Выпуклость и вогнутость функции

Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутойна этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").

Рис. 4.5. Функция f₁(x) вогнута на промежутке (a;b)

Рис. 4.6.Функция f₁(x) выпукла на промежутке (a;b)

Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x₀) и (x₀;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

Рис. 4.7. Примеры точек перегиба

Рис. 4.8.Угловая точка не является точкой перегиба

Будем называть функцию возрастающей в точке x₀, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.

Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.

Если f′′(x) > 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f′′(x) < 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.

Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5, – признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.

Рис. 4.9.Вогнутая функция. Тангенс угла наклона касательной возрастает

Рис. 4.10.Вогнутая функция. Тангенс угла наклона касательной убывает

Если x₀ – точка перегиба функции f(x), то f′′(x₀) = 0.

Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.

Если в точкеx₀ выполняются условия:

1) f′(x₀) = 0; f′′(x₀) < 0, тогда x₀ – точка максимума;

2) f′(x₀) = 0; f′′(x₀) > 0, тогда x₀ – точка минимума;

3) f′(x₀) = 0; f′′(x₀) = 0,тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x₀ = 0 у функцииy = x⁴, но может его не быть, например в точке x₀ = 0 у функции y = x⁵. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.

Рассмотрим пример из микроэкономики.

В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q –количества купленного товара. Введем понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной осиколичество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси – общую полезность TU, как это сделано на рисунке 4.11.

Рис. 4.11.

В этой системе координат проведем график функции TU = TU(Q). Точка Q₀ на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина ΔQ –добавочный приобретенный товар. Разность ΔTU = TU(Q₀ + ΔQ) – TU(Q₀) ‑ добавочная полезность, полученная от покупки “довеска” ΔQ.Тогда добавочная полезность от последней приобретенной порции (или единицы количества) товара вычисляется по формуле ΔTU / ΔQ (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Эта дробь, как можно видеть, зависит от величины ΔQ. Если здесь перейти к пределу при ΔQ → 0, то получится формула для определения предельной полезности MU: .

Это означает, чтопредельная полезность равна производной функции полезности TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU(Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.