Физика конденсированного состояния

Т.В. Панова, Г.И. Геринг

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

ВЕЩЕСТВА

Учебное пособие

ОМСК

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени Ф.М. Достоевского»

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА

Учебное пособие

___________________________________________________________

Издание ОмГУ Омск 2008

УДК: 531.91(075)

Панова Т.В., Геринг Г.И. Физика конденсированного состояния вещества: Учебное пособие.- Омск: Омск.гос.ун-т, 2008. -98 с.

Учебное пособие представляет собой избранные задачи по основным разделам физики конденсированного состояния вещества: кристаллография и физика кристаллической решетки, упругие, тепловые, электрические и оптические свойства металлов, полупроводников и диэлектриков. Всего в пособии 9 разделов, каждый их которых состоит из краткой теоретической части, задач, приведенных в качестве примеров, и задач, предложенных для самостоятельного решения. Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов высших учебных заведений, специализирующихся в области физики конденсированного состояния вещества.

ãТ.В. Панова, Г.И. Геринг, 2008

ã Омский госуниверситет им. Ф.М. Достоевского, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2. РАЗДЕЛ 1. Основные типы связей в твердых телах.. . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.РАЗДЕЛ 2. Внутренняя структура твердых тел. Обратная решетка. . . . .13

4. РАЗДЕЛ 3. Дифракция в кристаллах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

5. РАЗДЕЛ 4. Упругие свойства кристаллов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. РАЗДЕЛ 5. Динамика решетки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

7. РАЗДЕЛ 6. Тепловые свойства твердых тел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..50

8. РАЗДЕЛ 7. Электроны в металлах. Свободный электронный газ. . . . . . . 61

9. РАЗДЕЛ 8. Зонная теория твердых тел.Электрические свойства твердых тел. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …. . . . . . . . .72

10. РАЗДЕЛ 9. Дефекты кристаллической решетки. Диффузия в твердых телах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

11. Список рекомендуемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96

12. Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, проводимых в течение многих лет для студентов-физиков Омского государственного университета. Оно содержит типовые задачи, представленные в различных учебниках и пособиях, включает краткое изложение теории, сопутствующей каждому разделу. Часть задач дана с подробными решениями, что должно способствовать развитию навыков решения задач в этой области физики. В решениях использовалась преимущественно Международная система единиц СИ, хотя, задачи, вынесенные для самостоятельного решения, подразумевают использование и системы СГС. В пособии представлены девять разделов. Первые три раздела посвящены структурной кристаллографии, типам связи и дифракционным методам исследования твердых тел. В последующих разделах представлены задачи на колебания атомов кристаллической решетки, упругие, тепловые и электрические свойства твердых тел. Заключительный раздел посвящен атомной диффузии и дефектам кристаллического строения. В приложении приведены универсальные физические постоянные, необходимые для решения задач.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Пусть энергия частицы в поле другой частицы зависит от расстояния между центрами этих частиц следующим образом:

U(r) = - , (1.10)

где a и b - постоянные. Показать, что:

1. Эти две частицы образуют стабильное соединение при r = r₀ = (8b/a)^1/7;

2. В случае образования стабильной конфигурации энергия притяжения в 8 раз больше энергии отталкивания;

3. Полная потенциальная энергия двух частиц при стабильной конфигурации

U_ст.= - = - ; (1.11)

4. Если удалять частицы друг относительно друга, то молекула разорвется, как только будет достигнуто расстояние R,

где R = . (1.12)

Решение

1. В состоянии равновесия

; (1.13) или , (1.14)

откуда r₀ = . (1.15)

2. Энергия притяжения

U_пр.= - ; (1.16)

энергия отталкивания

U_от = . (1.17)

Сравнивая U_пр и U_от, получим |U_пр| = 8 U_{от .} (1.18)

3. Полная энергия

U = U_пр + U_от = - a . (1.19)

4. Молекула будет разорвана при максимальной силе F_max. Так как

F = - , то из уравнения находим межатомное расстояние, соответствующее максимальной силе:

(1.20)

. (1.21)

Из выражения (1.21) r_max = . (1.22)

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

1.1. Известно, что в кристалле, в котором связи обусловлены силами Ван-дер-Ваальса, равновесное межатомное расстояние r₀ = 1,50 Å, а энергия на 10% меньше, чем в случае, когда учитываются только силы притяжения. Чему равна характерная длина r, входящая в выражение: U = - . ОТВЕТ: r » 0,25 Å.

