Общие требования к выполнению контрольной работы

1. Контрольная работа выполняется в произвольной форме, с обязательным указанием названия кафедры, специальности, номера группы, № варианта, ФИО студента и преподавателя.

2. Номер варианта для выполнения контрольной работы выдается студенту индивидуально по усмотрению преподавателя.

3. Каждая задача в контрольной работе должна сопровождаться подробными расчетами, при необходимости составляются графики, таблицы.

4. В конце каждой решенной задачи необходимо сформулировать вывод относительно полученных результатов и записать численный ответ.

5. Контрольная работа должна быть сделана за 1 – 2 недели до сессии.

III. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Два класса причинных связей в природе и обществе. Место и роль теории вероятностей среди других математических и прикладных наук. Взаимосвязь теории вероятностей и математической статистики.

2. Случайные явления и события. Определение массовых случайных событий и статистической устойчивости. Понятие элементарных событий. Пространство элементарных событий и примеры его построения. Классическое определение вероятности событий.

3. Соотношения между событиями. Элементы алгебры случайных событий: операции над случайными событиями, интерпретация их с помощью понятий теории множеств. Классический метод вычисления вероятностей.

4. Аксиоматическое определение вероятности события. Определения измеримого пространства и вероятностного пространства. Свойства вероятностей. Понятия совместных и несовместных событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность противоположного события.

5. Условные вероятности, их свойства. Определение независимости событий. Умножение вероятностей независимых событий. Понятие событий, независимых в совокупности. Вероятность осуществления хотя бы одного из нескольких, независимых в совокупности событий. Теорема сложения произвольных событий.

6. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры применения байесовских методов в эконометрике. Последовательности испытаний. Формула Бернулли.

7. Определение случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ). Законы распределения случайных величин, способы задания закона распределения ДСВ. Интегральная функция распределения ДСВ

8. Числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Основные свойства числовых характеристик. Вероятностный смысл математического ожидания и дисперсии. Числовые характеристики биномиального закона распределения ДСВ.

9. Непрерывные случайные величины (НСВ). Понятие плотности распределения. Определение и свойства дифференциальной функции распределения НСВ. Интегральная функция распределения и ее свойства.

10. Числовые характеристики НСВ. Характеристики центра группирования: математическое ожидание, среднее геометрическое, среднее гармоническое, мода, медиана. Характеристики вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации; характеристики формы: эксцесс и асимметрия.

11. Равномерное, экспоненциальное и нормальное распределения НСВ; графики функций и плотностей распределения, числовые характеристики. Нормированное нормальное распределение, функция Лапласа.

12. Определение многомерных случайных величин (ССВ). Функция и плотность распределения двумерной СВ и их свойства. Понятие маргинального распределения. Условные функции распределения и условные плотности распределения вероятностей.

13. Зависимые и независимые системы двух случайных величин. Числовые характеристики системы двух СВ. Начальные и центральные моменты, условное математическое ожидание. Функции и линии регрессии. Определение корреляционного момента и коэффициента корреляции двух СВ. Понятие коррелированности СВ.

14. Предмет математической статистики. Связь теории вероятностей и математической статистики. Примеры типичных задач математической статистики, встречающихся в инженерной и экономической практике.

15. Генеральная совокупность, выборка и ее основные характеристики: объем, представительность, виды отбора выборочной совокупности.

16. Вариационный ряд, статистическое распределение выборки. Полигон частот, эмпирическая функция распределения. Порядок построения эмпирической функции распределения.

17. Интервальный статистический ряд распределения. Графическое представление эмпирической плотности распределения генеральной совокупности с помощью гистограммы. Порядок построения гистограммы.

18. Основные характеристики выборки: размах выборки, среднее арифметическое, медиана, мода, статистическая дисперсия и среднее квадратическое отклонение выборки. Вариационный размах и коэффициент вариации.

19. Общие понятия задачи оценивания параметров распределений. Характеристики оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность и достаточность.

20. Методы оценивания. Метод максимального правдоподобия: функция правдоподобия, получение оценок, свойства оценок. Оценивание параметров плотности нормального распределения методом максимального правдоподобия.

21. Метод моментов. Получение оценок и свойства оценок метода моментов. Примеры применения методов моментов.

22. Другие методы оценивания: метод наименьших квадратов, оценивание по Байесу.

23. Распределение Хи-квадрат Пирсона. Область применения распределения Пирсона.

24. Распределение Стьюдента. Примеры случайных величин, имеющих распределение Стьюдента.

25. Распределение Фишера. Примеры случайных величин, имеющих распределение Фишера.

26. Статистические таблицы значений квантилей нормального распределения, а также распределений Пирсона, Стьюдента и Фишера. Порядок пользования ими.

27. Понятие доверительных интервалов, доверительных границ и надежности оценок или коэффициента доверия. Доверительный интервал для параметров нормального распределения. Общий подход к доверительному оцениванию.

28. Доверительная оценка центра распределения при известной дисперсии (оценка истинного значения измеряемой величины) и в случае неизвестной дисперсии.

