Теперь вернемся к процессам рождения (размножения) и гибели 3 страница

Выберем теперь произвольный интервал , содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству . Поэтому, если принадлежит интервалу , то

принадлежит интервалу , и наоборот. Значит: . Так как равномерно распределена в , то

, а это как раз и означает, что случайная величина , являющаяся корнем уравнения и имеет плотность вероятностей .

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) в СМО называется такой поток заявок, когда промежуток времени между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале с плотностью

(141)

Вычислим математическое ожидание: (142)

После интегрирования по частям, получим:

. (143)

Параметр есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша мы получим из уравнения, которое в данном случае запишется так: . (144)

Вычислив интеграл, стоящий слева, мы получим соотношение . Отсюда, выражая , получим:

(145)

Так как величина распределена также как и , следовательно, формулу можно записать в виде:

(146)

Пусть исследуемое предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход информации поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры такие:

Время обслуживания заявок тогда имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим наблюдениям закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 15. – Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок
Время обработки, мин	0–5	5–10	10–15	15–20	20–25	25–30	30–35	35–40

Нами выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости качественно проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, которая обратна выборочной средней:

(148)

3) Найти нужные вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

(149)

4) Потом вычислить теоретические частоты:

, (150)

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты можно с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S – число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 16. – Показывает группировку заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Количество заявок
Время обработки, мин	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5

Н

Теперь найдем выборочную среднюю:

Рисунок 104.

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную . Тогда получим:

( ) (151)

3) Теперь найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

(152)

Для первого интервала:

(153)

Для второго интервала:

(154)

Для третьего интервала:

(155)

Для четвертого интервала:

(156)

Для пятого интервала:

(157)

Для шестого интервала:

(158)

Для седьмого интервала:

(159)

Для восьмого интервала:

(160)

4) Вычислим теоретические частоты:

(161)

Эти результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого надо вычислить разности , их квадраты, затем отношения . (162)

Суммируя значения последнего столбца, находим нужное нам наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим эту критическую точку

Таблица 17. – Результаты вычислений следующие:

i
		0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
		0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
		0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
		0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
		0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
		0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
		0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
		0,027	3,294	0,706	0,498	0,151

Так как , то у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений вполне согласуются с этой гипотезой.

Очевидно, что данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.

Граф данной системы:

Рисунок 105. – граф состояний исследуемой СМО

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то определенно существует предельное распределение вероятностей состояний. Как мы знаем стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.

(163)

Тогда для состояния S₀:

(164)

Следовательно:

(165)

Тогда для состояния S₁:

(166)

Следовательно:

(167)

С учетом того, что :

(168)

(169)

Аналогичным образом получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате чего получим систему уравнений:

Рисунок 106.

Тогда решение этой системы будет иметь вид:

; ; ; ; ;

; .

Рисунок 107.

Или,

; ; ; ; ; ;

.

Рисунок 108.

Тогда коэффициент загруженности СМО:

Рисунок 109.

С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:

Рисунок 110.

Наиболее вероятные состояния – оба канала СМО заняты и также заняты все места в очереди.

Тогда вероятность образования очереди:

(170)

Отказ в обслуживании заявки происходит тогда, когда все m мест в очереди заняты, то есть:

(171)

Тогда относительная пропускная способность равна:

(172)

Отсюда вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529

Следовательно, абсолютная пропускная способность:

(173)

СМО обслуживает в среднем 0,13225 заявок в минуту.

Тогда среднее число заявок, находящихся в очереди будет равно:

(174)

Среднее число заявок в очереди очень близко к максимальной длине очереди.

Среднее число заявок, обслуживаемых в нашем СМО, может быть записано в виде:

(175)

Тогда очевидно, что в среднем все каналы СМО постоянно заняты.

А среднее число заявок, находящихся в СМО:

(176)

Для открытых СМО будут справедливы формулы Литтла:

Тогда среднее время пребывания заявки с СМО:

(177)

А среднее время пребывания заявки в очереди:

(178)

Скорее всего, наиболее вероятное состояние данной СМО – занятость всех каналов и мест в очереди. Очевидно, что приблизительно половина всех поступающих заявок покидают СМО необслуженными. Приблизительно 66,5% времени ожидания падает на ожидание в очереди. Оба канала всегда заняты. Все это говорит о том, что данная схема СМО может быть признана полностью неудовлетворительной.

Чтобы понизить загрузку каналов, сократить время ожидания в очереди и снизить вероятность отказа необходимо увеличить число каналов и ввести систему приоритетов для заявок. Число каналов будет целесообразно увеличить примерно до 4. Также желательно сменить дисциплину обслуживания с FIFO на систему с приоритетами. Все заявки тогда будут иметь принадлежность к одному из двух приоритетных классов. Заявки I класса имеют относительный приоритет по отношению к заявкам II класса. Для расчета основных показателей такой видоизмененной СМО целесообразно применить какой-либо из методов имитационного моделирования.

Пользователю при работе с программой на компьютере необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает сгенерированные случайные числа, таким образом, пользователь получает последовательность временных интервалов , распределенных показательно. После чего отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее приоритету. За то же время происходит перерасчет очереди и каналов. Затем эта операция будет повторяется до окончания времени модуляции, задаваемого изначально. В исзодном теле программы присутствуют счетчики, на основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для увеличения точности было задано несколько испытаний, тогда в качестве конечных результатов принимается оценка за серию опытов. Такие программы достаточно универсальны, с их помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности работы алгоритма, в него водят такжк исходные данные классической СМО, изложенная выше. Программы моделируют результаты близкий к тому, который получаются с помощью методов теории массового обслуживания. Погрешность же возникающая в ходе имитационного моделирования, может быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний. Результаты, полученные с помощью программ для СМО с двумя приоритетными классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих изменений.

