Модель поставок со скидкой

Рассмотрим ситуацию, описываемую в целом основной моделью, но с одной особенностью, которая состоит в том, что товар можно поста­влять по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно велик. Иными словами, если размер партии q не менее заданного чи­сла q₀, товар поставляется по цене с₀, где с₀ < с[3].

Функция общих издержек C(q) задается в таком случае следую­щим образом:

Нетрудно видеть, что функция C(q) в точке q = q₀ разрывна. Обе функции

и

имеют минимум в точке, где

т. е. в точке

Для выяснения вопроса о том, какой размер партии оптимален, следует сравнить значения функции C(q) в точках q и qo, и та точка, где функция C{q) принимает меньшее значение, будет оптимальным размером партии q* в модели поставок со скидкой (см. рис. 6, 7).

Рис.6 Рис. 7

Замечание. Может случиться так, что C(q) = C(qo). Тогда, разуме­ется, q* = q = q₀.

Пример. Предположим, что интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные из­держки равны 10 УЕ, издержки на хранение — 4 УЕ. Цена единицы

товара равна 5 УЕ, однако, если размер партии не менее 500 единиц, цена снижается до 4 УЕ. Найти оптимальный размер партии[4].

Решение. Здесь

g = 1000, b = 10, h = 4, s = 5, q₀ = 500, c₀ = 4.

Общие издержки определяются функцией C(q):

Найдем точку локального минимума. Имеем:

откуда

Поскольку q < 500, то

В точке q — qo получаем

Таким образом,

q* = 500.

Решение задач с использованием моделей управления запасами

Решим задачу с применением основной модели управления запасами.

Пример 1.Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организационные издержки для од­ной партии составляют 20 тыс. р. Цена единицы товара рав­на 1 тыс. р., а издержки содержания телевизоров составляют 0,1 тыс. р. за один телевизор в год.

Найти оптимальный размер партии, число поставок и про­должительность цикла.

Решение.

По условию задачи g= 2000, b= 20, s = 1, h = 0,1.

Общие издержки в течение года:

Ответ. Оптимальный размер партии составляет 894 те­левизора, число поставок- 2,24, продолжительность цикла-Т 163 дня.

Рассмотрим задачу с применением модели производствен­ных поставок.

Пример 2.Интенсивность равномерного спроса выпускаемых фирмой видеомагнитофонов составляет 2000 шт. в год. Органи­зационные издержки равны 20 тыс. р. Цена видеомагнитофона составляет 1 тыс. р., издержки хранения равны 0,1 тыс. р. в расчете на один видеомагнитофон в год. Запасы на складе по­полняются со скоростью 4000 видеомагнитофонов в год. Произ­водственная линия начинает действовать, как только уровень запасов на складе становится равным нулю, и продолжает ра­боту до тех пор, пока не будет произведено q видеомагнитофо­нов.

Найти размер партии, который минимизирует все затраты. Определить число поставок в течение года, время, в течение которого продолжается поставка, продолжительность цикла, максимальный уровень запасов и средний уровень запасов при условии, что размер поставки оптимален.

Решение.. Данная модель задачи является моделью произ­водственных поставок со следующими параметрами:

g = 2000, b = 20, h = 0,1, s = 1, р = 4000. График изменения запасов представлен на рис.6.

Рис.8

Число партий в течение года:

n = g/q = 2000/g.

Продолжительность поставки:

t = q/p = g/4000.

Продолжительность цикла:

L = 1/n = q/g = g/2000.

Максимальный уровень запасов:

RT = {p- g)t = 2000 * g/4000 = q/2.

Средний уровень запасов:

RТ/2 = g/4.

Уравнение издержек:

С = C₁ + С₂ + С₃= bn + sg + qh/4.

Решив уравнение dC/dq = 0, получим

=1265 видеомагнитофонов.

Найдем оптимальные значения поставок, продолжитель­ность поставки, продолжительность цикла:

Ответ. За каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 видеомагнитофонов, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки — 115 дней, про­должительность цикла — 230 дней.

[1] Красс М.С., Чупрынов Б. П. ,Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. –«Дело», Москва 2002г., стр. 583.

[2] Красс М.С., Чупрынов Б. П. ,Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. –«Дело», Москва 2002г., стр.587.

[3] Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в Управлении.- «Дело» Москва 2000г., стр 142.

[4] Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в Управлении.,- «Дело» Москва 2000г., стр 143.