Электростатическое поле равномерно заряженной оси.

Рассмотрим электростатическое поле оси, заряженной с равномерной плотностью заряда (где q – заряд, l – длина оси). Используем для этого теорему Гаусса в интегральной форме:

Выделим вокруг данной оси соосный с ней цилиндр единичной длины (l=1) с произвольным радиусом R. В объеме данного цилиндра сосредоточен заряд τ. Линии напряженности электростатического поля скользят вдоль оснований цилиндра и пересекают только его боковую поверхность S=2πRl=2πR. Напряженность поля во всех точках этой поверхности одинакова, так как они равноудалены от заряженной оси. Кроме того, линии напряженности перпендикулярны к этой поверхности, поэтому можно записать:

Поэтому теорему Гаусса для данного случая можно записать так:

или

Откуда

(1.1)

В векторном выражении , где - единичный вектор, направленный в радиальном направлении по отношению к заряженной оси.

В выражении (1.1) , где

ε_а – абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества (Ф/м)

ε₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума (или диэлектрическая постоянная)

ε₀=8,86·10^-12 (Ф/м)

ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества.

Поле двух параллельных заряженных осей.

Рассмотрим поле двух параллельных заряженных осей А и В. Плотность заряда обоих осей одинакова и равна τ, а знак заряда противоположный. Определим напряженность поля в некоторой произвольной точке М, удаленной от провода А на расстояние АМ=а и от В на расстояние ВМ=b.

Используя метод наложения, запишем

(1.2)

где

(1.2а)

(1.2б)

где и - единичные вектора (орты) по направлению отрезков a и b (совпадают соответственно с и ).

Далее определим потенциал в точке М также используя принцип наложения, т.е.

(1.3)

Так как , то

или

(1.3а)

При определении учтем, что заряд на оси В отрицательный, поэтому

(1.3б)

Для определения постоянной интегрирования С рассмотрим точку, лежащую на линии нулевого потенциала (т.е равноудаленную от осей А и В). Для неё φ=0. Тогда

Так как ln1=0, то С=0. Окончательно имеем

(1.4)

Построение графика изменения напряженности вдоль прямой,

Соединяющий оси проводов.

Для этой цели используем формулы (1.2), (1.2а) и (1.2б). Следует выделить три области (см. рис. 2):

1 – между проводами А и В (точка М и ей подобные);

2 – левее левого провода (точка N);

3 – правее правого провода (точка P).

В первой области (точка M) вектора E_A и E_B совпадают по направлению. Поэтому

Если обозначить a=x и b=d-x, где x – расстояние от оси левого провода до точки М и d – расстояние между осями проводов, то

или

(1.5а)

Для точек, лежащих левее левого провода

Примем a=x, тогда b=d+x

(1.5б)

Для точек Р, лежащих правее правого провода

Удобно принять b=x, тогда a=d+x

(1.5в)

В данном случае формулы (1.5б) и (1.5в) тождественны, что говорит о симметрии картины изменения Е за проводами (2–я и 3–я области). При этом следует помнить, что направление векторов Е за пределами проводов противоположно направлению Е в точках, лежащих между проводами. Рекомендуемые точки для построения графика Е показаны на рис. 3.

Точки

3, 4, 8, 9 – в непосредственной близости от проводов

2 и 5 – на расстоянии d/4 от левого провода

7 и 10 – на расстоянии d/4 от правого провода

6 – на расстоянии d/2 от левого и правого провода

Так как напряженность Е особенно резко изменяется вблизи проводов, то для построения более точного графика можно дополнительно рассчитать значение Е в точках, близких к 3, 4, 8 и 9.

Но указанные на рис. 3 точки являются минимально необходимыми. При построении графика Е размерность рекомендуется брать в (кВ/см) или (В/см).