Концентрация равновесных носителей заряда в собственных невырожденных полупроводниках.
Собственный полупроводник – это беспримесный и бездефектный полупроводник. В собственных полупроводниках носители заряда образуются за счет теплового возбуждения электронов валентной зоны. В таком полупроводнике электроны и дырки образуются в одинаковых количествах. Концентрацию в собственных полупроводниках будем обозначать: ,
,
. Для определения концентрации в собственном полупроводнике, воспользуемся формулами (3) и (4) §2.
(1)
Видно, что концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках возрастает с ростом температуры по экспоненциальному закону, при прочих равных условиях она больше в полупроводниках с малыми . Известно, при больших температурах ширина запрещенной зоны полупроводника уменьшается по линейному закону:
(2)
- ширина запрещенной зоны при T = 0 K0. Подставим (2) в (1)
(3)
(3')
Таким образом, зная угол наклона прямой зависимости концентрации носителей от обратной температуре, можно определить ширину запрошенной зоны.
Найдем положение химического потенциала в собственных невырожденных полупроводниках:
(4)
После сокращения и последующего логарифмирования получаем, что
(5)
Из (5) следует, что:
1. Если , то при всех температурах
, если
, то при T = 0
.Видно, что уровень химического потенциала лежит точно по средине запрещенной зоны.
2. Если
, то с ростом температуры уровень химического потенциала поднимается вверх от середины запрещенной зоны.
3. Если , то с ростом температуры уровень химического потенциала опускается вниз от середины запрещенной зоны.
Указанные смешения малы, поскольку эффективные значения носителей
в формулах (4) и (5) находятся под логарифмом.
Оценим величину концентрации свободных носителей и положения уровня ферми для кремния при двух температурах: T1=300 K и T2=600 K за начало отсчета энергии возьмем дно зоны проводимости т.е. положим
Расчет энергии Ферми (хим. потенциала) рассчитаем по формуле (1)
При T=600 K
То есть с повышением температуры уровень Ферми снижается, приближаясь к валентной зоне. Связано это с тем, что дырки имеющие меньшею эффективную массу вносят большой вклад в электропроводность. Следующий уровень Ферми находится ниже середины запримеченной зоны.
Для расчета концентрации носителей заряда предварительно рассчитаем
эффективную плотность состояния электронов и дырок
для кремния
При T = 300 K
При T = 600 K
Как видно эффективная плотность состояний не очень сильно зависит от температуры. В связи с этим при изменении температуры на небольшую величину несколько единиц и несколько десяток градусов температурной зависимостью эффективной плотности состоянии можно пренебречь.
Эффективная плотность состояния дырок вычисляется аналогичным образом заменив
Вычислим теперь концентрацию дырок и электронов равные друг другу для собственного полупроводника
Где ширина запрещенной зоны
Подставив численные данные в последнюю формулу, получим
При
Тепловая энергия в эВ будет
При
Тепловая энергия в эВ будет
Тогда изменение температуры в два раза приводит к увеличению концентрации носителей более чем на пять порядков, при этом эффективная плотность состояния, как электронов, так и дырок изменяется только в 2,8 раза.
4. Концентрация равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках с одним типом мелких примесных центров и низких температурах.
Для определенности будем рассматривать полупроводник, содержащий мелкие донорные центры одного типа.
За счет теплового возбуждения образуются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Из зонной диаграммы видно, что электроны образуются за счет переходов 1 и 2, а дырки только за счет переходов 1. В таком полупроводнике очевидно концентрация электронов будет больше, чем концентрация дырок. Найдем выражение для концентрации электронов в таком полупроводнике, используя закон действующих масс для носителей заряда и уравнение электронейтральности.
1. Закон действующих масс.
Рассмотрим произведение концентраций носителей заряда, воспользовавшись общими соотношениями:
(1)
Соотношение (1) это закон действующих масс для носителей заряда в полупроводнике. Заметим, что для данного полупроводника при данной температуре величина . Из (1) следует что, если концентрация электронов увеличивается, то концентрация дырок должна уменьшаться, если
, то полупроводник будет обладать монополярной электронной проводимостью или проводимостью
- типа.
С ростом концентрации электронов, увеличивается вероятность встречи зонных электронов с дырками и, следовательно, дырки чаще гибнут в результате рекомбинации, чем в случае малых значений концентрации электронов, хотя во всех случаях число переходов 1 остается одинаковым.
2. Уравнение электронейтральности.
Уравнение электронейтральности основывается на том, что в любом физически малом объеме полупроводника суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю. В полупроводнике донорного типа отрицательный заряд обеспечивается электронами зоны проводимости, а положительный дырками и положительно заряженными донорами.
Будем обозначать концентрацию положительных доноров через , тогда уравнение электронейтральности для полупроводника
- типа будет иметь вид:
(2)
Функция Ферми-Дирака определяет собой распределение зонных равновесных носителей заряда. Эта функция не применима для носителей заряда находящихся на примесных центрах.
Для зонных носителей заряда справедлив принцип Паули: на каждом уровне может находиться два носителя заряда с разными спинами.
Сильное кулоновское отталкивание приводит к тому, что принцип Паули неприменим для таких носителей заряда.
Вероятность заполнения примесных состояний электронами и дырками определяется следующими соотношениями:
- вероятность заполнения электроном донорного уровня с энергией
(незаряженный донор).
- вероятность заполнения дыркой акцепторного уровня с энергией
(незаряженный акцептор).
- вероятность заполнения дыркой донорного уровня с энергией
,
- вероятность заполнения электронами уровня
.
При очень низких температурах число тепловых переходов 1 очень мало, поэтому в уравнении (3) и величиной
можно пренебречь, тогда уравнение электронейтральности примет вид:
(4)
(4) можно записать:
,
(4')
,
,
,
.
При низких температурах величина и тогда:
,
(5)
Из (5) следует, что при T = 0 уровень химического потенциала в монополярном полупроводнике
- типа лежит посредине между дном зоны проводимости и донорным уровнем
. С ростом температуры химический потенциал поднимается вверх к уровню
, затем опускается вниз пересекая уровень
.
Тогда концентрация электронов в зоне проводимости определяется из выражения: и с подстановкой в него (5), учитывая, что
, получим:
(6)
Таким образом, концентрация электронов в таком полупроводнике экспоненциально возрастает с ростом температуры.
Найдем степень ионизации мелких доноров в тех условиях когда, уровень химического потенциала пересекает уровень :
(7)
Подставим (7) в (6) и получим, что:
Значит, когда уровень химического потенциала пересекает уровень , доноры истощены на половину, т.е. на половину ионизированы. Аналогично можно получить выражение для концентрации дырок в полупроводнике, содержащим только мелкие акцепторные центры:
(8)