Приложение А (справочное)

А.1 Формулы для оценивания погрешности эталонов

А.1.1 Воспроизводимая единица величины в большинстве случаев зависит от других измеряемых входных величин

, (A.1)

где - непосредственно измеряемые входные величины, влияющие на размер единицы эталона;

- число этих величин;

- вид функциональной зависимости.

П р и м е ч а н и е - Входные величины также могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические погрешности, поэтому функциональная зависимость может быть сложной и определяемой экспериментально.

А.1.2 Многократные измерения входных величин , , ..., ; ...; , , ..., ; ...; , , ... , ( 1, 2, ..., ) позволяют вычислить оценки входных величин, равные

, (А.2)

где - оценка -й входной величины;

- I-й результат измерений -й входной величины;

- число измерений -й входной величины.

А.1.3 Воспроизводимую единицу величины вычисляют как функцию оценок входных величин , ,..., после внесения в показания средств измерений поправок на все известные источники погрешностей, имеющих систематический характер

. (А.3)

ГОСТ8.381-2009

А.1.4 Оценивание случайной составляющей погрешности

А.1.4.1 Средние квадратические отклонения вычисляют по формулам:

- для ряда результатов измерений входных величин

, (А.4)

- для оценок измеряемых входных величин

. (А.5)

А.1.4.2 В случае некоррелированных оценок , , ..., среднее квадратическое отклонение воспроизводимой единицы величины вычисляют по формуле

. (A.6)

А.1.4.3 В случае коррелированных оценок , , ..., среднее квадратическое отклонение оценки воспроизводимой единицы величины вычисляют по формуле

, (A.7)

где - коэффициент корреляции.

А.1.4.4 Коэффициент корреляции для согласованных пар измерений входных величин (I=1, 2, ..., ) вычисляют по формуле

, (A.8)

где - число согласованных пар результатов измерений.

ГОСТ8.381-2009

А.1.5 Оценивание неисключенной систематической погрешности

Границу (доверительную границу) НСП оценки воспроизводимой единицы величины вычисляют в зависимости от числа оценок входных величин , , ..., , содержащих НСП, и в зависимости от того, представлены ли НСП границами или доверительными границами.

А.1.5.1 Если только одна оценка входной величины из всех оценок входных величин , , ..., содержит НСП, представленную границами , границу НСП воспроизводимой единицы величины оценивают по формуле

. (А.9)

А.1.5.2 Если оценки входных величин , , ..., содержат НСП, каждая из которых представлена границами , границу (доверительную границу) , ( , ) НСП воспроизводимой единицы величины оценивают, соответственно, по формулам

, если 3; (A.10)

, если 4, (А.11)

где - коэффициент, определяемый выбранной доверительной вероятностью , числом составляющих НСП и их соотношением.

А.1.5.3 Значение коэффициента для доверительной вероятности , равной 0,99, при числе НСП больше четырех ( 4) принимают равным 1,4 ( 1,4), при меньшем числе НСП ( 4) значение коэффициента определяют по графику, приведенному в ГОСТ 8.207.

Для доверительной вероятности , равной 0,95, значение коэффициента равно 1,1 ( 1,1).

А.1.5.4 Если оценки I входных величин содержат НСП, представленные границами , а оценки m-I входных величин содержат НСП, представленные доверительными границами, то доверительные границы НСП воспроизводимой

ГОСТ8.381-2009

единицы величины оценивают по формуле

, (А.12)

где I - число входных величин, НСП которых представлена границами;

- доверительная граница НСП оценки -й входной величины, вычисленная для доверительной вероятности ;

, - коэффициенты, соответствующие доверительным вероятностям и .

А.1.6 Оценивание доверительных границ суммарной погрешности эталона

А.1.6.1 Доверительные границы суммарной погрешности воспроизводимой единицы величины вычисляют по формуле

, (A.13)

где - коэффициент, определяемый доверительной вероятностью и отношением случайных погрешностей и НСП;

- суммарное СКО воспроизводимой единицы величины, обусловленное воздействием случайных погрешностей и НСП.

А.1.6.2 Значение коэффициента вычисляют по формуле

, (A.14)

где - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности и эффективному числу степеней свободы , вычисляемому по формуле

;

вычисляют по формуле (А.9) или (А.10), или (А.11), или (А.12) в зависимости

ГОСТ8.381-2009

от числа составляющих и формы представления НСП оценок входных величин;

- среднее квадратическое отклонение НСП воспроизводимой единицы величины.

