Использование теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

Использование теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

Как известно из векторной алгебры, любой вектор можно описать с помощью его проекций в виде

, (1.1)

где – орты осей , а – проекции вектора на эти оси.

Над векторами можно производить математические действия, такие как векторное сложение, скалярное и векторное умножение. Кроме этого существуют дифференциальные операторы, действующие на векторы. Примером может служить оператор "набла":

. (1.2)

Операция скалярного умножения оператора "набла" на вектор называется дивергенцией вектора :

. (1.3)

В электростатике основным вектором является вектор напряженности электрического поля . Используя формулы (1.1) – (1.3) можно записать выражение для дивергенции вектора :

. (1.4)

Если в некоторой физической задаче известна зависимость вектора напряженности электрического поля от координат, то можно определить объемную плотность электрического заряда r (функцию распределения электрического заряда в пространстве):

(1.5)

Уравнение (1.5) – это теорема Гаусса в дифференциальном виде для вектора напряженности электрического поля . Здесь Ф/м – электрическая постоянная, e – диэлектрическая проницаемость среды.

Задача 1

Напряженность электростатического поля задается формулой

. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке , если Н/Кл; м, м, м.

Решение:

Сравнивая выражение для из условия с формулой (1.1), можно определить проекции вектора :

; (1.6)

Найдем частные производные:

, (1.7)

. (1.8)

В выражения (1.7) и (1.8) были подставлены значения А = 3 Н/Кл, м, м, 1 м.

Рассчитав значения выражений (1.7) и (1.8), подставим их в формулу (1.5), откуда можно выразить объемную плотность электрического заряда в заданной точке Р:

= 1,50×10^–6 Кл/м³.

Ответ: 1,50 мкКл/м³

2. Связь и

Оператором "набла" (1.2) можно действовать не только на векторы, но и на скалярные функции. Операция называется градиентом функции . Используя формулу (1.2) получим:

(2.1)

Из (2.1) видно, что градиент функции есть вектор, проекциями которого являются частные производные от этой функции по соответствующим координатам. Вектор направлен в сторону наибыстрейшего возрастания функции .

Рассмотрим пробную частицу с электрическим зарядом , находящуюся в электростатическом поле с напряженностью и обладающую потенциальной энергией . Как известно, электростатическое поле потенциально, следовательно работа поля по перемещению частицы равна убыли потенциальной энергии:

(2.2)

Из (2.2) можно сделать выводы относительно проекций силы, действующей на частицу:

, (2.3)

, (2.4)

, (2.5)

Используя формулу (1.1) представим вектор силы в виде:

(2.6)

Разделим уравнение (2.6) на и, учитывая, что , а , получим связь между напряженностью электростатического поля и электрическим потенциалом j:

. (2.7)

Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность в силовом поле, в каждой точке которой одинаковый потенциал. Таким образом, если частица перемещается по эквипотенциальной поверхности, то ее потенциальная энергия не изменяется, и работа над частицей в этом случае не совершается. Из (2.2) следует, что сила, действующая на частицу перпендикулярна перемещению, а значит и эквипотенциальной поверхности.

Из (2.7) можно сделать вывод, что напряженность направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциала j перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

Используя формулу (2.1) можно рассчитать проекции вектора :

. (2.8)

Модуль вектора можно найти по формуле:

(2.9)

Задача 2:

Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону . Найти величину напряженности электрического поля в точке , если А = 2 В, м, м, b = 1 м.

Решение:

По формуле (2.8) рассчитаем проекции вектора напряженности :

, (2.10)

, (2.11)

. (2.12)

Подставляя в (2.10) и (2.11) значения координат , получаем:

В/м, В/м

Результат подставляем в (2.9):

В/м

Ответ: Е = 22,9 кВ/м

Задача 3:

Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону . Найти модуль напряженности электрического поля в точке , если А = 2 В, В = 3 В, м, м, b = 1 м.

Решение:

Аналогично задаче 1:

, (2.13)

, (2.14)

. (2.15)

Подставляя в (2.13) и (2.14) значения координат , получаем:

В/м, В/м

Результат подставляем в (2.9):

В/м

Ответ: Е = 737 кВ/м

Задача 4.

