Примечание к решению типовых задач. 8 страница

Определители составили: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . По их значениям рассчитаны параметры и получено уравнение тренда: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Уравнение тренда выявляет тенденциюпостепенного снижения и сохранения на неизменном уровне численности занятых. Индекс корреляции оценивает выявленную связь как тесную: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru (см. гр. 7 и 8). Здесь изменения численности занятых на 73,3% определены изменениями систематических факторов, а на 26,7% - прочими причинами. Ошибка аппроксимации очень невелика Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru =2,7% (гр. 9) и поэтому возможности дальнейшего использования модели будут зависеть от оценки корреляции отклонений.

Коэффициент корреляции отклонений (коэффициент автокорреляции) выявил их заметную связь ( Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ), которая является статистически незначимой: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru , то есть нулевая гипотеза Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru может быть принята с 5%-ой вероятностью допустить ошибку. Таким образом, имеются веские основания для использования модели равносторонней гиперболы для выполнения прогнозных расчётов.

При выполнении прогнозов на 2001, 2002, 2003 и 2004 годы подставим в уравнение прогнозные значения фактора, Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru 12, 13, 14, 15, что позволяет получить результат на уровне 65,6 – 65,4 млн. чел.: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . В данном прогнозе реализуется гипотеза о стабилизации численности занятых и её сохранении на уровне 65,4 млн. чел.

3. Рассмотрим возможность использования показательной кривой для описания тенденции и прогноза. Показательная форма тренда имеет вид Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и предполагает выполнение процедуры линеаризации исходного уравнения с целью приведения его к линейному виду. Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru В расчёте параметров полученного линейного уравнения участвуют значения Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Порядок расчёта представим в табл. 4.

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

По ним рассчитаны параметры линеаризованной функции:

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и построено уравнение: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Для получения уравнения в естественной форме выполним процедуру потенцирования результатов: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

Таблица 4.

Годы Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru
75,3 4,321 4,321 4,309 0,013 0,00017 74,3 1,0 1,4
73,8 4,301 8,603 4,291 0,010 0,00010 73,0 0,8 1,1
72,1 4,278 12,834 4,273 0,005 0,00003 71,8 0,3 0,5
70,9 4,261 17,045 4,256 0,006 0,00004 70,5 0,4 0,6
68,5 4,227 21,134 4,238 -0,011 0,00012 69,3 -0,8 1,1
66,4 4,196 25,174 4,220 -0,025 0,00063 68,0 -1,6 2,4
66,0 4,190 29,328 4,203 -0,013 0,00017 66,9 -0,9 1,3
64,7 4,170 33,358 4,185 -0,015 0,00023 65,7 -1,0 1,4
63,8 4,156 37,402 4,167 -0,011 0,00012 64,5 -0,7 1,1
64,0 4,159 41,589 4,149 0,009 0,00008 63,4 0,6 0,9
64,3 4,164 45,799 4,132 0,032 0,00102 62,3 2,0 3,0
Итого 749,8 46,422 276,587 46,422 0,0 0,00271 749,7 0,102 14,7
Средняя 68,16 4,220 0,00025 1,3
Сигма 4,01 0,0581 3,162
D 16,08 0,00337 10,00

Показательный тренд установил, что численность занятых сокращается со среднегодовым темпом, равным 0,9825 или 98,3%. За период 1990-2001 гг. численность занятых ежегодно уменьшалась в среднем на 1,7%.

В данном случае, показатели тесноты изучаемой связи рассчитываются не как обычно – на фактических и расчётных значениях результата ( Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ), а с использованием линеаризованных значений результата Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru , потому что именно для них выполняется требование МНК о наименьшей сумме квадратов отклонений. Расчёт выполнен в гр.8 и 9.

Выявлена весьма тесная зависимость численности занятых от комплекса систематических факторов: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Уравнение и его параметры статистически значимы и надёжны, т.к. Fфакт.=112, что значительно превосходит Fтабл.=5,12 (при d.f.1=1; d.f.2=11-1-1=9; α=0,05).

