Спонтанное и вынужденное и излучение атома

Рис.38

Для облегчения понимания условий возникновения оптического излуче­ния в твердых телах рассмотрим процесс поглощения и излучения света в ато­ме. Из всей совокупности квантовых со­стояний, в которых может находиться атом, для простоты выберем два состоя­ния с энергиями E₁ и E₂. Это основное (невозбужденное) состояние и первое возбужденное (см. рис. 38). Пусть на та­кой атом падает излучение, имеющее спектральную плотность энергии U_v. Не­возбужденный атом, поглощая энергию излучения h v, перейдет в возбужденное состояние. При этом переходы с поглоще­нием кванта света совершаются тем чаще,
чем больше величина U_v . Если N₁ - число атомов в невозбужденном состоянии, а U_vBi2 - вероятность перехода с поглощением, то число переходов с поглоще­нием в единицу времени в единице объема равно:

SN₁₂ = B₁₂U_vN₁

Спонтанное излучение. Атом, находясь в возбужденном состоянии в ре­зультате поглощения кванта света, через некоторый промежуток времени из возбужденного состояния перейдет в нижнее состояние, отдавая избыток энер­гии e₂ - e₁ в виде кванта h v. Переход с излучением может произойти произ­вольно, независимо от внешних воздействий. Такой переход называется спон­танным, а создаваемое при этом излучение носит название спонтанного излу­чения. Спонтанные переходы являются случайными, их вероятность обозначим через A₂₁. Если N₂ - число атомов в возбужденном состоянии, то число спонтан­ных переходов в единицу времени:

dN^l₂₁ = A₂₁N₂ .

Следовательно, уменьшение количества возбужденных атомов в результате спонтанных переходов за время dt составит величину:

- dN₂ = A₂₁N₂dt .

Интегрируя это уравнение, получим закон убывания числа возбужденных атомов со временем при спонтанных переходах:

N₂ = N₂₀ exp(-A₂₁ • t),

где N₂₀ - число возбужденных атомов в момент t = 0.

Так как за каждый спонтанный переход излучается энергия E₂ - E₁ = hv, то в результате dN2i переходов в единицу времени выделяется энергия в коли­честве: hv • dN2i = hv • A21 • N2. Тогда интенсивность спонтанного излучения (энергия, испускаемая в единицу времени) равна:

I = hv A₂₁ • N₂₀ • e^-A21 •^t = I₀ • e^-A2vt,

где /о = hv • A21 • N20 • Так как A2N2dt есть число атомов, совершивших за время dt переход 2-1, то оно определяет количество атомов, «проживших» в возбуж­денном состоянии в течение времени t. Поэтому продолжительность пребыва­ния в возбужденном состоянии всех атомов, испытавших спонтанные переходы за время от 0 до ж, составит величину:

ж ж . , Non

T = J t • A₂₁ • N₂ • dt = J N₂₀ • A₂₁ • t • e_^A21 dt = .

0 0 ^A21

Здесь использовано выражение для определения среднего значения по извест­ной плотности вероятности случайного процесса. Из приведенного вычисления следует, что средняя продолжительность жизни атома в возбужденном состоя­нии равна

T 1

т =--- =------ .

^N20 ^A21

Поэтому релаксацию интенсивности свечения можно переписать в виде:

_ t_

/ = /0 • e ^т .

Таким образом, после прекращения возбуждения интенсивность спонтан­ного излучения во времени уменьшается по экспоненциальному закону с по­стоянной времени т = 1/A21. Поскольку спонтанные переходы являются случай­ными, то спонтанное излучение имеет статистический характер, оно некоге­рентно, т.е. генерируются фотоны, распространяющиеся в произвольных на­правлениях и имеющие произвольные фазы, хотя частоты излучаемых квантов света близки. Это обусловлено тем, что в силу случайного характера акты спон­танного излучения происходят независимо друг от друга.

