Обратная решетка. Условия дифракции коротковолнового излучения на кристалле

Важную роль в теории дифракции на кристалле как рентгеновских, так и электронных волн играет понятие обратной решетки.

В курсе «Кристаллография» понятие обратной решетки формализовано и вводится через векторы элементарных трансляций a, b, c прямой решетки [1].

, , ,

где V = (a[dc]) – объем параллепипеда, построенного на этих трансляциях.

Вектора a^*, b^*, c^* называются базисными векторами обратной решетки в отличие от базисных векторов a, b, c прямой решетки.

Построив на векторах a^*, b^*, c^* с общим началом координат (000) множество векторов вида:

,

где h, k, l – целые числа, получим решетку, которую называют обратной. H_hkl – вектор обратной решетки, hkl - узлы обратной решетки, (000) – начальный узел обратной решетки.

Между прямой и обратной решетками можно установить следующие соответствия:

1. (aa^*) = (bb^*) = (cc^*) = 1

2. произведения типа (a^*b) = (a^*с) = (ab^*)= (ac^*) = (bc^*) = (b^*c) = 0 что означает, что разноименные векторы прямой и обратной решетки взаимно перпендикулярны.

3. Объем элементарной ячейки равен смешанному произведению осевых векторов.

(a[bc]) = V, учитывая положение 1, получим

; , , , ,

4. Вектор обратной решетки перпендикулярен к плоскости (hkl) прямой решетки и по своей абсолютной величине обратно пропорционален межплоскостному расстоянию d_hkl.

В дифракционных методах исследования понятие обратной решетки приобретает вполне конкретный физический смысл. В своей монографии «Структурная электронография» [2] Б.К. Вайнтшейн, рассматривая рассеяние коротковолнового излучения на трехмерном периодическом объекте, каким является кристалл, показывает, что распределение точек, в которых амплитуда рассеяния отлична от 0 и принимает значения Ф_hkl периодично в обратном пространстве и образует обратную решетку.

Это выражение для структурной амплитуды, определяющей рассеяние одной элементарной ячейкой кристалла. j(r) – распределение рассеивающей материи внутри ячейки. Каждая точка обратной решетки узел hkl – характеризуется вектором обратной решетки,

,

имеющим начало в узле (000), где S = k - k₀; k и k₀ соответственно единичные волновые вектора рассеянной и падающей волн.

Условие дифракции от кристалла заключается в соотношении:

откуда .

Это соотношение определяет возможные направления k дифрагируемых кристаллом волн, а его геометрическая интерпретация реализуется с помощью сферы отражения (сферы Эвальда) и обратной решетки.

При фиксированном значении k_o возникают лишь те дифрагированные лучи, которые соответствуют пересечению узлов обратной решетки сферой отражения. Поскольку радиус сферы отражения относительно обратной решетки равен 1/l.

На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация условия дифракции в свете обратной решетки и сферы отражения для рентгеновских лучей, когда последняя имеет заметную кривизну.

Рис.1.

В электронографии, учитывая, что длина волны на два порядка меньше длин волн рентгеновских лучей, радиус сферы отражения велик и с достаточной степенью точности участок сферы отражения, соответствующий малому интервалу углов Вульфа-Брэгга можно считать плоским (рис. 1).

Таким образом, электронограмма является плоским сечением обратной решетки, проведенным через начальный узел (000) перпендикулярно падающему пучку в определенном масштабе.

Это определение применимо для всех типов электронограмм и существенно упрощает рассмотрение их геометрии.