Заряды = 1 мкКл и =2 мкКл находятся на серединах соседних сторон квадрата со стороной = 1 м и создают электрическое поле с напряженностью в точке Р, находящейся в вершине квадрата (см. рис. 2). Найти величину горизонтальной и вертикальной проекции вектора , а также его модуль

Решение:

Проведем оси х и у вдоль двух сторон квадрата, а начало отсчета поместим в точку Р. Расстояния от зарядов и до точки Р равны м,

м.

Можно найти косинус и синус угла a:

;

Воспользуемся формулами (3.4) и (3.5), а затем и (3.7):

кВ/м

6,43 кВ/м

кВ/м

Модуль вектора можно найти с помощью формулы (3.3), не находя его проекции:

Ответ: кВ/м; 6,43 кВ/м;

Задача 5.

Используя условие задачи 4, найти потенциал j электрического поля в точке Р.

Решение:

Подставим данные из задачи 4 в формулу (4.2):

кВ

Ответ: j_рез = 34,1 кВ

Задача 6.

Положительный заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса R = 1 м с линейной плотностью , где 0<a < p,

r₀ = 1 мкКл/м. Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре полукольца.

Решение:

Выделим элемент dl = Rda на полуокружности и, учитывая, что расстояние от элемента до точки О равно , по формуле (5.2) рассчитаем потенциал в точке О:

= 9,42 кВ

Ответ: 9,42 кВ

Задача 7

Тонкий стержень заряжен неравномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью , где х – координата точки на стержне, b = 1 м – длина стержня, r₀ = 1 мкКл/м. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?

Решение:

Выделим элементарный заряд dq на стержне длиной dx на расстоянии х от начала координат О (см. рис.5). Учитывая, что r = x, а

dq = rdx, найдем по формуле (5.2) потенциал в точке О:

= 4,5 кВ

Ответ: 4,5 кВ

Задача 8

Заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса = 1 м с линейной плотностью

.

Определить проекцию на ось напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полукольца, если мкКл/м.

Решение:

Как видно из рис.6, проекция на ось х напряженности электрического поля, созданного элементарным зарядом в точке О равна:

(6.3)

Учитывая, что , а , получим

Ответ: 4,5 кВ/м

Закон Джоуля – Ленца

При перемещении электрического заряда q из точки 1 в точку 2 электрическое поле совершает работу

, (7.1)

где – разность потенциалов или напряжение .

Как известно, сила тока определяется, как заряд, протекающий через поперечное сечение провода за единицу времени, т.е.

. (7.2)

Если известна зависимость силы тока , то из (7.2) можно выразить заряд, протекающий за малый промежуток времени:

, (7.3)

и преобразовать формулу (7.1) следующим образом:

, (7.4)

где – электрическая мощность.

Используя закон Ома для однородного участка цепи , и подставляя его в (7.4), получим закон Джоуля-Ленца:

(7.5)

В формуле (7.5) учтено то обстоятельство, что работа электрического поля, совершенная над электрическими зарядами, не приводит к увеличению их кинетической энергии, а выделяется в виде тепла .

Таким образом, из (7.5) можно рассчитать тепло, выделившееся в сопротивлении за любой промежуток времени:

(7.6)

Задача 9.

По проводу сопротивлением = 20 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону ,

где А = 3 А, t = 1 с. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе за промежуток времени от до = 2 с?

Решение:

Подставим функцию силы тока от времени в формулу (7.6):

Дж

Ответ: Q = 18 МДж

Задача 10.

По проводу сопротивлением = 20 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону ,

где А = 3 А/с, рад/с. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе за промежуток времени от до = 2 с?

Решение:

Подставим функцию силы тока от времени в формулу (7.6):

Ответ: Q = 180 Дж

Задача 11.

Используя условие задачи 9, найти полный заряд, прошедший через поперечное сечение провода за промежуток времени от до с.

Решение:

Используем формулу (8.1):

Кл.

Ответ: Dq = 559 Кл

Задача 12

Используя условие задачи 10, найти полный заряд, прошедший через поперечное сечение провода за промежуток времени от до с.

Решение:

Используем формулу (8.1):

Кл.

Ответ: Dq = 3,82 Кл

9. Правила Кирхгофа

Электрическая схема всегда содержит множество элементов, таких как резисторы, конденсаторы, источники тока, катушки индуктивности. Эти элементы связаны соединительными проводами. В сложной схеме всегда есть узлы и контуры.