29. Доверительные оценки среднего квадратического отклонения (точности измерений) при известном математическом ожидании и в случае, когда оно неизвестно.

30. Примеры экономических задач, сводящиеся к проверке различных предположений о характеристиках случайного явления. Основные понятия и определения: простая, сложная, основная и альтернативная гипотезы, статистический критерий, критические точки (границы), критическая область. Порядок построения статистического критерия.

31. Описание гипотез. Порядок проверки статистических гипотез или принятия статистического решения. Проверка гипотез и доверительные интервалы. Проверка гипотез о математическом ожидании и дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону.

32. Критерий согласия для плотности распределений. Оценка близости эмпирического распределения к нормальному закону с помощью критерия Пирсона.

33. Примеры экономических задач, решаемых методами дисперсионного анализа. Разделение дисперсии на независимые слагаемые: факторную дисперсию и остаточную дисперсию. Общий порядок выполнения однофакторного дисперсионного анализа.

34. Статистическая зависимость случайных величин. Статистическая ковариация и коэффициент линейной корреляции, его свойства.

35. Основные понятия корреляционного анализа: парная корреляция. Примеры типовых экономических задач, решаемых методами корреляционного анализа.

36. Проведение корреляционного анализа. Построение корреляционного поля или сечений корреляционного пространства и составление корреляционных таблиц. Выборочные маргинальные и условные законы распределения, условные математические ожидания и дисперсии. Построение эмпирических регрессий.

37. Анализ парной корреляции. Выборочные коэффициенты корреляции и корреляционные отношения, их статистическая интерпретация и свойства.

38. Регрессионные модели как инструмент анализа и прогнозирования экономических явлений. Парная линейная регрессия, оценка параметров с помощью метода наименьших квадратов. Оценки параметров регрессии.

39. Задача измерения связи, уравнение регрессии. Нахождение уравнения регрессии по сгруппированным данным методом наименьших квадратов.

40. Криволинейные уравнения корреляционной связи. Мера тесноты нелинейной связи, корреляционное отношение.

IV. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Теория вероятностей:

Задача 1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом — одно из сочетаний очков
1, ..., 6 на верхних гранях трех костей.

Исследуемое событие — сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события вычислим с помощью формулы: .

Общее количество элементарных событий можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем

.

Количество элементарных событий , входящих в состав события или благоприятствующих событию , найдем, выписав все возможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросаний первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:

11З

В результате получаем, что , значит,

.

Ответ: .

Задача 2. Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Решение. Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие состоит в получении нужного слова МАТЕМАТИКА. По классической формуле вероятности:

, где

– число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;

– общее число возможных элементарных исходов испытания.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу перестановок из 10 букв:

Некоторые буквы в слове МАТЕМАТИКА повторяются (М — 2 раза, А — 3 раза, Т — 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно:

Таким образом,

.

Ответ: .

Задача 3. Фамилия и имя студента записаны с помощью карточек. Карточки с буквами фамилии и имени смешивают в отдельные пачки и отдельно вынимают по одной карточке без возврата. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке следования в фамилии и имени.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

Задача 4. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение.

Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:

.

а) — среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

,

б) — среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

— среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,

— среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные:

.

Так как события и несовместны, по теореме сложения для несовместных событий:

;

,

, ;

.

в) — среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:

1 белый и 3 черных ( ), 2 белых и 2 черных ( ), 3 белых и 1 черный ( ), 4 белых ( ). Имеем

.

Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.

— среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

, ;

.

Ответ. , , .

Задача 5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Решение. Испытание, т. е. работу за время , нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

а) — за время выходит из строя только один элемент:

— первый элемент выходит из строя;

— второй элемент выходит из строя;

— третий элемент выходит из строя;

— первый элемент не выходит из строя;

— второй элемент не выходит из строя;

—- третий элемент не выходит из строя.

.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий и , и формулы и , получаем:

По условию,

, , ,

учитывая, что , получаем:

, ,

Таким образом,

.

б) — за время выходит из строя хотя бы один элемент.

Событие определяется словами «хотя бы один», значит, используем противоположное событие.

— за время все элементы работают безотказно:

;

;

.

Ответ: , .

Задача 6. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй — 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

Решение.

а) — все вынутые шары одного цвета, т. е. они или все белые, или все черные.

Определим для каждой урны все возможные события:

— из первой урны вынуты 3 белых шара;

— из первой урны вынуты 2 белых и 1 черный шар;

— из первой урны вынуты 1 белый и 2 черных шара;

— из первой урны вынуты 3 черных шара;

— из второй урны вынуты 2 белых шара;

— из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

— из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, откуда, учитывая независимость и несовместность событий, получаем

.

Найдем количество элементарных событий и для первой и второй урн соответственно:

, .

Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:

, ,

,

, ,

.

Следовательно,

.

б) — среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

;

;

.

в) — среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

— среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

;

;

.

Ответ: , , .

