело под прямым углом?

6. Объясните, почему металлические тела, помещенные в электростатические поля всегда эквипотенциальны?

7. Как по картине эквипотенциалей найти значение напряженности электростатического поля в выбранной точке?

8. Каким должно быть металлическое тело, чтобы напряженность электростатического поля в точках , при была максимальной?

9. Как изменится электростатическое поле, если вместо металлического прутка, взять диэлектрический пруток?