Средняя ошибка аппроксимации в данной задаче рассчитывается как обычно, с использованием Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru , т. к. при решении прогнозных задач производится оценка естественных, а не линеаризованных значений результата. Ошибка мала: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru =1,3% и поэтому модель может быть рекомендована для использования при прогнозировании. При этом, важно убедиться, что после выявления тренда формируются отклонения Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru = Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru , представляющие собой значения случайной переменной.

Для этого рассчитаем коэффициент автокорреляции отклонений: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Расчёт выполняется по линеаризованным значениям результата, то есть, с иcпользованием Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

Необходимая для расчёта информация представлена в табл. 5.

По аналогии с предыдущими расчётами определим коэффициент автокорреляции через определители второго порядка для двух рядов отклонений: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ;

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ;

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

Таблица 5

  Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru (Y) Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru (X) Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru
  0,013
0,010 0,013 0,00013 0,00016
0,005 0,010 0,00005 0,00011
0,006 0,005 0,00003 0,00002
-0,011 0,006 -0,00006 0,00003
-0,025 -0,011 0,00027 0,00012
-0,013 -0,025 0,00032 0,00060
-0,015 -0,013 0,00019 0,00017
-0,011 -0,015 0,00017 0,00023
0,009 -0,011 -0,00011 0,00013
0,032 0,009 0,00030 0,00009
Итого -0,013 -0,032 0,00129 0,00166
Средняя -0,0013 -0,0032
Сигма 0,01579 0,0124841
D 0,0002493 0,0001559

Отклонения от показательного тренда находятся в заметной зависимости, которая, по оценке F-критерия, является статистически значимой и надёжной: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Нулевая гипотеза о несущественной связи отклонений должна быть отвергнута с 5%-ой вероятностью ошибки. Это означает, что показательный тренд не является лучшим, т.к. не аккумулирует в себе влияния всего комплекса существенных факторов, а оставляет часть этого влияния в отклонениях от тренда. Поэтому показательный тренд не следует рассматривать как лучший.

4. Остановимся на порядке построения и использования степенной модели в решении поставленных задач. В данной модели реализуется концепция мультипликативного механизма воздействия фактора на результат: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Построению модели предшествует процедура линеаризации исходного уравнения путём логарифмирования его элементов: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . В расчёте параметров участвуют Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Необходимая для расчёта исходная и промежуточная информация представлена в табл. 6.

Расчёт определителей приводит к следующим результатам:

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ;

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ;

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

Значения параметров линеаризованного уравнения составят:

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ,

а уравнение линейное в линейной форме имеет вид:

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

Таблица 6

Годы Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru
0,000 4,321 0,000 0,000 4,346 -0,025 0,00063
0,693 4,301 0,480 2,981 4,291 0,010 0,00010
1,099 4,278 1,207 4,700 4,259 0,019 0,00036
1,386 4,261 1,922 5,907 4,236 0,025 0,00063
1,609 4,227 2,590 6,803 4,219 0,008 0,00006
1,792 4,196 3,210 7,518 4,204 -0,009 0,00008
1,946 4,190 3,787 8,153 4,192 -0,002 0,00000
2,079 4,170 4,324 8,671 4,182 -0,012 0,00014
2,197 4,156 4,828 9,131 4,172 -0,016 0,00026
2,303 4,159 5,302 9,576 4,164 -0,005 0,00003
2,398 4,164 5,750 9,984 4,156 0,007 0,00005
Итого 17,502 46,422 33,400 73,424 46,422 0,000 0,00234
Средняя 1,591 4,220 0,00021
Сигма 0,710 0,058
D 0,505 0,0034

После процедуры потенцирования получаем уравнения в естественной форме:

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru или иначе Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

В модели нашло отражение единственная тенденция устойчивого сокращения численности занятых со снижающимся темпом этого сокращения. Если использовать модель для прогноза, то это будет прогноз снижения численности занятых, но при этом, процент её (численности) сокращения год от года будет уменьшаться.

