РАЗДЕЛ 4. Упругие свойства кристаллов

Механические свойства твердого тела отражают его реакцию на воздействие некоторых внешних факторов. В простейшем случае такими внешними факторами являются механические воздействия: сжатие, растяжение, изгиб, удар, кручение. Механические свойства определяются, в первую очередь, силами связи, действующими между атомами или молекулами, составляющими твердое тело. При действии на кристалл внешней растягивающей нагрузки расстояние между атомами увеличивается, и равновесное расположение их в кристалле нарушается. Это приводит к нарушению равенства сил притяжения и отталкивания, характерного для равновесного состояния атомов в решетке, и возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы в первоначальные положения равновесия. Величину этих сил, рассчитанную на единицу площади поперечного сечения кристалла, называют напряжением: s =F_вн./S, где F_вн.- внешняя сила, S - площадь поперечного сечения кристалла. При однородном напряжении (одинаковом во всех точках тела) при равновесии силы, действующие на противоположные грани равны. Поэтому рассматриваются только силы, действующие на три взаимно перпендикулярные грани. Каждое из напряжений, действующих на три непараллельные грани куба, раскладывается на одну нормальную составляющие и две касательные, т.е. лежащие в рассматриваемой грани. Нормальные напряжения s₁₁, s₂₂, s₃₃ - растягивающие или сжимающие, касательные - s₁₂, s₂₁, s₂₃ и т.д. - скалывающие или сдвиговые. Касательные напряжения способствуют развитию пластической деформации, а нормальные - разрыву межатомных связей, хрупкому разрушению твердого тела. Имеется девять компонент тензора механических напряжений:

Т_напр.= . (4.1)

Так как элементарный куб находится в состоянии равновесия и напряжение однородно, то s₂₃ =s₃₂; s₃₁ = s₁₃; s₁₂ = s₂₁. Таким образом, из 9-ти компонент тензора напряжений только шесть являются независимыми и тензор оказывается симметричным s_ij = s_ji

Деформация этоизменение объема или формы твердого тела без изменения его массы под действием внешней силы. Это процесс, при котором изменяется расстояние между какими-либо точками тела. Относительная деформация тела e = (l_к-l₀)/ l_0, где l₀ - начальная длина тела; l_к- длина после приложения растягивающей силы. Деформация в любой точке есть производная смещения по координате (безразмерная величина) e=du/dx. Тензор деформации является симметричным тензором второго ранга, он определяет деформированное состояние в данной точке тела. Из 9-ти компонент тезора деформации шесть являются независимыми

Т_деф = = . (4.2)

Диагональные компоненты e_ii описывают удлинение или сжатие, а недиагональные компоненты e_ij описывают сдвиг.

Закон Гука.

1. Для изотропных твердых тел. При растяжении изотропного тела (для изотропного тела любые произвольно выбранные направления эквивалентны), когда деформация и напряжения достаточно малы, деформация пропорциональна напряжению: e = Ss, S - константа упругой податливости (податливость). 1/S = С - константа упругой жесткости (жесткость, модуль Юнга Е = С). Размерность этих величин:

[S]=[площадь]/[сила]=[объем]/[энергия];[С]=[сила]/[площадь]=

[энергия]/[объем]. Чем меньше податливость, тем более жестким является кристалл. Тогда закон Гука s = Сe = Еe. Закон Гука для сдвиговой деформации при действии касательных (скалывающих) напряжений t = F/s = GD l /h = G tga , где G - модуль сдвига; tga - тангенс угла сдвига; F - сила; s - площадь сечения образца в плоскости сдвига.

В случае всестороннего сжатия (или растяжения) закон Гука имеет вид: Р = æDV/V = æW, где Р - гидростатическое давление, æ - коэффициент всестороннего сжатия (или модуль объемной деформации); W - объемная деформация.

Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона n, равным отношению изменения размеров в поперечном направлении к их изменению в продольном направлении:

= - . (4.3)

Существует связь между константами упругости и коэффициентом Пуассона G = E/[2(1+n)]. Зная две константы, всегда можно определить третью.

Обобщенный закон Гука устанавливает линейную зависимость не только между одним напряжением и соответствующей деформацией, но и между компонентами тензора напряжений и каждым компонентом тензора деформации. Обобщенный закон Гука для изотропного тела записывается таким образом:

Для удлинений

;

(4.4)

;

.

