В аддитивной модели, тыс. чел.

t yt St T + E = = yt – St T T + S E = = yt – (T + S) E^2
846,88 –133,07 979,95 925,60 792,53 54,35 2953,67
1076,22 177,96 898,26 978,12 1156,08 –79,86 6377,07
1133,13 187,08 946,05 1027,48 1214,56 –81,43 6630,68
790,92 –231,97 1022,89 1073,69 841,72 –50,80 2580,59
1014,24 –133,07 1147,32 1116,75 983,68 30,56 934,02
1416,31 177,96 1238,35 1156,65 1334,61 81,70 6674,08
1543,72 187,08 1356,64 1193,41 1380,49 163,23 2 6644,08
1065,47 –231,97 1297,44 1227,01 995,04 70,43 4959,98
1110,89 –133,07 1243,97 1257,46 1124,39 –13,50 182,36
1438,42 177,96 1260,46 1284,76 1462,72 –24,30 590,65
1405,85 187,08 1218,76 1308,91 1495,99 –90,14 8125,34
1061,41 –231,97 1293,38 1329,91 1097,94 –36,53 1334,16
1175,26 –133,07 1308,33 1347,75 1214,68 –39,42 1553,92
1485,96 177,96 1307,99 1362,44 1540,40 –54,44 2963,89
1410,58 187,08 1223,5 1373,98 1561,06 –150,48 2 2644,68
1371,04 –231,97 1603,01 1382,37 1150,40 220,64 4 8682,23

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространённых способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчёт некоторых основных показателей.

Выбор наилучшего уравнения тренда можно осуществить путём перебора основных форм тренда, расчёта по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru и выбора уравнения тренда с максимальным значением этого коэффициента.

Для этого необходимо в среде MS Excel рассчитать уравнение линейного тренда для всех его форм. Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, ..., n, а в качестве зависимой перемен­ной – выровненный тренд (Т + Е). Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Чтобы построить линейный тренд, необходимо воспользоваться специальной функцией MS Excel «ЛИНЕЙН» (см. рис. 7.3). Выделяем ячейку В20, заходим в «Мастер функций» и выбираем «ЛИНЕЙН». В появившемся диалоговом окне напротив строки «Известные значения у» записываем соответствующие значения Т + Е, напротив строки «известные значения х» – номер квартала. Чтобы программа вывела дополнительную статистику по тренду, напротив строки «Статистика» необходимо набрать – ИСТИНА, затем нажать ОК. Далее выделить на листе MS Excel диапазон В20:С24, нажать клавишу F2, затем одновременно нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER (рис. 7.3).

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru

Рис. 7.3. Построение линейного тренда

Таким же образом рассчитать значения для всех форм тренда. Исключение составляет функция экспоненциального тренда. Для определения соответствующего ей коэффициента детерминации необходимо воспользоваться функцией «ЛГРФПРИБЛ». В остальных случаях действовать аналогично для функции «ЛИНЕЙН».

Результаты расчетов приведены на рис. 7.4.

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru

Рис. 7.4. Рассчитанные формы тренда с дополнительной статистикой

Таблица 7.5

Скорректированный коэффициент детерминации

По основным формам тренда

Форма тренда В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru
Линейный 0,6661
Экспотенциальный 0,6762
Степенная функция 0,464
Логарифмическая 0,68
Параболическая 0,6961

В нашем случае скорректированный коэффициент детерминации принимает максимальное значение по параболическому уравнению тренда, в котором свободным членом b будет число, находящееся в первой строке под данными количества перевезенных пассажиров железнодорожным транспортом, первым зависимым элементом m1 – среднее значение, расположенное под порядковым номером квартала, а вторым зависимым элементом m2 – первое значение строки, находящееся под квадратичными величинами номера квартала. Номер квартала t в этом случае является множителем зависимого числа. Таким образом, уравнение тренда имеет следующий вид:

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru . (7.2)

Подставив в это уравнение значения t = 1, …, 16, найдём уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 7.4). График уравнения тренда приведён на рис. 7.5.

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru

Рис. 7.5. Количество перевезенных пассажиров (фактические, выравненные и полученные по аддитивной модели)

Шаг 5. Найдём значения уровня ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т + S) представлены на рис. 7.5.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчёт ошибки производится по формуле E = Y – (T + S). Это абсолютная ошибка.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок:

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru , (7.3)

где В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru – среднее арифметическое количества перевезенных пассажиров.

В нашем случае коэффициент равен 0,696. Это означает, что аддитивная модель на 69,6 % объясняет общую вариацию количества перевезенных пассажиров по кварталам за 4 года.

Прогнозирование по аддитивной модели осуществляется в следующем порядке. Предположим, что требуется дать прогноз потребления электроэнергии в течение ближайшего следующего года.

Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением Y = T + S + E есть сумма трендовой и сезонной компонент: Ft = Tt + Si.

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда, а значения сезонной компоненты были рассчитаны на начальном этапе.

Таким образом, прогнозные значения перевезённых пассажиров будут иметь следующий вид:

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru ;

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru ;

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru ;

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru .

Значения сезонной компоненты:

S1 = –133,07 (I квартал);

S2 = 177,96 (II квартал);

S3 = 187,08 (III квартал);

S4 = –231,97 (IV квартал).

Таким образом:

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru ;

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru ;

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru ;

В аддитивной модели, тыс. чел. - student2.ru .

F = 1254,54 + 1567,65 + 1575,7 + 1152,43 = 5550,32.

7.3. Исходные данные

Необходимо рассчитать тренд и спрогнозировать количество перевезенных пассажиров филиалом ОАО «ФПК» на основе наблюдений в течение 10 лет и сделать выводы по результатам табл. 7.5.

Таблица 7.5

Наши рекомендации