Математическое описание случайных процессов
x(t) |
£t |
Рис. 45 |
![]() |
if |
Флуктуирующие напряжения, токи являются случайными переменными, поэтому изучение шумов целесообразно проводить, пользуясь методами теории вероятностей. Один из основных способов статистического описания случайной переменной х {t) связан с вычислением ее
среднего значения - x(t), которое обозначают как X, и среднего квадрата случайной величины - x(t)2 . Графическая иллюстрация смысла этих параметров случайного процесса показана далее на рисунках. Пусть имеется случайный процесс, показанный на рис. 45. Его среднее значение X находится как та постоянная составляющая, вокруг которой происходят знакопеременные изменения переменной х{t). Дисперсия случайного процесса х{t) в общем случае вычисляется путем вычитания из каждого значения случайного процесса его среднего значения, возведения полученного ре-
зультата в квадрат и усреднения полученной величины по времени - {x(t) - X) . Графическая интерпретация данного параметра представлена на рис. 46. Как
можно видеть, дисперсия представляет собой квадрат средней амплитуды отклонения случайного процесса от своего среднего значения. Грубо говоря, дисперсия - это усредненный по времени квадрат амплитуды случайного процесса.
— 9
Часто X равно нулю, и тогда наиболее значимой величиной становится x(t)2 . Таким образом, по аналогии с напряжением в электронном устройстве, где есть
постоянное и переменное напряже-
, — ч 2 ние и потому полное напряжение
(x(t)-X )
![]() |
т |
представляет собой их сумму, слу-
{x(t)-X )'
чайный процесс также представ*
ляют как сумму среднего значения и
Рис.46 квадратного корня из его дисперсии.
В электронике возможные источники шума имеют такой характер флук- туаций, что их средние значения и дисперсии не зависят от времени наблюдения. Такие случайные процессы называют стационарными.
Плотность вероятности. Случайные процессы могут быть описаны их плотностью вероятности, которая представляет собой вероятность попадания значения случайной величины в интервал между X и X+dX. Стационарные случайные переменные имеют плотности вероятности, которые не зависят от времени. Их средние значения можно рассчитать, если известна плотность вероятности.
Пусть рассматривается большое число идентичных систем, которые подвержены флуктуациям. Можно определить вероятность AP того, что случайная переменная X, описывающая флуктуации, принимает значения, заключенные между значениями случайной величины от X до X + AX. Для этого представим AP в виде AP = AN, где AN - число систем в момент времени t, для которых эта переменная заключена в интервале AX, а N - число систем в ансамбле. В дифференциальной форме это соотношение записывается так:
dP = f( X )dX.
Функцию f(X) называют плотностью вероятности случайной величины X. Она определяется экспериментально и удовлетворяет условию нормировки
J f(X)dX = 1,
где интегрирование ведется по всем значениям X . Это соотношение выражает тот факт, что X обязательно лежит в диапазоне допустимых значений.
Если известна плотность вероятности f(X), то средние значения Xm вычисляются следующим образом:
Xm =Jf(X)• XmdX (m = 1, 2, ...), а среднее значение функции g( X ) равно:
g(X) = Jg(X) • f(X)dX.
В обоих случаях интегрирование ведется по всем допустимым значениям X .
Важными примерами дискретных плотностей вероятности являются биномиальный закон, закон Пуассона и нормальный закон. Обсудим их.
Биномиальный закон. Пусть некоторое событие имеет вероятность p реализации в форме A и 1-р вероятность реализации в форме B, и пусть отдельные события независимы. Если событие случается m раз, то вероятность Pm(n) того, что n - раз оно реализуется в форме A , будет:
Pm(n) = (m! „ ■ Pn(1 - P)m ~n . n!(m - n)!
Здесь: n = m • p; a2 = m • p(1 - p).
Закон Пуассона. Пусть отдельные события независимы и происходят случайно со средней частотой n. Тогда вероятность P(n) того, что n событий произойдут в течение временного интервала единичной длительности будет:
(n)n • exp(-n)
P(n) =
n!