Степенная модель выявляет связь, которая оценивается как весьма тесная и статистически значимая: Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru . Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

Особо отметим, что в данном случае, так же, как и при оценке тесноты связи показательной модели, расчёты общей и остаточной дисперсий проводятся по линеаризованным значениям признака-результата, то есть по Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru и Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

Расчёт ошибки аппроксимации приводится в табл. 7. Её значение очень невелико и составляет 1,7%. При отсутствии автокорреляции в отклонениях от тренда степенная модель может использоваться для прогноза без формальных ограничений.

Таблица 7.

Годы Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru
77,2 -1,9 3,6 2,8 -0,025
73,1 0,7 0,5 1,1 0,010 -0,025 -0,00025 0,000610
70,8 1,3 1,7 2,0 0,019 0,010 0,00019 0,000101
69,2 1,7 2,9 2,6 0,025 0,019 0,00047 0,000355
67,9 0,6 0,4 0,8 0,008 0,025 0,00020 0,000617
67,0 -0,6 0,4 0,8 -0,009 0,008 -0,00007 0,000065
66,2 -0,2 0,0 0,2 -0,002 -0,009 0,00002 0,000074
65,5 -0,8 0,6 1,1 -0,012 -0,002 0,00003 0,000006
64,9 -1,1 1,2 1,6 -0,016 -0,012 0,00019 0,000139
64,3 -0,3 0,1 0,5 -0,005 -0,016 0,00008 0,000271
63,8 0,5 0,3 0,7 0,007 -0,005 -0,00004 0,000025
Итого 749,73 0,1 11,7 14,1 0,025 -0,007 0,00083 0,002265
Средняя 1,06 1,3 0,0025 -0,0007
D 0,01283 0,01503

В табл. 7 приводятся результаты проверки остатков на их автокоррелированность. В результате установлено, что в остатках существует умеренная связь, но она не является статистически значимой, то есть ряд отклонений представляют собой случайную переменную.

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru

Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru .

Следовательно, нулевая гипотеза о статистической незначимости взаимосвязи отклонений от степенного тренда должна быть принята, при том, что вероятность допустить ошибку не превысит общепринятого 5% уровня.

Следовательно, степенной тренд отражает влияние комплекса систематических факторов и после исключения этого влияния из фактических уровней в них остаются значения, случайные по своей природе. Поэтому нет формальных ограничений на использование степенной модели в прогнозных расчётах.

5.Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка и оценим возможность её использования для выполнения прогнозов.

Значения параметров рассчитаем, используя определители третьего порядка, формулы которых приведены в решении типовой задачи №1. Необходимые данные представлены в табл. 8. В результате получены следующие значения определителей системы нормальных уравнений:

Таблица 8

Годы Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 8 страница - student2.ru
75,3 75,3 75,3 75,9 -0,6 0,36 0,9
73,8 147,6 295,2 73,7 0,1 0,01 0,1
72,1 216,3 648,9 71,7 0,4 0,16 0,6
70,9 283,6 1134,4 69,9 1,0 1,00 1,4
68,5 342,5 1712,5 68,4 0,1 0,01 0,2
66,4 398,4 2390,4 67,0 -0,6 0,36 0,9
66,0 462,0 65,9 0,1 0,01 0,1
64,7 517,6 4140,8 65,1 -0,4 0,16 0,5
63,8 574,2 5167,8 64,4 -0,6 0,36 0,9
64,0 640,0 64,0 0,0 0,00 0,0
64,3 707,3 7780,3 63,8 0,5 0,25 0,8
Итого 749,8 4364,8 32979,6 749,8 0,0 2,68 6,5
Средняя 68,2 0,24 0,6
Сигма 4,01 3,16
D 16,08 10,0

Наши рекомендации