Определение основной тенденции (тренда) рядов динамики

Важнейшей задачей статистической характеристики динамики общественных явлений является выявление основной тенденции развития. Это задача имеет множество методов решения. Важнейшие из них: укрупнение интервалов, скользящие средние, аналитическое выравнивание.

Для выявления тенденции изменения выручки в 2011 году используем скользящие средние. Рассчитаем 3-членные скользящие средние:

(млн.рублей); (млн.рублей);

(млн.рублей); (млн.рублей).

Аналогично рассчитываем остальные скользящие средние и результаты расчётов заносим в таблицу 4.

Выручка предприятия от реализации продукции в 2011 г., млн. рублей

Таблица 4

Месяцы	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Авг.	Сент.	Окт.	Нояб.	Дек.
Фактические уровни	8,2	10,9	11,8	11,6	12,9	14,2	13,9	14,0	15,1	16,8	17,4	15,4
Скользящие средние	-	10,3	11,4	12,1	12,9	13,7	14,0	14,3	15,3	16,4	16,5	-

Аналитическое сглаживание служит основой для прогнозирования развития явления.

Для аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой используют следующее уравнение

. (12)

Способ наименьших квадратов даёт систему нормальных уравнений для нахождения параметров a₀ и a₁:

, (13)

где y - эмпирические (исходные) уровни ряда динамики;

n - количество уровней ряда; t - время.

Для упрощения обозначим t так, чтобы , тогда получим из системы:

; (14)

(15)

Выручка предприятия от реализации продукции в 2011 г., млн. рублей

Таблица 5

Месяцы	Эмпирические уровни, yi	Значение времени, ti	ti2	yiti	Теоретические уровни, yt
Январь	8,2	-11		-90,2	9,8
Февраль	10,9	-9		-98,1	10,48
Март	11,8	-7		-82,6	11,15
Апрель	11,6	-5		-58,0	11,83
Май	12,9	-3		-38,7	12,5
Июнь	14,2	-1		-14,2	13,18
Июль	13,9			13,9	13,86
Авгeст	14,0			42,0	14,53
Сентябрь	15,1			75,5	15,21
Октябрь	16,8			117,6	15,88
Ноябрь	17,4			156,6	16,56
Декабрь	15,4			169,4	17,24
ИТОГО	162,2			193,2	162,22

Втаблице5приведены расчёты ,используя которые рассчитаем параметры уравнения тренда:

= = 13,517

= = 0,338

Аналитическое выражение тренда будет выглядеть следующим образом:

Подставляя в это уравнение принятые значения t, вычислим (см. табл. 5). Для проверки значений используется формула:

(16)

В нашем примере .

В качестве показателя устойчивости основной тенденции (тренда) можно использовать коэффициент корреляции рангов Ч. Спирмэна(r_s):

6∑∆²_i

r_s= 1- --------- , (17)

n³ – n

где n – число уровней;

∆_i - разность рангов уровней и номеров периодов времени.

Результаты расчётов приведены в таблице 6.

Выручка предприятия от реализации продукции в 2011 г., млн. рублей

Таблица 6

Месяцы	Уровни, yi	Ранг периодов времени, Рх	Ранг уровней, Ру	Разность рангов, ∆i= Рх-Ру	Квадрат разности рангов, ∆2i
Январь	8,2				-
Февраль	10,9				-
Март	11,8			-1
Апрель	11,6
Май	12,9				-
Июнь	14,2			-2
Июль	13,9
Авгeст	14,0
Сентябрь	15,1
Октябрь	16,8			-1
Ноябрь	17,4			-1
Декабрь	15,4
ИТОГО	162,2	-	-	-

6 х 14

r_s= 1- ------------- = 1 – 0,049 = 0,95

1728-12

Полученное значение коэффициента говорит об устойчивой тенденции увеличения выручки предприятия в 2011 году.

Анализ сезонных колебаний

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (I_s). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней. Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределённые по месяцам или кварталам. Данные за несколько лет (обычно не менее трёх) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по фактическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца определяется средняя величина уровня, в нашем примере в таблице 7, за шесть лет ( у_i ), затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда ( у ) и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, то есть:

y_i (18)

I_si = ^{--------- х 100%}

y