Здесь: a2 = n.
Нормальный закон. Пусть события случаются со средней частотой п. Пусть также п - велико и дисперсия а определена обычным способом. Тогда вероятность того, что n событий произойдут в течение единичного временного интервала, будет
(п - пГ 2а2 |
" <2
P(n) = -exp
\2жа
Можно показать, что биномиальный и пуассоновский законы сводятся к нор-
О —
мальному при больших значениях п . Случай, когда а2 = п, называют законом Гаусса.
Автокорреляционная функция. В стационарных случайных процессах важным параметром является среднее значение произведения двух значений
случайного процесса, сдвинутых по времени на промежуток s: X(t) - X(t + s). Оно называется автокорреляционной функцией и является мерой продолжительности влияния значения случайной переменной в данный момент времени на последующие ее значения, т.е. описывает влияние настоящего случайного процесса на его будущее.
Если X(t) - X(t + s) = AS(s), т.е. является S -функцией параметра запаздывания s, то шум называют белым. Обычно стараются представить флуктуаци- онные явления с помощью источников белого шума.
Метод Фурье. Одним из эффективных методов анализа случайных величин является метод Фурье, основанный на введении в рассмотрение спектральных плотностей случайного процесса - Sv(f). С помощью этой величины флуктуационную эдс V(t) в небольшом интервале частот можно представить в виде источника синусоидальной величиной шумового эдс ■s/Sv(f)Af. Достоинство такого подхода состоит в том, что с введением спектральной плотности для анализа шумов можно пользоваться теорией цепей переменного тока.
Теорема Винера-Хинчина. Важной теоремой спектрального анализа случайной величины является теорема Винера-Хинчина. Пусть X(t) является ста
ционарным случайным процессом. Разложим X(t) в ряд Фурье в интервале времени 0 < t < T, в пределах которого анализируется случайный процесс:
ж
X(t) = Еan ■ exp(j■ t),
п=—ж
n , и , о 2лп
где п = 0, ±1, ±2, , а cn и
1 T
an = -■ JX(t)■ exp(—jcnt)dt. T0
Спектральная плотность Sx(f) случайного процесса X(t) определяется следующим образом:
Sx(f) = lim 2 ■ Tanan*,
T ^ж
где знаком (*) отмечена комплексно-сопряженная величина. Тогда в соответствии с теоремой Винера-Хинчина спектральная плотность может быть найдена с помощью следующего выражения:
ж____________________
Sx(f) = 2 ■ JX(t) ■ X(t + S) ■ coscSdS.
—ж
При вычислениях обычно находят сначала автокорреляционную функцию, а потом определяют спектральную плотность Sx(f) . При измерениях сначала измеряют Sx(f), а затем находят автокорреляционную функцию.
Далее, если временной сдвиг S равен нулю, то можно найти:
—2----- ж
X2(t) =JSx(f)df , (6.1)
0
т.е. средний квадрат можно определить путем интегрирования, если известна спектральная плотность случайного процесса Sx(f).
Причину, по которой Sx(f) можно легко измерить, поясним следующим образом. Пусть случайный сигнал X(t) подается на вход линейной системы с передаточной функцией g(f) и пусть Y(t) - сигнал на выходе этой системы.
Если Sx(f) и Sy(f) являются спектральными плотностями, а Xn и Yn - коэффициентами разложения их в ряды Фурье, то Yn = Xn • g(f) так, что
Sy(f) = Sx(f) • \g(f)\2. Используя соотношение (6.1), получаем:
ж
Y2(t) =JSx(f) • \g(f)\ df 0
Конкретным выводом, который можно сделать из данного выражения, является следующий: если рассматриваемая линейная система является усилителем, то ам-
о
![]() |
Щ) |
плитуда случайного процесса Y2(t) может быть измерена с помощью селективного выделения заданной частоты (определение спектральной плотности), квадратичного детектора и интегратора (взятие интеграла).