1.2. Энергия взаимодействия между двумя атомами в молекуле зависит от расстояния следующим образом:

U(r) = - .

Межатомное расстояние в положении равновесия r₀ = 3Å, энергия диссоциации (энергия расщепления нейтральной молекулы на противоположно заряженные ионы) молекулы U_д = - 4 эВ. Вычислить значения коэффициентов a и b, если n = 2, m = 10. Найти силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия при изменении межатомного расстояния r₀ на 10 %.

ОТВЕТ: a = 7,16×10^-38 Дж×м²; b = 9,44×10^-115 Дж×м¹⁰; F = 2,13×10^-9 Н.

1.3. Вычислить значение энергии кристаллической решетки NaCl, если постоянная n, характеризующая потенциал сил отталкивания, равна 9,4 , а постоянная Маделунга 1,75. Постоянная решетки NaCl равна 2,81 Å.

ОТВЕТ: U = 8,6× 10^-5 Дж/моль.

1.4. Экспериментальное значение энергии сцепления KCl на молекулу равно 6,62 эВ. Вычислить n, считая r₀ = 3.1 Å и a = 1,75.

ОТВЕТ: n » 5,37.

1.5. Показать, что модуль всестороннего сжатия кубической кристаллической решетки

В = ,

где r₀ - расстояние между атомами в состоянии равновесия; V- объем кристалла.

ОТВЕТ: В = .

1.6. Вычислить энергию отталкивания для КСl, если энергия диссоциации равна (- 4,40) эВ. Принять r₀ = 2,79 Å, энергию ионизации атома калия равной 4,34 эВ, энергию сродства атома хлора к электрону – (-3,82 эВ).

ОТВЕТ: U_от = 0,24 эВ.

1.7. Найти сжимаемость кристалла NaCl при 0К, считая, что показатель экспоненты, определяющий величину сил отталкивания, равен m = 9,4. Постоянная Маделунга для NaCl равна 1,75.

ОТВЕТ: æ = 3,3 ×10^-11 м²/Н.

1.8. Рассмотреть к каким возможным последствиям для постоянной решетки, сжимаемости и энергии решетки, приведет удвоение заряда хлористого натрия, если считать, что потенциал отталкивания останется постоянным.

ОТВЕТ: Энергия решетки при увеличении заряда вдвое возрастет более чем в 4 раза, а сжимаемость уменьшится более чем в 4 раза.

1.9. Определить значение постоянной Маделунга для одномерной решетки, состоящей из последовательно чередующихся положительных и отрицательных ионов.

ОТВЕТ: a = 2ln2 = 1,386.

1.10. Используя метод, предложенный Эвьеном, вычислить значение постоянной Маделунга для кристалла типа NaCl.

ОТВЕТ: a = 1,75.

1.11. Получить выражение для модуля всесороннего сжатия кристалла с молярным объемом V₀ и общей энергией взаимодействия между атомами U_0, считая, что энергия взаимодействия между атомами определяется выражением U(r) = - .

ОТВЕТ: çВç= çU₀ç× .

Обратная решетка.

Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или иное явление в твердом кристаллическом теле. Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями:

; ; . (2.7)

- векторы обратной решетки; - векторы прямой решетки. Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]^-1.

Так как , то скалярное произведение:

, (2.8)

. (2.9)

При построении обратной решетки векторы перепендикулярны соответственно , , и, обратно, векторы перпендикулярны парам векторов , , . Векторы прямой решетки связаны с векторами обратной решетки аналогичными формулами:

; ; ; (2.10)

где - объем элементарной ячейки обратной решетки: _.

Свойства обратной решетки:

1. обратная и прямая решетки взаимно сопряжены;

2. решетка обратная обратной, есть исходная прямая решетка;

3. каждый узел [[mnp]]* обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки;

4. обратная решетка Бравэ сама является решеткой Бравэ.

Векторы трансляции связывают в прямой кристаллической решетке пары точек, которые имеют одинаковые атомные окружения. В обратном пространстве также вводится понятие трансляций, которые описываются векторами обратной решетки, образующих следующее семейство:

, (2.11)

где h, k и l – целые числа.