Для сдвигов

e₁₂ = e_xy = s₁₂/G = t_xy/G; e₂₃ = e_yz = s₂₃/G = t_yz/G; e₃₁ = e_zx = s₃₁/G = t_zx/G. (4.5)

Для анизотропных тел. Для монокристаллов любые произвольно выбранные направления по свойствам неэквивалентны. Если деформация бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжений линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных тел:

e_ij = S_ijkl s_kl, либо (4.6)

s_ij = C_ijkl e_kl, (4.7)

где S_ijkl и C_ijkl - тензоры упругой податливости и упругой жесткости соответственно.

Так как тензоры деформации и напряжения являются симметричными тензорами второго ранга, то независимых компонент S_ijkl и C_ijkl будет 36. Наличие равенств S_ijkl = S_klij и C_ijkl = C_klij, приводит к сокращению независимых компонент до 21. Столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. Для кристаллов с кубической симметрией полное число упругих констант равно 3, так как направления ±х, ±y, ±z взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице:

. (4.8)

Между константами податливости и жесткости в зависимости от симметрии кристалла имеется определенная форма соотношения. Для кристаллов кубической сингонии

С₁₁ = C₁₂ = C₄₄ = (4.9)

Плотность упругой энергии. Плотность упругой энергии U в приближении закона Гука является квадратичной функцией деформации:

U = (4.10)

Где индексы от 1 до 6 определяются таким образом: 1 = хх; 2 = yy; 3 = zz; 4 = z; 5 = zx; 6 = xy. Коэффициенты связаны с коэффициентами С С_ab= . Плотность упругой энергии кубического кристалла записывается в виде

U= (4.11)

При однородном расширении е_хх = е_yy = e_zz = d/3. Тогда энергия: U= . Или: U = где В = - объемный модуль упругости для кубического кристалла. Величина, обратная объемному модулю упругости, есть сжимаемость æ=1/В. Зная значения упругих постоянных кристаллов, можно определить скорости распространения упругих волн (поперечных и продольных) и наоборот.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Кубический кристалл подвергнут растяжению в направлении [100]. Найти выражение для коэффициента Пуассона через упругие постоянные или модули упругости.

РЕШЕНИЕ.

Закон Гука для анизотропного тела записывается таким образом:

S₁ = s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + s₁₃T₃ + s₁₄T₄ + s₁₅T₅ + s₁₆T₆;

S₂ = s₂₁T₁ + s₂₂T₂ + s₂₃T₃ + s₂₄T₄ + s₂₅T₅ + s₂₆T₆;

S₃ = s₃₁T₁ + s₃₂T₂ + s₃₃T₃ + s₃₄T₄ + s₃₅T₅ + s₃₆T₆;

S₄ = s₄₁T₁ + s₄₂T₂ + s₄₃T₃ + s₄₄T₄ + s₄₅T₅ + s₄₆T₆;

S₅ = s₅₁T₁ + s₅₂T₂ + s₅₃T₃ + s₅₄T₄ + s₅₅T₅ + s₅₆T₆;

S₆ = s₆₁T₁ + s₆₂T₂ + s₆₃T₃ + s₆₄T₄ + s₆₅T₅ + s₆₆T₆;

Для кубического кристалла закон Гука записывается таким образом:

S₁ = s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + s₁₂T₃;

S₂ = s₁₂T₁ + s₁₁T₂ + s₁₂T₃;

S₃ = s₁₂T₁ + s₁₂T₂ + s₁₁T₃;

S₄ = s₄₄T₄;

S₅ = s₄₄T₅;

S₆ = s₄₄T₆;

Если существуют напряжения растяжения только вдоль оси [100], то лишь Т₁¹0. Тогда

S₁ = s₁₁T₁; S₂ = s₁₂T₁; S₃ = s₁₂T₁. Так как коэффициент Пуассона n = - S₂/S₁, то следует, что n = - s₁₂/s₁₁.

ОТВЕТ: n = - s₁₂/s₁₁.

Пример 2: Кубический кристалл подвергнут гидростатическому сжатию. Показать, что величина обратная сжимаемости В = - V(dP/dV), связана с упругими постоянными соотношением В = (с₁₁+2с₁₂)/3.

РЕШЕНИЕ.

В общем случае закон Гука для анизотропного тела записывается следующим образом: S_q = s_qrT_r (q, r = 1, 2, 3, 4, 5, 6), где S_q - компоненты тензора деформации, T_r - компонетнты тензора напряжения. При гидростатическом сжатии Т₁ = Т₂ = Т₃ = - Р и Т₄ = Т₅ = Т₆ = 0. Тогда закон Гука перепишется таким образом:

S₁ = - (s₁₁+s₁₂+s₁₃) P,

S₂ = - (s₁₂+s₂₂+s₂₃) P,

S₃ = - (s₁₃+s₂₃+s₃₃) P,

S₄ = - (s₁₄+s₂₄+s₃₄) P,

S₅ = - (s₁₅+s₂₅+s₃₅) P,

S₆ = - (s₁₆+s₂₆+s₃₅) P.