Узлы – это точки, в которой соединяются три и более проводов. На рис.8 узлами будут точки А и В.

Контур– это замкнутая линия, проведенная вдоль соединительных проводов так, что нигде не пересекает саму себя. На рис.8 изображены два контура I и II. Обход вдоль этих контуров здесь выбран по часовой стрелке (в общем случае можно выбрать произвольно).

Обычно известны характеристики всех элементов, входящих в схему, т.е. сопротивления резисторов, Э.Д.С. источников тока и т.д. Рассчитать схему – значит найти все токи, текущие по разным цепям. В этом могут помочь правила Кирхгофа.

1-е правило Кирхгофа: . (9.1)

Алгебраическая сумма всех сил токов, сходящихся в узле равна 0.

Токи, втекающие в узел берутся со знаком "–", а токи вытекающие из узла – со знаком "+". Таким образом для узла В на рис.8 можно записать

. (9.2)

2-е правило Кирхгофа: , (9.3)

– алгебраическая сумма падений напряжений на каждом элементе контура равна алгебраической сумме э.д.с. в этом контуре.

Падение напряжения на сопротивлении считается положительным, если направление тока через это сопротивление совпадает с направлением обхода контура, выбранного произвольно.

Э.Д.С. считается положительной, если при обходе контура осуществляется переход через источник от "–" (меньший отрезок) к "+" (больший отрезок).

Запишем формулу (9.3) для двух контуров:

Контур I: (9.4)

Контур II: (9.5)

Таким образом, чтобы рассчитать схему, т.е. найти токи , и , надо решить систему уравнений (9.2), (9.4), (9.5).

Если известны некоторые токи, то расчет схемы упрощается, и можно иногда обойтись решением всего одного уравнения.

Задача 13.

Найти Э.Д.С. , если

Ом, Ом, Ом,

В, В,

А, А.

Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

Решение:

Запишем формулу (9.3) для контура I (см. рис.9).

(9.6)

Из (9.6) выразим :

=3×4 + 2×6 – 4 + 1 = 21 В

Ответ: = 21 B

Задача 14

Из двух круговых прямых конусов с углом раствора = 10° и радиусом основания = 2 см составлена фигура, вдоль оси симметрии которой помещен равномерно заряженный отрезок длиной =6 см с линейной плотностью заряда = 2 мкКл/м. Середина отрезка совпадает с центром фигуры. Найти поток вектора электрического смещения через поверхность одного из конусов.

Решение:

В общем случае расчет потока электрического смещения через заштрихованную область конуса по формуле (10.3) с использованием (10.6) вызывает огромные трудности. Но заряженный стержень расположен на оси конуса симметрично относительно плоскости основания конуса. Таким образом, можно сделать вывод, что поток через заштрихованную область равен половине потока через всю поверхность фигуры на рис.11.

Поток вектора через замкнутую поверхность можно рассчитать по закону Остроградского-Гаусса по формуле (10.7):

нКл. (10.8)

Откуда следует ответ.

Ответ: = 60 нКл

Задача 15

Заряд = 4 нКл помещен в центр сферы радиуса = 2 м. Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь небольшую область поверхности сферы площадью = 50 см².

Решение:

Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом, направлена вдоль радиуса сферы, т.е. вдоль нормали к поверхности сферы. Угол между вектором и любой площадкой на сфере равен 0°. Модуль напряженности на поверхности сферы равен (см. (3.1)). Таким образом, поток вектора можно легко рассчитать по формуле (10.3):

В×м.

Ответ: 45 мВ×м

Задача 16

Электрическое поле создается горизонтальной бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда = 2 мКл/м². На плоскость положили полусферу радиуса = 1 см. Найти поток вектора электрического смещения через боковую поверхность полусферы.

Решение:

Заряженная плоскость на рис.13 создает однородное электрическое поле, перпендикулярное основанию полусферы и по модулю равное . Поток через всю поверхность полусферы равен сумме потоков через заштрихованную поверхность Ф₁ и через основание полусферы Ф₂. Но по теореме Остроградского-Гаусса (10.7) этот поток должен быть равен нулю, так как внутри замкнутой поверхности нет ни одного заряда (заряды находятся вне замкнутой поверхности на плоскости). (10.9)

Таким образом, вместо потока Ф₁ можно найти поток Ф₂: Кл.