Если прямая решетка строго периодична, то обратная решетка, т.е. множество точек, удовлетворяющих условию (2.11), также периодична и бесконечна. Однако для решения тех задач, где удобно пользоваться представлением об обратной решетки, достаточно бывает ограничиться конечными объемом обратного пространства.

Элементарную ячейку Вигнера-Зейтца для обратной решетки называют первой зоной Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом. Она полностью ограничена плоскостями, которые делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной решетки, проведенные из начала координат.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку объемноцентрированной кубической решетки?

РЕШЕНИЕ.

В элементарной ОЦК ячейке имеются узлы кристаллической решетки двух типов: узлы, находящиеся в вершинах куба, и узел, находящийся на пересечении двух пространственных диагоналей куба. Каждый узел в вершинах принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, на данную элементарную ячейку приходится 1/8 узла. Узел, находящийся на пересечении диагоналей, целиком находится в ячейке. Так как вершин восемь, то на одну элементарную ячейку в ОЦК решетке приходится 2 атома.

ОТВЕТ: 2 атома.

Пример 2. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9; 10; 30, если параметры решетки а = 3, в = 5 и с = 6.

РЕШЕНИЕ

Из кристаллографии следует, что

h : k : l = , (2.12)

где h, k, l - индексы Миллера. Тогда

h : k : l = .

Таким образом, искомые индексы плоскости (10 15 6).

ОТВЕТ: Индексы плоскости (10 15 6).

Пример 3. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора из начала координат в точку hkl обратной решетки.

РЕШЕНИЕ

Если через обозначить единичный вектор нормали к плоскости (hkl), то межплоскостное расстояние

. (2.13).

Но . Тогда .

Поскольку , то .

Таким образом .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

2.1. Определить плотность кристалла стронция, если известно, что кристаллическая решетка гранецентрированной кубической сингонии, а период решетки равен 0,43 нм.

ОТВЕТ: r = 2,6×10³ кг/м³.

2.2. Плотность кристалла NaCl равна r = 2,18×10³ кг/м³. Атомный вес натрия равен 23, а хлора - 35,46. Определить постоянную решетки.

ОТВЕТ: а = 2,81 Å.

2.3. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гексагональной плотноупакованной решетки?

ОТВЕТ: 6 атомов.

2.4. Показать, что с/а для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой равно: с/а = (8/3)^1/2 = 1,633.

ОТВЕТ: с/а = 1,633.

2.5. Определить объемы элементарной ячейки через радиусы равновеликих шаров, образующих плотные упаковки для: 1) объемноцентрированной; 2) гранецентрированной; 3) гексагональной плотноупакованной решеток.

ОТВЕТ: ; ; .

2.6. Пусть элементарная ячейка простой кубической решетки построена из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Ребро элементарной ячейки а = 2 r (атомы касаются друг друга). Показать, что часть объема занятая атомами при таком расположении, равна p/6 = 0,523.

ОТВЕТ: V_ат. = 0,523.

2.7. Объемноцентрированная кубическая решетка состоит из атомов одного вида, имеющих радиусы r. Пусть атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, касаются друг друга. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна .

ОТВЕТ: V_ат. = 0,68.

2.8. Пусть гранецентрированная кубическая и гексагональная решетки постороены из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна: .

ОТВЕТ: V_ат = 0,74.

2.9. Два элемента а и b образуют кристалл аb, у которого решетка типа NaCl. Показать, что атомы, расположенные по диагонали грани куба, не могут касаться друг друга, если больше чем 2,44.

ОТВЕТ: = 2,44.

2.10. Пусть атомы а и b образуют кристалл, имеющий структуру CsCl, и представляют собой жесткие сферы с радиусами r_a и r_b. Показать, что атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, не могут касаться друг друга, если или больше чем 1,37.

ОТВЕТ: = 0,73; = 1,37.

2.11. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами [[111]], [[ ]], [[ ]]. Найти также отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

ОТВЕТ: ( ); отрезки на осях: 4а; 2b; 1c.

2.12. Даны грани (320) и (110). Найти символы ребра их пересечения.

ОТВЕТ: [001].

2.13. Даны два ребра [ ] и [201]. Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.

ОТВЕТ: ( ).

2.14. Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.

ОТВЕТ: ( ); ( ); ( ); ( ).

2.15. Найти символы плоскости, отсекающей на осях координат отрезки 4а,

3 b, 2с.

