Дипольный эквивалентный генератор
Потенциал точки поля диполя.
Согласно уравнения (1) потенциал поля, создаваемого диполем, определяется выражением
Найдем более подробный вид этого выражения, исходя из того, что диполь состоит из двух точечных зарядов. В среде с диэлектрической проницаемостью ε потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r определяется по формуле:
( 3)
В некоторой точке А, удаленной от зарядов соответственно на расстоянии r и r1 ( рис.3) потенциалы зарядов будут складываться. Применяя к каждому заряду формулу (3) с учетом знаков зарядов и приводя слагаемые к общему знаменателю, получим потенциал диполя в целом.
(4)
Учитывая, что L<<r и L<<r1 можем приближенно считать, что r=r1, r*r1=r2 и r-r1=L*Cos α. Подставим эти результаты в формулу (4) и с учетом формулы (2) получим:
( 5)
Таким образом, потенциал поля диполя в некоторой точке А прямо пропорционален моменту диполя Р и зависит от угла α между вектором Р и направлением от диполя на точку А. Кроме того потенциал зависит от расстояния ( ) и свойств среды ε.
Разность потенциалов двух точек поля диполя.
Пусть диполь, плечо которого мало (L→0) находится в точке 0 (рис.4).
Вектор Р – электрический момент диполя.
αА -
- угол между диполем и направлением на точку А.
αв – угол между диполем и направлением на точку В, r – расстояние от диполя до точек А и В. Используя формулу (5), определим разность потенциалов, создаваемую диполем в точках А и В.
(6)
Обозначим угол между вектором Р и направлением АВ
РОС=α,
AOB = ß.
Учитывая эти равенства, выразим αв=α+
Тогда
Cos (αв) – Соs(αA) =-2Sin((αB+αA)/2)*Sin((αB-αA)/2)=
-2Sin(α+π/2)*Sin(-ß/2)=2Sin(ß/2)*Cos(α).
Подставляя эту формулу в выражение (6), получим:
UAB= φB-φA= (7)
Таким образом, создаваемая диполем разность потенциалов двух точек прямо пропорциональна проекции электрического момента диполя, РСоsα на прямую, проходящую через точки А и В. Кроме того она зависит от свойств среды (ε), расстояния этих точек от диполя (~ ) и от угла, под которым эти точки видны от диполя (~Sin ß/2).
Все эти зависимости будут использованы при введении понятия треугольника Эйнтховена( раздел 6.3)
З. Токовый диполь
В организме сердце окружено другими органами и тканями, которые обладают некоторой электропроводностью. Поэтому, согласно принципу анатомо-физиологического соответствия, эквивалентный электрический генератор сердца следует считать расположенным в токопроводящей среде.
Будучи помещенным в токопроводящую среду, заряд становится источником тока (рис 5) и через окружающую унидиполь сферу произвольного радиуса r будет протекать выходящий из него ток I. Потенциал, создаваемый униполем как генератором тока, определяется по формуле
(8)
где ρ – удельное сопротивление среды.
Из сравнения формул (8) и (3) видно, что для токового униполя существует такой же характер зависимости потенциала от расстояния, как и для токового заряда в диэлектрической среде
Это значит, что повторив рассуждения, проделанные нами при выводе формул (5)-(7), мы и для токового диполя получим формулы с аналогичными зависимостями от углов и расстояний. Однако, влияние сопротивления проводящей среды надо рассматривать отдельно.
Эквивалентная схема токового генератора во внешней проводящей среде представлена на рис.6. Здесь Rc - cопротивление внешней среды, R – внутреннее сопротивление токового генератора, Е – э.д.с. генератора, I – сила тока в цепи.
По закону Ома для полной цепи сила суммарного тока в среде равна силе тока в генераторе и вычисляется по формуле:
Так как сопротивление мембран, на которых фактически генерируется разность потенциалов, во много раз больше сопротивления межклеточной жидкости ( R>>Rc), то сопротивлением Rc можно пренебречь
Это значит, что сила тока в данной среде не зависит от сопротивления внешней среды, поэтому неоднородностями сопротивления окружающей среды можно пренебречь и считать, что оно расположено в однородной токопроводящей среде.