Занятие 42 . Комплексный метод расчета цепей переменного тока.

а) Понятие о комплексных числах

Векторное представление синусоидальных величин позволяет заменить сложные математические операции с синусоидальными величинами простыми операциями с векторами. Однако геометрические операции с векторами не обладают высокой точностью. Поэтому геометрические операции с векторами заменяют алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Векторы можно изображать не только на плоскости хОу, но и на комплексной плоскости в виде комплексного числа.

Комплек­сное число состоит из вещественной (действительной) (X) и мнимой частей.(Yj)

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z= x + yi,

На графиках по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат — мнимую часть комплексного числа.

Действитель­ную ось обозначают +1 и -1, а мнимую ось + j и – j

Буквой j обозначается в электротехнике мнимая единица

Каждой точке (x , y) координатной плоскости, изображающей комплексное число
z = x + yi, соответствует единственный вектор, отложенный от начала системы координат и обратно (рис.42.1).

При этом двум различным точкам координатной плоскости будут соответствовать два таких различных вектора.

Таким образом, может быть установлено однозначное соответствие между множеством точек координатной плоскости (комплексными числами) и множеством векторов, отложенных от начала системы координат.

Рис.42.1. Геометрическое представление комплексного числа на плоскости

На рис. 42.2 изображена координатная плоскость.

Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости;

числу 2 – 3i – точка B(2, – 3);

числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3);

числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3).

Числу 3i соответствует точка E(0, 3);

а числу – 3i – точка F(0, – 3).

рис. 42.2 координатная плоскость

Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости.

Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y = 0 – точки оси ординат.

Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox – действительной

б) Формы записи комплексных чисел.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической

алгебраической формах.

Пусть дано число которое на комплексной плоскости изображено

вращающимся вектором (см. рис. 42.3)

Рис.42.3. Представление числа на координатной плоскости

Тогда в показательной форме это число будет выглядеть как

в тригонометрической

в алгебраической

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP (см. рис.42.4) , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен

Рис.42.4. Представление комплексных чисел на плоскости

Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tg φ = b / a .