ОТВЕТ: (hkl) = (346).

2.16. Найти символ плоскости, параллельной осям X и Z и отсекающей 3 единицы на оси Y.

ОТВЕТ: hkl = (010).

2.17. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры а = 3,20 Å и с = 5,20 Å. Определить векторы обратной решетки.

ОТВЕТ: а* = 0,75 Å^-1; b* = 0,75 Å^-1; c* = 0,40 Å^-1.

2.18. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.

ОТВЕТ: ; ; .

2.19. Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.

2.20. Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической системе с параметрами решетки а = 10,437 Å , b = 12,845 Å , c = 24, 369 Å .

ОТВЕТ: j = 17⁰.

2.21. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.

ОТВЕТ: j = p/2.

2.22. В триклинной решетке цианита параметры а,b,c и углы a,b,g элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 Å; 90⁰55`; 101<sup>0</sup>2`; 105⁰44`. Определить расстояния между плоскостями (102).

ОТВЕТ: d_hkl = 2,23 Å.

2.23. Получить формулы для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов:

1) ромбической; 2) гексагональной; 3) тетрагональной; 4) кубической систем из формулы для межплоскостных расстояний кристаллов триклинной системы.

ОТВЕТ: В ромбической системе в гексагональной

в тетрагональной в кубической

2.24. Векторы примитивных трансляций гексагональной пространственной решетки можно выбрать следующим образом:

а) показать, используя формулу V= , что объем примитивной ячейки равен .

б) показать, что векторы примитивных трансляций обратной решетки равны:

; ; , так что решетка есть ее собственная обратная, но с поворотом осей.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновских лучей (l=1,47Å). Определить расстояние между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда лучи падают под углом j =31⁰30¢.

РЕШЕНИЕ.

Из уравнения Вульфа-Брэгга найдем межплоскостное расстояние:

.

Угол q является дополнительным углом к углу j: q = = 58⁰30`. Подставим числовые значения:

d = м=1,7 Å=0,17 нм.

ОТВЕТ: 0,17 нм.

Пример 2: Кристаллы меди имеют гранецентрированную кубическую решетку. При комнатной температуре ребро элементарного куба равно 3,608Å. Монокристалл меди вырезан параллельно одной из граней элементарного куба. Пусть на поверхность кристалла падает монохроматический пучок рентгеновских лучей с длиной волны 1,658 Å. Показать, что плоскости, параллельные поверхности, будут отражать рентгеновские лучи, если угол между пучком и поверхностью кристалла приближенно равен 27⁰ или 67⁰.

РЕШЕНИЕ.

Как известно, отражение от кристалла возникает в том случае, если выполняется условие Вульфа-Брэгга: 2d sin q = nl.

Откуда sin q = nl/2d. При n = 2 : sin q = l/d = 1,658/3,608 » 0,4595; q » 27⁰.

При n = 4: sin q₂ = 2l/d = 2 ×1,658/3,608 » 0,9190; q » 67⁰.

ОТВЕТ: При n = 2 q»27⁰, при n = 4 q » 67⁰.

Пример 3: Какое максимальное число линий может появиться на рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной а=2,86×10^-8см, если исследование ведется на кобальтовом излучении с длиной волны 1,789×10^-8см.

РЕШЕНИЕ.

По формуле Вульфа-Брэгга для кубической решетки:

.

Так как максимальное значение sinq=1, то ;

(h²+k²+l²)_max=10,2. Следовательно, на рентгенограмме появятся линии от плоскостей, у которых сумма квадратов индексов Миллера не превышает 10, а именно:

(hkl) (100) (110) (111) (200) (210) (211) (220) (300) (310)

h²+k²+l² 1 2 3 4 5 6 8 9 10.

ОТВЕТ: 9 линий.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

3.1. Определить постоянную решетки кристалла LiJ, если известно, что зеркальное отражение первого порядка рентгеновских лучей с длиной волны 2,10Å от естественной грани этого кристалла происходит при угле скольжения 10⁰5¢.

ОТВЕТ: a = 6 Å.

3.2. Известно, что длина волны характеристического рентгеновского излучения, полученного с медного анода, составляет 1,537 Å. Эти лучи, попадая на кристалл алюминия, вызывают дифракцию от плоскостей (111) под брэгговским углом 19⁰2¢. Алюминий имеет структуру гранецентрированного куба, плотность его 2699 кг/м³, молярная масса - 26,98 г/моль. Рассчитать число Авогодро по этим экспериментальным данным.

