Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом
Короткое замыкание в R-L цепи
На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.
До коммутации по индуктивности протекал ток 
Этот ток создавал постоянное магнитное поле в индуктивной катушке.
Рис. 8.1
Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации.
В соответствии с классическим методом
Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую
Магнитное поле, исчезая, индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы.
Запишем уравнение для свободного тока в R-L контуре, используя второй закон Кирхгофа.
(8.1)
Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты
.
Производная
.
Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (8.1)
(8.2)
Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1), называется характеристическим.
- корень характеристического уравнения.
- постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах.
Постоянная времени τ - это интервал времени, за который переходный ток уменьшается в e раз.
.
Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия.
В соответствии с первым законом коммутации,
.
Получим 
Напряжение на индуктивности
.
На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю. В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.
Рис. 8.2
Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС
В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).
.
Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации
.
В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на рис. 8.1.
Свободный ток определяется по формуле
.
Запишем значение переходного тока для момента коммутации, (t = 0). 
,
откуда 
.
Рис. 8.3
До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.
Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю.
.
.
.
Напряжение на индуктивности
.
На рис. 8.4 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.
Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине.
Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.
Рис. 8.4
Короткое замыкание в R-C цепи
В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур.
До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-) = E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю.
В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора.
Запишем для R-C контура уравнение по второму закону Кирхгофа 
.
Рис. 8.5
Ток через конденсатор 
.
Получим дифференциальное уравнение
. (8.3)
Решение этого уравнения 
.
Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения
в уравнение (8.3).
.
Уравнение 
называется характеристическим.
- корень характеристического уравнения;
- постоянная времени переходного процесса;
Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).
Рис. 8.6
Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС
Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-)=0.
В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7).
Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания ucпр= E.
Переходное напряжение
.
В момент коммутации 
.
Постоянная интегрирования 
.
В соответствии со вторым законом
коммутации
Рис. 8.7
Переходное напряжение
.
Переходный ток
.
Кривые напряжений и тока
изображены на рис. 8.8.
Рис. 8.8