Ответ: 314 нКл

Использование теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

Как известно из векторной алгебры, любой вектор можно описать с помощью его проекций в виде

, (1.1)

где – орты осей , а – проекции вектора на эти оси.

Над векторами можно производить математические действия, такие как векторное сложение, скалярное и векторное умножение. Кроме этого существуют дифференциальные операторы, действующие на векторы. Примером может служить оператор "набла":

. (1.2)

Операция скалярного умножения оператора "набла" на вектор называется дивергенцией вектора :

. (1.3)

В электростатике основным вектором является вектор напряженности электрического поля . Используя формулы (1.1) – (1.3) можно записать выражение для дивергенции вектора :

. (1.4)

Если в некоторой физической задаче известна зависимость вектора напряженности электрического поля от координат, то можно определить объемную плотность электрического заряда r (функцию распределения электрического заряда в пространстве):

(1.5)

Уравнение (1.5) – это теорема Гаусса в дифференциальном виде для вектора напряженности электрического поля . Здесь Ф/м – электрическая постоянная, e – диэлектрическая проницаемость среды.

Задача 1

Напряженность электростатического поля задается формулой

. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке , если Н/Кл; м, м, м.

Решение:

Сравнивая выражение для из условия с формулой (1.1), можно определить проекции вектора :

; (1.6)

Найдем частные производные:

, (1.7)

. (1.8)

В выражения (1.7) и (1.8) были подставлены значения А = 3 Н/Кл, м, м, 1 м.

Рассчитав значения выражений (1.7) и (1.8), подставим их в формулу (1.5), откуда можно выразить объемную плотность электрического заряда в заданной точке Р:

= 1,50×10^–6 Кл/м³.

Ответ: 1,50 мкКл/м³

2. Связь и

Оператором "набла" (1.2) можно действовать не только на векторы, но и на скалярные функции. Операция называется градиентом функции . Используя формулу (1.2) получим:

(2.1)

Из (2.1) видно, что градиент функции есть вектор, проекциями которого являются частные производные от этой функции по соответствующим координатам. Вектор направлен в сторону наибыстрейшего возрастания функции .

Рассмотрим пробную частицу с электрическим зарядом , находящуюся в электростатическом поле с напряженностью и обладающую потенциальной энергией . Как известно, электростатическое поле потенциально, следовательно работа поля по перемещению частицы равна убыли потенциальной энергии:

(2.2)

Из (2.2) можно сделать выводы относительно проекций силы, действующей на частицу:

, (2.3)

, (2.4)

, (2.5)

Используя формулу (1.1) представим вектор силы в виде:

(2.6)

Разделим уравнение (2.6) на и, учитывая, что , а , получим связь между напряженностью электростатического поля и электрическим потенциалом j:

. (2.7)

Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность в силовом поле, в каждой точке которой одинаковый потенциал. Таким образом, если частица перемещается по эквипотенциальной поверхности, то ее потенциальная энергия не изменяется, и работа над частицей в этом случае не совершается. Из (2.2) следует, что сила, действующая на частицу перпендикулярна перемещению, а значит и эквипотенциальной поверхности.

Из (2.7) можно сделать вывод, что напряженность направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциала j перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

Используя формулу (2.1) можно рассчитать проекции вектора :

. (2.8)

Модуль вектора можно найти по формуле:

(2.9)

Задача 2:

Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону . Найти величину напряженности электрического поля в точке , если А = 2 В, м, м, b = 1 м.

Решение:

По формуле (2.8) рассчитаем проекции вектора напряженности :

, (2.10)

, (2.11)

. (2.12)

Подставляя в (2.10) и (2.11) значения координат , получаем:

В/м, В/м

Результат подставляем в (2.9):

В/м

Ответ: Е = 22,9 кВ/м

Задача 3:

Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону . Найти модуль напряженности электрического поля в точке , если А = 2 В, В = 3 В, м, м, b = 1 м.

Решение:

Аналогично задаче 1:

, (2.13)

, (2.14)

. (2.15)

Подставляя в (2.13) и (2.14) значения координат , получаем:

В/м, В/м

Результат подставляем в (2.9):

В/м

Ответ: Е = 737 кВ/м