Объемная деформация определяется суммой S₁+S₂+S₃. Тогда

S₁ + S₂ + S₃ = - [s₁₁ + s₂₂ + s₃₃ + 2(s₁₂+s₂₃+s₁₃)] P.

Так как для кубических кристаллов s₁₁ = s₂₂ = s₃₃ и s₁₂ = s₂₃ = s₁₃, то сжимаемость

æ = - (S₁+S₂+S₃)/ Р = 3 (s₁₁+2s₁₂).

Поскольку с₁₁ + 2с₁₂ = 1/( s₁₁+2s₁₂), то В = 1/ æ = (с₁₁+2с₁₂)/3.

ОТВЕТ: В = (с₁₁+2с₁₂)/3.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

4.1. Показать, что скорость u волны сдвига, распространяющейся вдоль направления [110], когда частицы колеблются в направлении в кубическом кристалле, равна , где r - плотность кристалла.

4.2. Найти соотношение между модулями упругости и упругими податливостями кубического кристалла.

ОТВЕТ: С₁₁ = C₁₂ = C₄₄ = .

4.3. Упругие постоянные бериллия С₁₁, С₃₃, С₄₄, С₁₂, С₁₃ соответственно равны: 30,8×10¹⁰; 35,7×10¹⁰; 11,0×10¹⁰; -5,8×10¹⁰ и 8,7×10¹⁰ Н/м². Бериллий имеет гексагональную решетку, для которой набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице

.

Вычислить коэффициенты податливостей.

ОТВЕТ: S₁₁ » 0,37×10^-11 м²/Н; S₁₂ » 0,11× 10^-11 м²/Н; S₁₃ » - 0,11× 10^-11 м²/Н; S₃₃ » 0,34× 10^-11 м²/Н; S₄₄ » 0,9× 10^-11 м²/Н.

4.4. Податливости никеля (кубическая решетка) S₁₁, S₁₂, S₄₄ при комнатной температуре соответственно равны 0,799×10^-11; - 0,312×10^-11 и 0,84×10^-11 м²/Н. Определить модуль Юнга и модуль сдвига никеля в направлении [210].

ОТВЕТ: Е » 1,87×10¹¹ Н/м²; G » 0,79×10¹¹Н/м².

4.5. Определить модули упругости С₂₂,С₄₄, С₆₆ и С₄₆ моноклинного кристалла по скоростям распространения ультразвуковых волн, приведенных в таблице. Плотность кристалла 1160 кг/м³.

Направление распространения волны	Направление смещения в волне	Скорость звука, м/сек

ОТВЕТ: С₂₂ » 9,7×10⁹ Н/м²; С₄₄ » 3,3×10⁹ Н/м²; С₆₆ » 2,4×10⁹ Н/м²; С₄₆ » 1,39×10⁹ Н/м².

4.6. Сжимаемость меди 0,76×10¹¹ м²/Н. Определить характеристическую температуру меди, если постоянная решетки 3,61 Å.

ОТВЕТ: q » 342 К.

4.7. Сжимаемость меди 0,76×10¹¹ м²/Н, коэффициент Пуассона 0,334. Определить характеристическую температуру меди. Сравнить это значение характеристической температуры со значением, полученным в предыдущей задаче.

ОТВЕТ: q » 342 К.

4.8. Резонансная частота цилиндрического никелевого стержня длиной 10 см и диаметром 0,442 см равна 1880 Гц. Определить модуль Юнга и модуль сдвига никеля, если плотность его 8800 кг/м³.

ОТВЕТ: Е » 2050 кГ/м²; G » 1268 кГ/м².

4.9. Показать, что скорость продольной волны, распространяющейся в направлении [111] в кубическом кристалле, равна . Для такой волны u=u=w. Положить:

.

4.10. Показать, что скорость поперечных волн, распространяющихся в направлении [111] в кубическом кристалле, равна . Использовать задачу 4.9.

РАЗДЕЛ 5. Динамика решетки

С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие физические явления в твердых телах - теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др. В твердом теле атомы при любой температуре, включая 0К, непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колебания можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т.д. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твердом теле. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием решетки. Число нормальных колебаний, которое может возникнуть в решетке, равно числу степеней свободы частиц кристалла, т.е. 3N (N- число частиц, образующих кристалл). Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Так как твердое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн. Волна колебаний кристаллической решетки представляет собой повторяющуюся и систематическую последовательность смещений атомов из положений равновесия (продольных, поперечных или некоторых их комбинаций), которая характеризуется следующими параметрами:

- скоростью распространения u;

- длиной волны l или волновым вектором | | = 2p/l;

- частотой n или угловой частотой w = 2pn= u .

