Обратная решетка. Условия дифракции коротковолнового излучения на кристалле
Важную роль в теории дифракции на кристалле как рентгеновских, так и электронных волн играет понятие обратной решетки.
В курсе «Кристаллография» понятие обратной решетки формализовано и вводится через векторы элементарных трансляций a, b, c прямой решетки [1].
,
,
,
где V = (a[dc]) – объем параллепипеда, построенного на этих трансляциях.
Вектора a*, b*, c* называются базисными векторами обратной решетки в отличие от базисных векторов a, b, c прямой решетки.
Построив на векторах a*, b*, c* с общим началом координат (000) множество векторов вида:
,
где h, k, l – целые числа, получим решетку, которую называют обратной. Hhkl – вектор обратной решетки, hkl - узлы обратной решетки, (000) – начальный узел обратной решетки.
Между прямой и обратной решетками можно установить следующие соответствия:
1. (aa*) = (bb*) = (cc*) = 1
2. произведения типа (a*b) = (a*с) = (ab*)= (ac*) = (bc*) = (b*c) = 0 что означает, что разноименные векторы прямой и обратной решетки взаимно перпендикулярны.
3. Объем элементарной ячейки равен смешанному произведению осевых векторов.
(a[bc]) = V, учитывая положение 1, получим
;
,
,
,
,
4. Вектор обратной решетки перпендикулярен к плоскости (hkl) прямой решетки и по своей абсолютной величине обратно пропорционален межплоскостному расстоянию dhkl.
В дифракционных методах исследования понятие обратной решетки приобретает вполне конкретный физический смысл. В своей монографии «Структурная электронография» [2] Б.К. Вайнтшейн, рассматривая рассеяние коротковолнового излучения на трехмерном периодическом объекте, каким является кристалл, показывает, что распределение точек, в которых амплитуда рассеяния отлична от 0 и принимает значения Фhkl периодично в обратном пространстве и образует обратную решетку.
Это выражение для структурной амплитуды, определяющей рассеяние одной элементарной ячейкой кристалла. j(r) – распределение рассеивающей материи внутри ячейки. Каждая точка обратной решетки узел hkl – характеризуется вектором обратной решетки,
,
имеющим начало в узле (000), где S = k - k0; k и k0 соответственно единичные волновые вектора рассеянной и падающей волн.
Условие дифракции от кристалла заключается в соотношении:
откуда
.
Это соотношение определяет возможные направления k дифрагируемых кристаллом волн, а его геометрическая интерпретация реализуется с помощью сферы отражения (сферы Эвальда) и обратной решетки.
При фиксированном значении ko возникают лишь те дифрагированные лучи, которые соответствуют пересечению узлов обратной решетки сферой отражения. Поскольку радиус сферы отражения относительно обратной решетки равен 1/l.
На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация условия дифракции в свете обратной решетки и сферы отражения для рентгеновских лучей, когда последняя имеет заметную кривизну.
Рис.1.
В электронографии, учитывая, что длина волны на два порядка меньше длин волн рентгеновских лучей, радиус сферы отражения велик и с достаточной степенью точности участок сферы отражения, соответствующий малому интервалу углов Вульфа-Брэгга можно считать плоским (рис. 1).
Таким образом, электронограмма является плоским сечением обратной решетки, проведенным через начальный узел (000) перпендикулярно падающему пучку в определенном масштабе.
Это определение применимо для всех типов электронограмм и существенно упрощает рассмотрение их геометрии.