ОТВЕТ: N_A = 6×10²³ моль^-1.

3.3. Показать, что интерференционные максимумы от простой кубической решетки при заданном направлении падающих лучей возможны не для любых длин волн, а только для вполне определенных.

ОТВЕТ:

3.4. Показать для случая простой кубической решетки, что формула Вульфа-Брэгга является следствием условий Лауэ.

3.5. Рассчитать теоретические углы q под которыми появятся линии (101) и (110) от кристалла сегнетовой соли в несегнетоэлектрической фазе при рентгеносъемке в медном К_a-излучении. Решетка кристалла ромбическая с параметрами: а=11,878 Å; b=14,246 Å; с=6,218 Å.

ОТВЕТ: q₁ = 9⁰36^|, q₂ = 5⁰54^|.

3.6. Определить разделение дублета меди К_a1- К_a2 при углах отражения лучей 20 и 80⁰, если изменению угла q на 0,75⁰ на пленке соотвествует 1 мм.

ОТВЕТ: dq₂₀ = 9,1×10^-4; dq₈₀ = 1,42×10^-2.

3.7. Вычислить угол Брэгга q для линии (300) на дебаеграмме пирита (FeS₂) (кубическая система а = 5,42 Å), снятой на излучении железа Fe_К = 1,937 Å. Как объяснить тот факт, что на самом деле на рентгенограмме линия под таким углом появится только если излучение не отфильтрованное (Fe_Кb=1,757 Å).

ОТВЕТ: q = 10⁰27^|. Отражение (300) отсутствует, т.к. пирит обладает ГЦК решеткой, для которой hkl либо все четные, либо все нечетные.

3.8. Снята рентгенограмма вращения с тетрагонального монокристалла. Длина волны рентгеновского излучения 1,542 Å. Рентгеновский пучок перпендикулярен оси кристалла. Радиус камеры 3 см, длина 10 см. На нулевой слоевой линии видны пятна на расстояниях 0,54; 0,75; 1,08; 1,19; 1,52; 1,63; 1,71 и 1,97 см от центра пленки (место выхода прямого пучка). Расстояние первой слоевой линии от нулевой линии составляет 0,66 см. Проиндифицировать наблюдаемые пятна на нулевой линии, вычислить параметры ячейки и расстояние каждой наблюдаемой слоевой линии от нулевой линии.

ОТВЕТ: а = 8,64 Å; с = 7,18 Å. Будут видны только 1, 2 и 3-я слоевые линии на расстояниях 0,66; 1,43 и 2,53 см над нулевой слоевой линией.

3.9. Найти плотность кристалла неона (при 20К), если известно, что решетка гранецентрированной кубической сингонии. Постоянная решетки при той же температуре а = 0,452 нм, молярная масса – 20,18 г/моль.

ОТВЕТ: r = 1,46×10³ кг/м³.

3.10. Какова длина волны монохроматических рентгеновских лучей, падающих на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается, когда угол между направлением падающих лучей и гранью кристалла q-3⁰. Принять, что расстояние между атомными плоскостями кристалла d = 3,0 Å.

ОТВЕТ: l = 0,31 Å.

3.11. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения 60⁰ на естественную грань монокристалла NaCl, плотность которого 2,16×10³ кг/м³. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить длину волны излучения.

ОТВЕТ: l = 2,44Å.

3.12. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (111). Определить расстояние между соседними плоскостями, если параметр решетки а = 3 Å.

ОТВЕТ: d=1,73 Å.

3.13. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измерении, оказалось равным 0,12 нм.

ОТВЕТ: а = 3,6 Å.

3.14. Появятся ли на рентгенограмме линии, возникшие в результате отражения от плоскостей (200) и (101) гранецентрированной кубической решетки?

ОТВЕТ: Только от плоскости (200).

3.15. Показать, что при рассеянии рентгеновских лучей атомами кристалла с пространственной объемноцентрированной решеткой в отражении на рентгенограмме не возникают линии от плоскостей, у которых значение суммы индексов h+k+l -число нечетное.

ОТВЕТ: h+k+l = 2n+1.