А.1.6.3 Среднее квадратическое отклонение НСП вычисляют, соответственно, по формулам

, (А.15)

если составляющие НСП представлены границами по формуле (А.9) или (А.10);

, (А.16)

если составляющие НСП представлены доверительными границами по формуле (А.11);

. (А.17)

если часть составляющих НСП представлена границами, а часть составляющих НСП - доверительными границами по формуле (А.12),

где - коэффициент, соответствующий доверительной вероятности при вычислении доверительных границ НСП.

А.1.6.4 Суммарное СКО воспроизводимой единицы величины , обусловленное воздействием случайных погрешностей и НСП, вычисляют по формуле

. (А.18)

ГОСТ8.381-2009

А.1.7 Значения величин, приписываемых групповому эталону

А.1.7.1 Если различия СКО результатов сличений мер, а также их НСП незначительны, среднее арифметическое значение результатов сличений мер , входящих в состав группового эталона, вычисляют по формуле

, (А.19)

где - результат сличений -й меры группового эталона;

- число мер, входящих в состав группового эталона.

А.1.7.2 При значительном различии СКО результатов сличений мер и пренебрежимо малом различии их НСП среднее взвешенное значение результатов сличений мер , входящих в состав группового эталона, вычисляют по формуле

, (А.20)

где - СКО результата сличений -й меры группового эталона.

А.1.7.3 Если различия СКО, а также НСП результатов сличений мер, входящих в состав группового эталона, существенны, то среднее взвешенное значение результатов сличений мер вычисляют по формуле

, (А.21)

где - СКО результата сличений -й меры группового эталона;

- СКО НСП результата сличений -й меры группового эталона.

ГОСТ8.381-2009

А.1.8 Оценивание погрешностей группового эталона

А.1.8.1 Если за значение величины, приписываемое групповому эталону, принимают среднее арифметическое значение мер, входящих в состав группового эталона, то СКО группового эталона вычисляют по формуле

, (А.22)

где - результат сличений -й меры группового эталона.

А.1.8.2 Если за значение величины, приписываемое групповому эталону, принимают среднее взвешенное значение мер, входящих в его состав, то СКО группового эталона вычисляют по следующим формулам.

Если различия СКО результатов сличений мер существенны, а различия НСП мер пренебрежимо малы, то формула для расчета имеет вид

. (А.23)

Если различия СКО результатов сличений мер, а также их НСП существенны, то СКО группового эталона вычисляют по формуле

, (А.24)

где - СКО НСП результата сличений -й меры группового эталона.

А.2 Оценивание погрешностей воспроизведения производной единицы величины эталоном

А.2.1 Воспроизводимая производная единица величины зависит от единиц , , ..., , воспроизводимых эталонами, входящими в состав эталона производной единицы величины

. (A.25)

ГОСТ8.381-2009

А.2.2 Воспроизводимая единица величины каждого из эталонов, входящих в состав эталона производной единицы, может зависеть от величин, оказывающих влияние на воспроизводимую единицу и тем самым на производную единицу.

А.2.3 Погрешность воспроизведения производной единицы величины оценивают в соответствии с А.1.4-А.1.6, где вместо погрешностей оценок входных величин , , ..., будут погрешности воспроизводимой производной единицы величины , , ..., .

А.3 Формулы для оценивания неопределенности измерений при воспроизведении единицы величины эталоном

А.3.1 Воспроизводимая единица величины в большинстве случаев зависит от других измеряемых входных величин , , ..., в соответствии с А.1.1. Воспроизводимую эталоном единицу величины вычисляют в соответствии с А.1.3.

А.3.2 Стандартная неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины эталоном, оцениваемая по типу А

Стандартную неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины эталоном, оцениваемую по типу А, вычисляют по формуле

, (А.26)

где - -й результат измерений -й входной величины;

- число результатов измерений;

- среднее арифметическое значение результатов измерений -й входной величины.

Примечание - При многократных измерениях должна быть обеспечена взаимная независимость отдельных измерений.

А.3.3 Стандартная неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины эталоном, оцениваемая по типу В,

А.3.3.1 Исходные данные для вычисления:

- данные об измерении величин, влияющих на результат измерений входных величин, и данные о зависимости результатов измерений входных величин;
ГОСТ8.381-2009

- данные, полученные в результате опыта о поведении и свойствах приборов и материалов;

- данные о калибровке, поверке, сведения изготовителя о приборе и другие сведения о приборе;

- неопределенности справочных данных, используемых констант.

