Математическое описание случайных процессов

x(t)

Математическое описание случайных процессов - student2.ru

£t
Рис. 45
Математическое описание случайных процессов - student2.ru
if

Флуктуирующие напряжения, токи являются случайными переменными, поэтому изучение шумов целесообразно проводить, пользуясь методами теории вероятностей. Один из основных способов статистического описания случайной пе­ременной х {t) связан с вычислением ее

среднего значения - x(t), которое обозна­чают как X, и среднего квадрата случайной величины - x(t)2 . Графическая ил­люстрация смысла этих параметров случайного процесса показана далее на ри­сунках. Пусть имеется случайный процесс, показанный на рис. 45. Его среднее значение X находится как та постоянная составляющая, вокруг которой про­исходят знакопеременные изменения переменной х{t). Дисперсия случайного процесса х{t) в общем случае вычисляется путем вычитания из каждого значе­ния случайного процесса его среднего значения, возведения полученного ре-

зультата в квадрат и усреднения полученной величины по времени - {x(t) - X) . Графическая интерпретация данного параметра представлена на рис. 46. Как
можно видеть, дисперсия представляет собой квадрат средней амплитуды от­клонения случайного процесса от своего среднего значения. Грубо говоря, дис­персия - это усредненный по времени квадрат амплитуды случайного процесса.

— 9

Часто X равно нулю, и тогда наиболее значимой величиной становится x(t)2 . Таким образом, по аналогии с напряжением в электронном устройстве, где есть

постоянное и переменное напряже-

, — ч 2 ние и потому полное напряжение

(x(t)-X )

Математическое описание случайных процессов - student2.ru

Математическое описание случайных процессов - student2.ru
т

представляет собой их сумму, слу-

{x(t)-X )'

чайный процесс также представ­*

ляют как сумму среднего значения и

Рис.46 квадратного корня из его дисперсии.

В электронике возможные источники шума имеют такой характер флук- туаций, что их средние значения и дисперсии не зависят от времени наблюде­ния. Такие случайные процессы называют стационарными.

Плотность вероятности. Случайные процессы могут быть описаны их плотностью вероятности, которая представляет собой вероятность попадания значения случайной величины в интервал между X и X+dX. Стационарные слу­чайные переменные имеют плотности вероятности, которые не зависят от вре­мени. Их средние значения можно рассчитать, если известна плотность вероят­ности.

Пусть рассматривается большое число идентичных систем, которые под­вержены флуктуациям. Можно определить вероятность AP того, что случайная переменная X, описывающая флуктуации, принимает значения, заключенные между значениями случайной величины от X до X + AX. Для этого предста­вим AP в виде AP = AN, где AN - число систем в момент времени t, для кото­рых эта переменная заключена в интервале AX, а N - число систем в ансамбле. В дифференциальной форме это соотношение записывается так:

dP = f( X )dX.

Функцию f(X) называют плотностью вероятности случайной величины X. Она определяется экспериментально и удовлетворяет условию нормировки

J f(X)dX = 1,

где интегрирование ведется по всем значениям X . Это соотношение выражает тот факт, что X обязательно лежит в диапазоне допустимых значений.

Если известна плотность вероятности f(X), то средние значения Xm вы­числяются следующим образом:

Xm =Jf(X)• XmdX (m = 1, 2, ...), а среднее значение функции g( X ) равно:

g(X) = Jg(X) • f(X)dX.

В обоих случаях интегрирование ведется по всем допустимым значениям X .

Важными примерами дискретных плотностей вероятности являются би­номиальный закон, закон Пуассона и нормальный закон. Обсудим их.

Биномиальный закон. Пусть некоторое событие имеет вероятность p реализации в форме A и 1-р вероятность реализации в форме B, и пусть отдель­ные события независимы. Если событие случается m раз, то вероятность Pm(n) того, что n - раз оно реализуется в форме A , будет:

Pm(n) = (m! „ ■ Pn(1 - P)m ~n . n!(m - n)!

Здесь: n = m • p; a2 = m • p(1 - p).

Закон Пуассона. Пусть отдельные события независимы и происходят случайно со средней частотой n. Тогда вероятность P(n) того, что n событий произойдут в течение временного интервала единичной длительности будет:

(n)n • exp(-n)

P(n) =

n!