3.16. При съемке дебаеграммы серебра при температурах 18⁰С и 630⁰С интересующая нас линия появилась при углах 80⁰9` и 76<sup>0</sup>54`. Вычислить коэффициент термического расширения.

ОТВЕТ: a=18,8×10^-6 град^-1.

3.17. Показать, что при определении коэффициента термического расширения рентгеновским методом более точные результаты получаются при измерениях на линиях с большими брэгговскими углами.

ОТВЕТ: Изменение угла при данном изменении параметра решетки будет максимальным при q ® 90⁰.

3.18. При прецизионном определении параметров решетки b-олова методом асимметричной рентгеновской съемки на Cu-излучении были получены значения q для линий (503)_a1 и (271)_a1: q₍₅₀₃₎=79,017⁰, q₍₂₇₁₎=82,564⁰. Найти параметры решетки.

ОТВЕТ: а = 5,831 Å, с = 3,182 Å.

Закон Гука.

1. Для изотропных твердых тел. При растяжении изотропного тела (для изотропного тела любые произвольно выбранные направления эквивалентны), когда деформация и напряжения достаточно малы, деформация пропорциональна напряжению: e = Ss, S - константа упругой податливости (податливость). 1/S = С - константа упругой жесткости (жесткость, модуль Юнга Е = С). Размерность этих величин:

[S]=[площадь]/[сила]=[объем]/[энергия];[С]=[сила]/[площадь]=

[энергия]/[объем]. Чем меньше податливость, тем более жестким является кристалл. Тогда закон Гука s = Сe = Еe. Закон Гука для сдвиговой деформации при действии касательных (скалывающих) напряжений t = F/s = GD l /h = G tga , где G - модуль сдвига; tga - тангенс угла сдвига; F - сила; s - площадь сечения образца в плоскости сдвига.

В случае всестороннего сжатия (или растяжения) закон Гука имеет вид: Р = æDV/V = æW, где Р - гидростатическое давление, æ - коэффициент всестороннего сжатия (или модуль объемной деформации); W - объемная деформация.

Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона n, равным отношению изменения размеров в поперечном направлении к их изменению в продольном направлении:

= - . (4.3)

Существует связь между константами упругости и коэффициентом Пуассона G = E/[2(1+n)]. Зная две константы, всегда можно определить третью.

Обобщенный закон Гука устанавливает линейную зависимость не только между одним напряжением и соответствующей деформацией, но и между компонентами тензора напряжений и каждым компонентом тензора деформации. Обобщенный закон Гука для изотропного тела записывается таким образом:

Для удлинений

;

(4.4)

;

.

Для сдвигов

e₁₂ = e_xy = s₁₂/G = t_xy/G; e₂₃ = e_yz = s₂₃/G = t_yz/G; e₃₁ = e_zx = s₃₁/G = t_zx/G. (4.5)

Для анизотропных тел. Для монокристаллов любые произвольно выбранные направления по свойствам неэквивалентны. Если деформация бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжений линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных тел:

e_ij = S_ijkl s_kl, либо (4.6)

s_ij = C_ijkl e_kl, (4.7)

где S_ijkl и C_ijkl - тензоры упругой податливости и упругой жесткости соответственно.

Так как тензоры деформации и напряжения являются симметричными тензорами второго ранга, то независимых компонент S_ijkl и C_ijkl будет 36. Наличие равенств S_ijkl = S_klij и C_ijkl = C_klij, приводит к сокращению независимых компонент до 21. Столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. Для кристаллов с кубической симметрией полное число упругих констант равно 3, так как направления ±х, ±y, ±z взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице:

. (4.8)

Между константами податливости и жесткости в зависимости от симметрии кристалла имеется определенная форма соотношения. Для кристаллов кубической сингонии

С₁₁ = C₁₂ = C₄₄ = (4.9)

Плотность упругой энергии. Плотность упругой энергии U в приближении закона Гука является квадратичной функцией деформации:

U = (4.10)

Где индексы от 1 до 6 определяются таким образом: 1 = хх; 2 = yy; 3 = zz; 4 = z; 5 = zx; 6 = xy. Коэффициенты связаны с коэффициентами С С_ab= . Плотность упругой энергии кубического кристалла записывается в виде

U= (4.11)

При однородном расширении е_хх = е_yy = e_zz = d/3. Тогда энергия: U= . Или: U = где В = - объемный модуль упругости для кубического кристалла. Величина, обратная объемному модулю упругости, есть сжимаемость æ=1/В. Зная значения упругих постоянных кристаллов, можно определить скорости распространения упругих волн (поперечных и продольных) и наоборот.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Кубический кристалл подвергнут растяжению в направлении [100]. Найти выражение для коэффициента Пуассона через упругие постоянные или модули упругости.

