Уравнение Шредингера для твердого тела.

Твердым телом называется совокупность ядер и электронов.

Стандартное состояние частиц в твердом теле описывается уравнением Шредингера - .

- волновая функция зависит от координат всех частиц.

(r1, r2, r3…rn, R1, R2, R3,….Rn )

Если на волновую функцию наложить ограничения (конечность, однозначность, непрерывность), то уравнение Шредингера будет иметь решение не при всех значениях E, решения E определяет уровни энергии (энергетический спектр) твердого тела.

Одноэлектронное приближение.

В одноэлектронном приближении вводится ряд упрощающих условий:

1. Большая разница масс атомных ядер и электронов приводит к очень большой разнице в скоростях движения. Поэтому при описании движения электрона можно не учитывать движение ядер, а рассматривать движение электрона в поле неподвижных ядер. Это условие получило название адиабатического приближения.

2. Медленное движение ядер можно рассматривать не в поле, создаваемом мгновенным расположением электронов, а в поле, создаваемом средним пространственным распределением зарядов электронов.

3. Взаимодействие каждого электрона с остальными, зависящее от мгновенного расположения всех электронов, рассматривается как взаимодействие электрона с самосогласованным полем, создаваемым средним пространственным распределением зарядов электронов.

Функция Блоха.

Теорема Блоха, которая в трехмерном случае гласит: собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию , периодическую в решетке кристалла:

Функцию часто называют блоховской волновой функцией.

Свойства волнового вектора электрона в кристалле.

На электрон, движущийся в кристалле, действует периодическое поле кристаллической решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, т.е. не сохраняются.

- величина называется квазиимпульсом электрона.

Зоны Бриллюэна.

Волновая функция и энергия электрона в кристалле являются периодическими функциями волнового вектора с периодом (или квазиимпульса ).

Если в -пространстве (или -пространстве) построить обратную решетку, растянутую в 2pраз, т.е. решетку с векторами , то все -пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называются зонами Бриллюэна.

· Первая зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку Вигнера – Зейтца для обратной решетки, растянутой в 2pраз.

· Вторая зона строится аналогичным образом. В обратной решетке, параметры которой растянуты в 2p раз, выбранный при построении первой зоны Бриллюэна за начало отсчета узел, соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами, но уже лежащими на поверхности второй координационной сферы. Затем строят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящим через их середину. В результате получают вторую зону Бриллюэна в виде замкнутого многогранника.

Поверхность Ферми.

Поверхность Ферми – изоэнергетическая поверхность в пространстве квазиимпульсов (p-пространстве), соответствующая фермы-энергии :

Фазовый переход в металле сопровождается изменением его поверхности Ферми. Так, при переходе из парамагнитного в ферро-магнитное состояние происходит расщепление поверхности Ферми на две - для электронов с различно направленными спинами.

Внешнее воздействие на металл может привести к изменению геометрии поверхности Ферми: может возникнуть или исчезнуть полость поверхности Ферми и (или) разорваться либо образоваться перемычка у поверхности Ферми. При этом электронные характеристики металла обнаруживают аномалии, называемые электронным топологическим переходом в нормальном металле.