Здесь: a2 = n.

Нормальный закон. Пусть события случаются со средней частотой п. Пусть также п - велико и дисперсия а определена обычным способом. Тогда вероятность того, что n событий произойдут в течение единичного временного интервала, будет

(п - пГ 2а2

" <2

P(n) = -exp

\2жа

Можно показать, что биномиальный и пуассоновский законы сводятся к нор-

О —

мальному при больших значениях п . Случай, когда а2 = п, называют законом Гаусса.

Автокорреляционная функция. В стационарных случайных процессах важным параметром является среднее значение произведения двух значений

случайного процесса, сдвинутых по времени на промежуток s: X(t) - X(t + s). Оно называется автокорреляционной функцией и является мерой продолжи­тельности влияния значения случайной переменной в данный момент времени на последующие ее значения, т.е. описывает влияние настоящего случайного процесса на его будущее.

Если X(t) - X(t + s) = AS(s), т.е. является S -функцией параметра запазды­вания s, то шум называют белым. Обычно стараются представить флуктуаци- онные явления с помощью источников белого шума.

Метод Фурье. Одним из эффективных методов анализа случайных вели­чин является метод Фурье, основанный на введении в рассмотрение спектраль­ных плотностей случайного процесса - Sv(f). С помощью этой величины флуктуационную эдс V(t) в небольшом интервале частот можно представить в виде источника синусоидальной величиной шумового эдс ■s/Sv(f)Af. Достоин­ство такого подхода состоит в том, что с введением спектральной плотности для анализа шумов можно пользоваться теорией цепей переменного тока.

Теорема Винера-Хинчина. Важной теоремой спектрального анализа слу­чайной величины является теорема Винера-Хинчина. Пусть X(t) является ста­
ционарным случайным процессом. Разложим X(t) в ряд Фурье в интервале времени 0 < t < T, в пределах которого анализируется случайный процесс:

ж

X(t) = Еan ■ exp(j■ t),

п=—ж

n , и , о 2лп

где п = 0, ±1, ±2, , а cn и

1 T

an = -■ JX(t)■ exp(—jcnt)dt. T0

Спектральная плотность Sx(f) случайного процесса X(t) определяется сле­дующим образом:

Sx(f) = lim 2 ■ Tanan*,

T ^ж

где знаком (*) отмечена комплексно-сопряженная величина. Тогда в соответст­вии с теоремой Винера-Хинчина спектральная плотность может быть найдена с помощью следующего выражения:

ж____________________

Sx(f) = 2 ■ JX(t) ■ X(t + S) ■ coscSdS.

—ж

При вычислениях обычно находят сначала автокорреляционную функцию, а потом определяют спектральную плотность Sx(f) . При измерениях сначала из­меряют Sx(f), а затем находят автокорреляционную функцию.

Далее, если временной сдвиг S равен нулю, то можно найти:

—2----- ж

X2(t) =JSx(f)df , (6.1)

0

т.е. средний квадрат можно определить путем интегрирования, если известна спектральная плотность случайного процесса Sx(f).

Причину, по которой Sx(f) можно легко измерить, поясним следующим образом. Пусть случайный сигнал X(t) подается на вход линейной системы с передаточной функцией g(f) и пусть Y(t) - сигнал на выходе этой системы.

Если Sx(f) и Sy(f) являются спектральными плотностями, а Xn и Yn - коэф­фициентами разложения их в ряды Фурье, то Yn = Xn • g(f) так, что

Sy(f) = Sx(f) • \g(f)\2. Используя соотношение (6.1), получаем:

ж

Y2(t) =JSx(f) • \g(f)\ df 0

Конкретным выводом, который можно сделать из данного выражения, является следующий: если рассматриваемая линейная система является усилителем, то ам-

о

Математическое описание случайных процессов - student2.ru Рис. 47
Щ)

плитуда случайного процесса Y2(t) может быть измерена с помощью селектив­ного выделения заданной частоты (определение спектральной плотности), квадратичного детектора и интегратора (взятие интеграла).

Наши рекомендации