Задача 7. В урне 4 черных и белых шара. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможны.

Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шара, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используем формулу полной вероятности:

Решение.

.

Событие — случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

— в урне было 4 белых шара;

— в урне было 3 белых и 1 черный шар;

— в урне было 2 белых и 2 черных шара;

— в урне был 1 белый и 3 черных шара;

— в урне было 4 черных шара.

Формулу полной вероятности используем в следующем виде:

События , , , , образуют полную группу событий, значит, их сумма равна достоверному событию

.

Сумма вероятностей достоверных событий равна 1:

По условию все эти вероятности равны. Следовательно,

.

Общее число элементарных исходов

.

Найдем условные вероятности события при различных условиях.

При :
При :
При :
При :
При :

.

Ответ: .

Задача 8. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

В этой задаче испытания также происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны.

Решение.

Рассмотрим события:

— шары, взятые из второй урны;

— из первой урны взяли 3 белых шара;

— из первой урны взяли 2 белых и 1 черный шар;

— из первой урны взяли 1 белый и 2 черных шара;

— из первой урны взяли 3 черных шара.

Используя формулу полной вероятности, находим

.

Количество элементарных событий на первом этапе равно

,

а на втором этапе

.

При : , ,		, .
При : , ,		, .
При : , ,
При : , ,		.

.

Ответ: .

Задача 9. В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Решение. В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым — стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:

— стрелок поразит мишень;

— стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;

— стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.

Используем формулу полной вероятности:

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и, соответственно, (для ) и (для ). Таким образом, , . Условные вероятности заданы в условии задачи:

и .

Следовательно,

Ответ: .

Задача 10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Решение. Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым — работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:

— электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;

— монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;

— монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;

— монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.

Вероятность события вычисляем по формуле полной вероятности:

Условные вероятности заданы в условии задачи:

, , .

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

, ,

;

.

По формуле Бейеса вычисляем условные вероятности событий (гипотез) : ;

;

.

Ответ: , .

Задача 11.В каждом из11 независимых испытаний событие происходит с постоянной вероятностью . Вычислить все вероятности , где – частота события .

Решение.

Дано: , , .

Найти: и .

Используем формулу Бернулли: .

Вычисляем значение :

.

При больших значениях и вычисления по формуле Бернулли достаточно громоздки и, кроме того, на практике обычно не требуется такая высокая точность. Поэтому вычисляют по формуле Бернулли, которая при принимает вид , а все остальные по формуле:

, .

Результаты вычислений записываем в таблице. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство: .

	– 11/1 10/2 9/3 8/4 7/5	0,0197732 0,0932168 0,1997503 0,2568218 0,2201330 0,1320798		6/6 5/7 4/8 3/9 2/10 1/11	0,0566056 0,0173282 0,0037131 0,0005304 0,0000454 0,0000017
				–	0,9999994

Задача 12.В каждом из 700 независимых испытаний событие происходит с постоянной вероятностью . Найти вероятность того, что событие происходит:

а) точно 270 раз;

б) меньше, чем 270 и больше, чем 230 раз;

в) больше, чем 270 раз.

Решение. Учитывая, что количество испытаний довольно велико, можно использовать формулы Муавра-Лапласа.

а) Дано: , , .

Найти: .

Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

, где , .

Функция – четная ( т.е. ).

Находим:

;

.

Значение функции находим по таблице:

, .

б) Дано: , , , .

Найти: .

Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:

, где

, , .

Функция – нечетная ( т.е. ).

Находим:

;

, .

Значение функции находим по таблице:

.

в) Дано: , , , .

Найти: .

Имеем: , , ,

.

Задача 13.На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью . Найти вероятность того, что среди 200соединений произойдет:

а) точно 1 неправильное соединение;

б) меньше, чем 3 неправильных соединения;

в) больше, чем 2 неправильных соединения.

Решение.Вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона:

, где .

а) Дано: , , .

Найти: .

Получаем: ..

б) Дано: , , .

Найти: .

Имеем: ,

.

в) Дано: , , .

Найти: .

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Учитывая решение б), имеем:

.

Задача 14.Случайная величина задана функцией распределения:

Найти плотность распределения , построить графики функций и . Вычислить для ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), моду и медиану .

Решение.Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

.

Математическое ожидание .

Т.к. непрерывная случайная величина определена только на интервале (0;2), то

.

Дисперсия:

.

Т.к. непрерывная случайная величина определена только на интервале (0;2), то

.

График функции распределения .

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).

По графику плотности распределения видно, что достигает максимума в точке , следовательно, мода .

Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, для которого

.

Геометрически вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке функция распределения равна , т.е. .

Для нахождения медианы нужно решить уравнение . Отсюда . Случайная величина определена только на интервале (0, 2), значит

.

Задача 15.Задана случайная величина . Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале ;

б) меньшее – 1;

в) большее 2;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше, чем на 1.

Решение. По условию случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением = 2. Вероятность того, что случайная величина принимает значения в интервале , равна:

( ) , где

– функция Лапласа,