Вынужденное излучение. Однако возбужденный атом под действием из­лучения может перейти в невозбужденное состояние. Такой переход называется вынужденным, а излучение носит название вынужденного, стимулированно­го или индуцированного. Индуцированные переходы будут совершаться тем чаще, чем больше плотность энергии возбуждающего света U_v . Поэтому веро­ятность этих переходов в единицу времени будет U_vB2i. Здесь B21 - вероят­ность индуцированного перехода атома с уровня 2 на уровень 1 при единичной интенсивности падающего излучения. Если n₂ - число атомов в возбужденном состоянии, то число индуцированных переходов в единицу времени в единице объема составит:

dN^l2 = U_vB₂₁N₂.

Следовательно, внешнее излучение с частотой v вызывает не только поглоще­ние, но и добавочное, индуцированное излучение.

Таким образом, среднее число переходов с излучением кванта света в еди­ницу времени в единице объема определяется спонтанными и вынужденными переходами и равно:

dN₂₁ = dN₂₁ + dN₂₁ = (A₂₁ + U_vB₂₁ )N₂ .

В стационарном состоянии на основании принципа детального равновесия чис­ла прямых и обратных переходов в единицу времени равны. Следовательно, dN2i = dNi2 или (A₂₁ + U_vB₂₁ )N₂ = U_vB₁₂N-|. Здесь B₁₂ - вероятность перехода атома с уровня 1 на уровень 2 под действием излучения единичной интенсив­ности. Отсюда следует, что:

ⁿ2 = ^Uv^B12 (5 2)

N1 A21 + U_VB21 ^{У )}

Поскольку равновесие имеет статистический характер, то отношение n₂ /n₁ мож­но выразить при помощи распределения Больцмана, согласно которому для системы, имеющей состояния с энергией E₁, e₂ ,.., E_m, вероятность пребывания в состоянии E_m равна

_ Em

Wm = Cgm ■ e ^kT ,

где g_m - фактор вырождения данного уровня, показывающий, сколько атомом находятся в данном состоянии. Поэтому можно записать:

e₂

m "Г (E 2 -El) N2 _ g2 •^{e kT} _ 92._e—k^ . (5.3)

N_{1 -}ii g₁ gi • e ^kT

Из сравнения равенств (5.2) и (5.3) следует, что:

kT

(E2 -Ei)

^uv^Bi2 _ g2 _e-

Uv _------------- ggv----------- . (5.4)

• e

^А21 + UvB2i gi С учетом того, что e₂ -E₁ = hv, получим:

g 2 ^A2i

hv

gB12 • e^kT - g2B21

Для определения коэффициентов А и В используем предельное условие. При T плотность энергии U_v должна стремиться к бесконечности (при силь­ном нагревании твердое тело излучает больше, чем при слабом нагреве), а это значит, что знаменатель в (5.4) стремится к нулю или gB12 _ g2B21. С учетом этого выражение (6.4) перепишется в виде:

_ Я₂А2₁ ^v gB12 hv

ekT -1

При hL «1 в первом приближении имеем:

hv

_kT и hv

e^k1 «1 + —, kT

и тогда:

U _ 32*21 • К. (5.5)

^v gB12 hv ^{v y}

С другой стороны, при условии hi «1 справедлива формула Релея-Джинса, по которой:

2

^Uv _-₃- • ^kT . С ³

Из ее сопоставления с формулой (5.5) найдем:

g2A21 _{= h} gB12 с³

8 2

откуда следует: A21 = hv•—B12. Окончательно имеем:

с³ g₂

₂

A21 = hv~ B21 . (5.6)

_с3

Таким образом, установлено, что все вероятности переходов атома между уровнями его энергии взаимно связаны между собой, что указывает на единый механизм атома по излучению или поглощению кванта света. При вынужден­ном переходе генерируется фотон, имеющий ту же частоту, направление и фа­зу, что и фотон, вызвавший этот переход. Поэтому генерируемое излучение на­зывают когерентным.