Высший приоритет присвавается более «быстрым» заявкам, что позволяет быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что «долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ. Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или иного типа заявок для СМО.

2.8.1. Понятие и сущность сетевого планирования и управления.

Методы сетевого планирования и управления (СПУ), разработанные в начале 50-х годов, широко и успешно применяются для оптимизации планирования и управления сложными взаимосвязанными и разветвленными комплексами работ, требующими участия большого числа исполнителей и затрат ограниченных ресурсов.

Все началось в 1956 году, когда М. Уолкер из фирмы Дюпон, исследуя возможности использования более эффективного использования принадлежащей фирме вычислительной машины Univac, обьеденил свои усилия с Д. Келли из группы планирования капитального строительства. В результате был создан так называемый Метод Критического Пути – МКП (или CPM – Critical Path Method).

Параллельно и независимо от них в военно-морских силах США был создан метод анализа и оценки программ PERT (Program Evaluation and Review Technique). Этот метод был разработан корпорацией Локхид при планировании и управлении разработкой ракетной системы Поларис, которая объединяла около 3800 основных подрядчиков и 60000 операций. В результате применения этого метода все работы были закончены на два года раньше срока, а метод был засекречен на уровне военной тайны США.

Конечно в настоящее время для оптимизации сложных сетей, состоящих из нескольких сотен или тысяч работ, вместо ручного счета применяется типовые макеты прикладных программ по СПУ (сетевое планирование и управление), имеющиеся в составе программного и математического обеспечения вычислительной техники.

Основными и исходными понятиями сетевых моделей являются понятия - события и работы.

На графике отражаются «работы» и «события». Каждое событие отражает т завершение или начало работы, а работа означает действие, которое нужно совершить, чтобы перейти от предшествующего события к последующему. События на графике обозначаются кружками, а работы — стрелками, показывающими связь между событиями (возможен, но редко и другой вариант: работы изображаются кружками, а связи между ними стрелками). Работа должна быть конкретно определена, четко описана и иметь ответственного исполнителя, продолжительность её измеряется количеством времени, а также работа связана с использованием ресурсов. Временные оценки даются экспертами или ответственными исполнителями соответствующих работ. Все работы в графике ведут к конечному событию — цели планирования откуда не выходит никаких работ.

Таким образом - работа - это некоторый процесс, приводящий к достижению опреде-ленного результата и требующий затрат каких-либо ресурсов, и имеет протяженность во времени.

По своей физической природе любые работы можно рассматривать как:

- действие: например - изготовление деталей, заливка фундамента, составление заявки на материа­лы, наблюдение и изучение конъюнктуры рынка и т.д.;

- процесс: например - старение отливок, выдерживание вина в бочках, травление плат и т.д.;

- ожидание: например - ожидание поставки комплектующих, прослеживание детали в очереди к станку, ожидание результатов проверок и тому подобное.

По количеству затрачиваемого времени работа, делится на:

- действительную, т.е. требующей затрат времени;

- фиктивную, не требующей затрат времени и представляющей связь

между какими-либо работами и технологически необходимой: например - передача измененных чертежей от конструкторов к технологам, детали с одного рабочего места на другое, сдача отчета в налоговую инспекцию или отчета о технико-экономических показателях работы цеха вышестоящему подразделению.

Событие - момент времени, когда полностью завершаются одни работы и начина­ются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и в отличие от работ не имеет протяженности во времени. Например, фундамент залит бетоном, старение отливок завершено, комплектующие поставлены, отчеты сданы и так далее.

Заданный комплекс работ упорядочивается в их логической последовательности с выделением различных групп работ, которые могут и должны выполняться параллельно. Для таких групп работ могут составляться частные сетевые графики, которые затем обьединяются в единый сводный сетевой график. В целях уменьшения общего времени для каждой работы проверяется возможность переноса ее начала ближе к исходному, а конца ближе к завершающему событиям сетевого графика и при наличии такой возможности перестроить сетевой график.

Таким образом, начало, и окончание любой работы отражаются парой событий, которые называются начальным и конечнымсобытиями. Поэтому для идентификации конкретной работы используют код работы (i,j), состоящий из номеров начального (i-ro) и конечного (j-го) событий, например (2,4) или 3 – 8 или 9 , 10 или работа i,j

На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий

изображаются с помощью сетевого графика, где работы изображаются

стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Работы,

выходящие из некоторого события не могут начаться, пока не будут завершены абсолютно все операции, входящие в это событие.

Рисунок 111.

Событие, не имеющее предшествующих ему событий, то есть с которого начинается проект, называют исходнымсобытием или истоком сетевой модели. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется за­вершающимили стоком сети.

Рисунок 112.

Итак при построении сетевого графика необходимо следовать следующим правилам:

■длина стрелки никак не зависит от времени выполнения работы;

Рисунок 113

§ стрелка совсем не обязательно должна представлять прямолинейный отрезок;

Рисунок 114.

■ для действительных работ обычно используются сплошные, а для фиктивных пунктирные стрелки;

Рисунок 115.

§ каждая операция должна быть представлена обязательно только одной стрелкой;

§ категорически не должно быть параллельных работ между одними и теми же событиями, для избежания такой ситуации используют фиктивные работы;