Самая короткая длина волны, которая может образовываться в одномерной цепочке атомов, равна удвоенному расстоянию между атомами цепочки:

l_min = 2а.

Ей отвечает максимальная частота, связанная с длиной волны следующим соотношением: . u - скорость распространения волн (звука) в цепочке.

Рассматривая возвращающие силы, действующие на смещенные атомы, можно написать уравнение движения для любого смещения и получить дисперсионное уравнение, связывающее частоту с длиной волны (или угловую частоту и волновой вектор).

С классической точки зрения волна, которая удовлетворяет данному дисперсионному уравнению, может иметь любую амплитуду. Однако, как и квантам электромагнитного излучения и частицам вещества, элементарным квантованным колебаниям решетки свойствен корпускулярно-волновой дуализм. То есть, энергия колебаний решетки, или энергия упругой волны, является квантовой величиной. Квант энергии упругой волны называется фононом. Фононы описываются той же функцией распределения Бозе-Эйнштейна, что и фотоны:

.

В зависимости от степени возбуждения нормального колебания оно может «испускать» то или иное число одинаковых фононов. Распространение волны смещения в твердом теле следует рассматривать как движение одного или многих фононов. При этом каждый фонон переносит энергию e = hn = и импульс . В действительности фонон в решетке не имеет импульса. Только фонон с волновым вектором имеет физически существующий импульс для типа колебания, соответствующего равномерному перемещению системы. Причина того, что фононы в решетке не имеют импульса, заключается в том, что координаты фононов (за исключением фонона с ) выражаются через относительные координаты атомов. Поэтому при рассмотрении поведения фонона вводится понятие квазиимпульса, т.е. рассматривается фонон, как если бы он обладал импульсом. Если в процессе неупругого рассеяния фотона или нейтрона, при котором их волновой вектор изменяется от до , образуется фонон с волновым вектором , то правило отбора для этого процесса запишется так , где - вектор обратной решетки.

Кривые, выражающие зависимость частоты колебаний от волного вектора (длины волны), называются дисперсионными кривыми. Рассматривая колебания в решетке, состоящей из одинаковых атомов, дисперсионный закон запишется таким образом:

, (5.1)

(5.2)     (5.3)

где М - масса атома, С_р - силовая постоянная для плоскостей, находящихся на расстоянии р, а - параметр решетки. При учете взаимодействия только с ближайшими соседями дисперсионное уравнение запишется таким образом:

Знаки плюс и минус отвечают волнам, распространяющимся в противоположных направлениях. В случае, когда ka << 1, sin(ka/2) » ka/2. Тогда w » u₀k , где u₀ = а(М/m)^1/2. Область k-пространства, для которой образует первую зону Бриллюэна. В области больших длин волн или низких частот дисперсия отсутствует, так что фазовая скорость w/k и групповая скорость совпадают и оказываются равными скорости звука u₀ (u₀»5000 м/с). Групповая скорость - это скорость переноса энергии в среде. Из дисперсионного уравнения групповая скорость равна

. (5.4)

На краю зоны Бриллюэна групповая скорость равна нулю (стоячая волна).

Если соседние атомы колеблются практически в одной фазе и при k=0 w_ак = 0, то такие колебания называются акустическими, так как они включают весь спектр звуковых колебаний цепочки. Они играют основную роль в определении тепловых свойств кристаллов – теплоемкости, теплопроводности, термического расширения и т.д. Колебания называются оптическими, когда соседние атомы колеблются в противоположных фазах. Они играют основную роль в процессах взаимодейсивия света с кристаллом.

Если в примитивной ячейке имеются р-атомов, то дисперсионный закон для фононов будет иметь три акустические фононные ветви и (3р-3) оптические фононные ветви. В двухатомном кристалле имеется запрещенный интервал частот между w_т (частота поперечных оптических колебаний) и w_L (частота продольных оптических колебаний) для связанных фонон-фотонных колебаний. Поперечные волны, имеющие частоты, заключенные в этом интервале, не будут распространяться в кристалле.

Связь величин w_L и w_т с диэлектрическими проницаемостями, измеренными на низких и высоких частотах, осуществляется с помощью соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера:

(5.5)

Нули диэлектрической функции e(w) связаны с продольными колебаниями, а полюсы функции - с поперечными колебаниями.

