Фильтрация результатов эксперимента

Шумы и помехи очень часто оказываются в итоговом сигнале, несмотря на методы, принимаемые для борьбы с ними. Поэтому ознакомимся с некоторыми способами уменьшения вклада искажений в экспериментальные данные, тем более что подобные фильтры присутствуют во всех программах работы с экспериментальными данными.

Сглаживающие фильтры [26]

Сглаживающие фильтры применяются для уменьшения высокочастотных шумов. Самым простым вариантом сглаживающих фильтров является однородный фильтр, обеспечивающий простое усреднение по некоторой локальной области исходных данных, например 3 или 5 точки.

При гауссовой фильтрации значения внутри выбранного интервала выбираются с учетом весовых коэффициентов, вычисляемых согласно форме гауссовой функции K(I)=exp(–i²/2s). Кроме размера, он определяются также значением s. Если в случае однородного фильтра такие коэффициенты будут равны 0,2 при выборке по 5 точкам, то в случае гауссовой фильтрации могут составить значения (1,2,4,2,1)/5, например.

Принцип работы таких фильтров следующий: окно фильтра, состоящее из N точек, перемещается по экспериментальной кривой от точки к точке. Для каждой точки исходного набора данных рассматривается локальная область, равная размеру фильтра, с анализируемой точкой посередине. Выходному значению точки присваивается значение точек в окне фильтра с учетом весовых коэффициентов [27].

Медианные фильтры

Медианные фильтры являются сглаживающими фильтрами, которые убирают шумы импульсного характера, такие как шумы в виде «отдельных точек», но сохраняют при этом резкость границ. Принцип работы фильтра схож с вышеописанными. Но значения функции в точках окна фильтра выстраиваются по возрастанию, и значение, стоящее в центре этого ряда, присваивается выходному значению функции в данной точке. Таким образом, случайные «выбросы» и «провалы» при такой сортировке оказываются на краях сортируемого массива и не входят в результирующее изображение [27].

Фурье фильтрация

Этот вид фильтрации основан на преобразовании Фурье и является популярным способом устранения помех из экспериментальных данных – спектров, кривых затухания, а также многомерных данных, включая обычные изображения.

Преимуществом метода является возможность быстрого анализа спектра с одновременной подстройкой параметров фильтрации в режиме реального времени. Как и другие методы спектральной фильтрации, максимальный эффект достигается, когда помеха спектрально отстоит от полезного сигнала.

Фильтрация проводится в несколько этапов: прямое преобразование исходных данных, анализ спектра и выбор параметров фильтра, применение подобранного фильтра, обратное преобразование с получением результирующей функции, соответствующей обработанным данным.

Рассмотрим несколько вариантов применения фильтрации .

1. Измерение шага регулярной структуры. Фурье-образ регулярной структуры представляет собой набор точек, расстояние которых от центра находиться в прямой связи с шагом структуры.

2. Низкочастотная фильтрация. Частотная фильтрация заключается в исключении из Фурье-образа участков, лежащих на определенном расстоянии от центра. При этом низкочастотной фильтрации соответствует исключение части спектра снаружи определенного расстояния от центра, а высокочастотной – внутри таких границ (нулевые частоты лежат в самом центре Фурье-изображения). Низкочастотная фильтрация применяется для уменьшения влияния высокочастотных шумов, полезный сигнал в этом случае – во внутренней части Фурье-образа.

3. Высокочастотная фильтрация. Применяется для устранения медленных изменений сигнала, соответствующих низкочастотной части спектра.

Для примера в работе [28] приводится иллюстрация применения Фурье-фильтрации к изображению поверхности кремния с 12 сформированными структурами высотой 1–2 нм. Размер изображения на рис. 29 – 3,5×3,5 мкм. Можно предположить, что искажения поверхности вызваны нестабильным положением образца по высоте либо локальными помехами, вызывающими спонтанное смещение зонда дальше или ближе к поверхности, из-за чего строки выглядят как «скачущие».

Рис. 29 Поверхность кремния и её Фурье-образ [28]

Поскольку при такой помехе каждая строка отличается от предыдущей, то её на Фурье-образе соответствует вертикальная полоса (если сканирование по строке идет в горизонтальном направлении). Изображение, полученное с помощью НЧ фильтра (рис. 30), показывает, что вертикальная линия соответствует сигналу помехи.

Рис. 30 НЧ шум на изображении и его Фурье-образ [28]

Теперь эту частоту можно вырезать из Фурье-образа. Исключение соответствующей полосы из образа ведет и к исключению основной части помехи из исходного изображения (рис. 31).

Таким образом, удаление из Фурье-образа вертикальной полосы позволило практически полностью избавиться от помехи. Дополнительно изображение можно улучшить, применяя низкочастотный фильтр и удаляя, таким образом, ВЧ часть спектра изображения (рис. 32).

Рис. 31 Применение ВЧ фильтра к изображению и его Фурье-образ [28]

Рис. 32 Применение НЧ фильтра (оставлена только область внутри круга на Фурье-образе) к изображению и Фурье-образ изображения до фильтрации [28]

Остаются провалы между точками, они связаны с тем, что при вырезании вертикальной линии потеряна часть нужного НЧ сигнала, и эту операцию можно повторить, уточнив границы. Пользоваться подобными фильтрами следует осмотрительно, поскольку избыточная фильтрация может исключить из исходных данных нужную информацию, а также существенно исказить исходные данные.

Также при применении Фурье-фильтров следует учитывать краевой эффект (поскольку анализируется ограниченная область пространства), из-за которого данные на краях области данных могут значительно искажаться.

Вопросы для самопроверки:

· В чем отличие гауссовой и однородной фильтрации?

· Шумы какого характера убирает медианный фильтр?

· Какой области спектра соответствует центральная часть Фурье-спектра?

· Чем вызывается краевой эффект при Фурье-фильтрации?

Приложение 1