А.3.3.2 Неопределенности для указанных в А.3.3.1 исходных данных возможно представить только границами (нижней и верхней ), в которых находятся значения измеряемой величины. В случае отсутствия любой информации о значении величины предполагают равномерное распределение возможных ее значений внутри указанного интервала. Например, для -й измеряемой величины нижняя и верхняя границы соответственно равны и .

Стандартную неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины эталоном, оцениваемую по типу В, в подобной ситуации вычисляют по формуле

, где . (А.27)

А.3.3.3 Если интервал от до , несимметричен, то стандартную неопределенность измерений, оцениваемую по типу В, вычисляют по формуле

. (A.28)

А.3.3.4 Суммарную стандартную неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины в случае некоррелированных оценок , , ..., вычисляют по формуле

, (A.29)

где - стандартная неопределенность измерений -й входной величины, вычисленная по типу А или по типу В.

А.3.3.5 Суммарную стандартную неопределенность измерений в случае коррелированных оценок , , ..., вычисляют по формуле

ГОСТ8.381-2009

, (А.30)

где - стандартная неопределенность измерений -й входной величины, вычисленная по типу А или по типу В.

Коэффициент корреляции вычисляют в соответствии с А.1.4.4 по формуле (А.8).

А.3.3.6 Расширенную неопределенность измерений c выбранным уровнем доверия вычисляют по формуле

, (A.31)

где - коэффициент охвата, соответствующий выбранному уровню значимости ;

- суммарная стандартная неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины, вычисленная в соответствии с А.3.3.4 или А.3.3.5.

А.3.3.7 Выбор коэффициента охвата требует полного знания распределения вероятностей, которое характеризуется результатом измерений и его суммарной стандартной неопределенностью измерений .

А.3.3.8 В общем случае коэффициент охвата выбирают в соответствии с формулой

, (A.32)

где - квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы и уровнем доверия .

Число степеней свободы определяют по формуле

, (А.33)

где - число степеней свободы:
ГОСТ8.381-2009

для вычисления неопределенностей измерений по типу А;

для вычисления неопределенностей измерений по типу В.

А.3.3.9 В случае когда распределение результатов измерений не противоречит нормальному, для расчета коэффициента охвата используют квантили нормального распределения:

Расширенную неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины эталона для уровня доверия 0,99 вычисляют по формуле

. (А.34)

Расширенную неопределенность измерений при воспроизведении единицы величины эталона для уровня доверия 0,95 вычисляют по формуле

. (А.35)

А.4 Значение величины, приписываемое групповому эталону

А.4.1 Если различия стандартных неопределенностей типа А результатов сличений мер, а также их стандартных неопределенностей типа В несущественны, за значение величины, приписываемое групповому эталону, принимают среднее арифметическое значение результатов сличений мер , которое вычисляют по формуле

, (А.36)

где - результат сличений -й меры группового эталона;

- число мер, входящих в состав группового эталона.

А.4.2 При значительном различии стандартных неопределенностей типа А результатов сличений мер и пренебрежимо малом различии их стандартных неопределенностей типа В среднее взвешенное значение результатов сличений мер , входящих в состав группового эталона, вычисляют по формуле

ГОСТ8.381-2009

, (А.37)

где - стандартная неопределенность типа А результата сличений -й меры группового эталона.

А.4.3 Если различия стандартных неопределенностей типа А результатов сличений мер, а также их стандартных неопределенностей типа В существенны, за значение величины, приписанное групповому эталону, принимают среднее взвешенное значение результатов сличений мер , которое вычисляют по формуле

, (А.38)

где - суммарное стандартное отклонение -й меры группового эталона.

А.4.4 Если за значение величины, приписываемое групповому эталону, принимают среднее арифметическое значение мер, входящих в состав группового эталона, то стандартную неопределенность типа А результатов сличений мер группового эталона вычисляют по формуле

, (А.39)

где - результат сличений -й меры группового эталона.

А.4.5 Если за значение величины, приписываемое групповому эталону, принимают среднее взвешенное значение мер, входящих в его состав, то стандартную неопределенность группового эталона типа А вычисляют по следующим формулам.

Если различия стандартных неопределенностей типа А результатов сличений мер существенны, а различия стандартных неопределенностей типа В результатов сличений мер пренебрежимо малы, то формула для

ГОСТ8.381-2009

расчета имеет вид

. (A.40)

Если различия стандартных неопределенностей типа А результатов сличений мер, а также их стандартных неопределенностей типа В существенны, то группового эталона вычисляют по формуле

, (А.41)

где - стандартная неопределенность типа В результата сличений -й меры группового эталона.

ГОСТ8.381-2009