Одним из основных вопросов теории колебаний решетки является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам. Функция, определяющая плотность заполнения спектрального участки dw нормальными колебаниями, называется функцией распределения нормальных колебаний по частотам: . Где V - объем кристалла. Так как общее число нормальных колебаний, которое может возникнуть в решетке, равно 3N, то g(w) должно удовлетворять следующему условию нормировки . Где w_Д - максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху. Она называется характеристической дебаевской частотой и равна .

Температура q_Д = ħw_Д/k_Б называется характеристической температурой Дебая. При температуре Дебая в твердом теле возбуждается весь спектр нормальных колебаний, включая и колебание с максимальной частотой w_Д. Поэтому дальнейшее повышение температуры (выше q_Д) не может уже вызывать появление новых нормальных колебаний. Действие температуры в этом случае сводится лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящего к возрастанию их средней энергии. Температуры Т > q_Д принято называть высокими.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить величину квазиимпульса фонона соответствующего частоте w = 0,1w_max. Усредненное значение скорости звука в кристалле <u> = 1380 м/с, характеристическая температура Дебая q_Д = 100К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.

РЕШЕНИЕ.

Квазиимпульс фонона может быть вычислен по формуле:

.

При отсутствии дисперсии звуковых волн волновое число может быть определено из формулы . Тогда импульс фонона можно записать в виде

.

Здесь учтено, что . Подставив числовые значения, получим

Р = .

ОТВЕТ: Р = 10^-25 Н×с.

Пример 2: Период решетки а одномерного кристалла (т.е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 3Å. Определить максимальную энергию фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Скорость звука в кристалле равна 5000 м/с.

РЕШЕНИЕ.

Энергия фонона может быть найдена по формуле: . Частота w выражается через скорость фонона и его волновое число таким образом: w = uK (т.к. u = e/R = w/K). Тогда энергия будет равна: . Энергия будет максимальна при минимально возможном значении длины волны. Для одномерной цепочки l_min = 2а. Тогда

ОТВЕТ: Е_max = 5,5×10^-21 Дж.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

5.1. Определить величину квазиимпульса фонона соответствующего частоте w = 0,4w_max. Усредненное значение скорости звука в кристалле <u> = 2000 м/с, характеристическая температура Дебая q_Д = 150К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.

ОТВЕТ: Р = 4,14×10^-25 Н×с.

5.2. Определить скорость звука в кристалле поваренной соли, зная, что температура Дебая равна 1670К и а = 1,04 Å.

ОТВЕТ: u = 7,24×10³ м/с.

5.3. Определить максимальную энергию фононов, распространяющихся вдоль цепочки атомов с периодом решетки а = 2,84 Å со скоростью звука в кристалле 3000 м/с.

ОТВЕТ: Е_max = 3,5×10^-21 Дж.

5.4. Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура 278К, а скорость распространения звука 6000 м/с.

ОТВЕТ: l_min = 10,35 Å.

5.5. Длина волны фонона, соответствующего частоте w = 0,01 w_max., равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру Дебая, если усредненное значение скорости звука в кристалле равно 4,8 км/с.

ОТВЕТ: q = 443 К.

5.6. Найти энергию фонона, соответствующего граничной частоте Дебая, если характеристическая температура Дебая равна 250 К.

ОТВЕТ: Е = 3,45×10^-21 Дж.

5.7. Найти отношение средней длины свободного пробега фононов к параметру решетки при комнатной температуре в кристалле хлористого натрия, если коэффициент темплопродности его при той же температуре равен 71 Вт/м×К, скорость звука 5 км/с, плотность кристалла 2170 кг/м³, молярная масса хлора равна 35,46 г/моль, натрия – 29,99 г/моль.

ОТВЕТ: <l/a> = 44,8.

5.8. Какова максимальная энергия фононов в кристалле свинца, если его характеристическая температура равна 94К?

ОТВЕТ: Е_max = 8,1×10^-3 эВ.

5.9. Характеристическая температура Дебая для вольфрама равна 310К, а параметр решетки 3,16Å. Определить длину волны фононов, соответствующих частоте n = 0,1n_max. Вычислить усредненное значение скорости звука в вольфраме, дисперсией волн в кристалле пренебречь.

ОТВЕТ: l = 63,2 Å; u = 4084,1 м/с.

5.10. Определить скорость звука в кристалле, характеристическая температура которого равна 300К, а межатомное расстояние а = 2,5 Å.

ОТВЕТ: u = 3,1 км/с.