Концентрация равновесных носителей заряда в собственных невырожденных полупроводниках.

Собственный полупроводник – это беспримесный и бездефектный полупроводник. В собственных полупроводниках носители заряда образуются за счет теплового возбуждения электронов валентной зоны. В таком полупроводнике электроны и дырки образуются в одинаковых количествах. Концентрацию в собственных полупроводниках будем обозначать: , , . Для определения концентрации в собственном полупроводнике, воспользуемся формулами (3) и (4) §2.

(1)

Видно, что концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках возрастает с ростом температуры по экспоненциальному закону, при прочих равных условиях она больше в полупроводниках с малыми . Известно, при больших температурах ширина запрещенной зоны полупроводника уменьшается по линейному закону:

(2)

- ширина запрещенной зоны при T = 0 K⁰. Подставим (2) в (1)

(3)

(3')

Таким образом, зная угол наклона прямой зависимости концентрации носителей от обратной температуре, можно определить ширину запрошенной зоны.

Найдем положение химического потенциала в собственных невырожденных полупроводниках:

(4)

После сокращения и последующего логарифмирования получаем, что

(5)

Из (5) следует, что:

1. Если , то при всех температурах , если , то при T = 0 .Видно, что уровень химического потенциала лежит точно по средине запрещенной зоны.

2. Если , то с ростом температуры уровень химического потенциала поднимается вверх от середины запрещенной зоны.

3. Если , то с ростом температуры уровень химического потенциала опускается вниз от середины запрещенной зоны.

Указанные смешения малы, поскольку эффективные значения носителей

в формулах (4) и (5) находятся под логарифмом.

Оценим величину концентрации свободных носителей и положения уровня ферми для кремния при двух температурах: T1=300 K и T2=600 K за начало отсчета энергии возьмем дно зоны проводимости т.е. положим

Расчет энергии Ферми (хим. потенциала) рассчитаем по формуле (1)

При T=600 K

То есть с повышением температуры уровень Ферми снижается, приближаясь к валентной зоне. Связано это с тем, что дырки имеющие меньшею эффективную массу вносят большой вклад в электропроводность. Следующий уровень Ферми находится ниже середины запримеченной зоны.

Для расчета концентрации носителей заряда предварительно рассчитаем

эффективную плотность состояния электронов и дырок

для кремния

При T = 300 K

При T = 600 K

Как видно эффективная плотность состояний не очень сильно зависит от температуры. В связи с этим при изменении температуры на небольшую величину несколько единиц и несколько десяток градусов температурной зависимостью эффективной плотности состоянии можно пренебречь.

Эффективная плотность состояния дырок вычисляется аналогичным образом заменив

Вычислим теперь концентрацию дырок и электронов равные друг другу для собственного полупроводника

Где ширина запрещенной зоны

Подставив численные данные в последнюю формулу, получим

При

Тепловая энергия в эВ будет

При

Тепловая энергия в эВ будет

Тогда изменение температуры в два раза приводит к увеличению концентрации носителей более чем на пять порядков, при этом эффективная плотность состояния, как электронов, так и дырок изменяется только в 2,8 раза.

4. Концентрация равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках с одним типом мелких примесных центров и низких температурах.

Для определенности будем рассматривать полупроводник, содержащий мелкие донорные центры одного типа.

За счет теплового возбуждения образуются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Из зонной диаграммы видно, что электроны образуются за счет переходов 1 и 2, а дырки только за счет переходов 1. В таком полупроводнике очевидно концентрация электронов будет больше, чем концентрация дырок. Найдем выражение для концентрации электронов в таком полупроводнике, используя закон действующих масс для носителей заряда и уравнение электронейтральности.

1. Закон действующих масс.

Рассмотрим произведение концентраций носителей заряда, воспользовавшись общими соотношениями:

(1)

Соотношение (1) это закон действующих масс для носителей заряда в полупроводнике. Заметим, что для данного полупроводника при данной температуре величина . Из (1) следует что, если концентрация электронов увеличивается, то концентрация дырок должна уменьшаться, если , то полупроводник будет обладать монополярной электронной проводимостью или проводимостью - типа.

С ростом концентрации электронов, увеличивается вероятность встречи зонных электронов с дырками и, следовательно, дырки чаще гибнут в результате рекомбинации, чем в случае малых значений концентрации электронов, хотя во всех случаях число переходов 1 остается одинаковым.

2. Уравнение электронейтральности.

Уравнение электронейтральности основывается на том, что в любом физически малом объеме полупроводника суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю. В полупроводнике донорного типа отрицательный заряд обеспечивается электронами зоны проводимости, а положительный дырками и положительно заряженными донорами.

Будем обозначать концентрацию положительных доноров через , тогда уравнение электронейтральности для полупроводника - типа будет иметь вид:

(2)

Функция Ферми-Дирака определяет собой распределение зонных равновесных носителей заряда. Эта функция не применима для носителей заряда находящихся на примесных центрах.

Для зонных носителей заряда справедлив принцип Паули: на каждом уровне может находиться два носителя заряда с разными спинами.

Сильное кулоновское отталкивание приводит к тому, что принцип Паули неприменим для таких носителей заряда.

Вероятность заполнения примесных состояний электронами и дырками определяется следующими соотношениями:

- вероятность заполнения электроном донорного уровня с энергией (незаряженный донор).

- вероятность заполнения дыркой акцепторного уровня с энергией (незаряженный акцептор).

- вероятность заполнения дыркой донорного уровня с энергией ,

- вероятность заполнения электронами уровня .

При очень низких температурах число тепловых переходов 1 очень мало, поэтому в уравнении (3) и величиной можно пренебречь, тогда уравнение электронейтральности примет вид:

(4)

(4) можно записать:

, (4')

, ,

,

.

При низких температурах величина и тогда:

,

(5)

Из (5) следует, что при T = 0 уровень химического потенциала в монополярном полупроводнике - типа лежит посредине между дном зоны проводимости и донорным уровнем . С ростом температуры химический потенциал поднимается вверх к уровню , затем опускается вниз пересекая уровень .

Тогда концентрация электронов в зоне проводимости определяется из выражения: и с подстановкой в него (5), учитывая, что , получим:

(6)

Таким образом, концентрация электронов в таком полупроводнике экспоненциально возрастает с ростом температуры.

Найдем степень ионизации мелких доноров в тех условиях когда, уровень химического потенциала пересекает уровень :

(7)

Подставим (7) в (6) и получим, что:

Значит, когда уровень химического потенциала пересекает уровень , доноры истощены на половину, т.е. на половину ионизированы. Аналогично можно получить выражение для концентрации дырок в полупроводнике, содержащим только мелкие акцепторные центры:

(8)