РЕШЕНИЕ.

Закон Гука для анизотропного тела записывается таким образом:

S₁ = s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + s₁₃T₃ + s₁₄T₄ + s₁₅T₅ + s₁₆T₆;

S₂ = s₂₁T₁ + s₂₂T₂ + s₂₃T₃ + s₂₄T₄ + s₂₅T₅ + s₂₆T₆;

S₃ = s₃₁T₁ + s₃₂T₂ + s₃₃T₃ + s₃₄T₄ + s₃₅T₅ + s₃₆T₆;

S₄ = s₄₁T₁ + s₄₂T₂ + s₄₃T₃ + s₄₄T₄ + s₄₅T₅ + s₄₆T₆;

S₅ = s₅₁T₁ + s₅₂T₂ + s₅₃T₃ + s₅₄T₄ + s₅₅T₅ + s₅₆T₆;

S₆ = s₆₁T₁ + s₆₂T₂ + s₆₃T₃ + s₆₄T₄ + s₆₅T₅ + s₆₆T₆;

Для кубического кристалла закон Гука записывается таким образом:

S₁ = s₁₁T₁ + s₁₂T₂ + s₁₂T₃;

S₂ = s₁₂T₁ + s₁₁T₂ + s₁₂T₃;

S₃ = s₁₂T₁ + s₁₂T₂ + s₁₁T₃;

S₄ = s₄₄T₄;

S₅ = s₄₄T₅;

S₆ = s₄₄T₆;

Если существуют напряжения растяжения только вдоль оси [100], то лишь Т₁¹0. Тогда

S₁ = s₁₁T₁; S₂ = s₁₂T₁; S₃ = s₁₂T₁. Так как коэффициент Пуассона n = - S₂/S₁, то следует, что n = - s₁₂/s₁₁.

ОТВЕТ: n = - s₁₂/s₁₁.

Пример 2: Кубический кристалл подвергнут гидростатическому сжатию. Показать, что величина обратная сжимаемости В = - V(dP/dV), связана с упругими постоянными соотношением В = (с₁₁+2с₁₂)/3.

РЕШЕНИЕ.

В общем случае закон Гука для анизотропного тела записывается следующим образом: S_q = s_qrT_r (q, r = 1, 2, 3, 4, 5, 6), где S_q - компоненты тензора деформации, T_r - компонетнты тензора напряжения. При гидростатическом сжатии Т₁ = Т₂ = Т₃ = - Р и Т₄ = Т₅ = Т₆ = 0. Тогда закон Гука перепишется таким образом:

S₁ = - (s₁₁+s₁₂+s₁₃) P,

S₂ = - (s₁₂+s₂₂+s₂₃) P,

S₃ = - (s₁₃+s₂₃+s₃₃) P,

S₄ = - (s₁₄+s₂₄+s₃₄) P,

S₅ = - (s₁₅+s₂₅+s₃₅) P,

S₆ = - (s₁₆+s₂₆+s₃₅) P.

Объемная деформация определяется суммой S₁+S₂+S₃. Тогда

S₁ + S₂ + S₃ = - [s₁₁ + s₂₂ + s₃₃ + 2(s₁₂+s₂₃+s₁₃)] P.

Так как для кубических кристаллов s₁₁ = s₂₂ = s₃₃ и s₁₂ = s₂₃ = s₁₃, то сжимаемость

æ = - (S₁+S₂+S₃)/ Р = 3 (s₁₁+2s₁₂).

Поскольку с₁₁ + 2с₁₂ = 1/( s₁₁+2s₁₂), то В = 1/ æ = (с₁₁+2с₁₂)/3.

ОТВЕТ: В = (с₁₁+2с₁₂)/3.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

4.1. Показать, что скорость u волны сдвига, распространяющейся вдоль направления [110], когда частицы колеблются в направлении в кубическом кристалле, равна , где r - плотность кристалла.

4.2. Найти соотношение между модулями упругости и упругими податливостями кубического кристалла.

О<