Исходные данные для анализа

Исходные данные для анализа - student2.ru

Решение.С целью предварительного анализа взаимосвязи показателей построена матрица R — таблица парных коэффициентов корреляции.

Исходные данные для анализа - student2.ru

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак наиболее тесно связан с показателем х4 — количеством удобрений, расходуемых на гектар (ryx4 = 0,58).

В то же время связь между аргументами достаточно тесная. Так, существует практически функциональная связь между числом колесных тракторов (x1) и числом орудий поверхностной обработки почвы x3(rx1x3) = 0,98.

О наличии мультиколлинеарности свидетельствуют также коэффициенты корреляции rx1x2 = 0,85 и rx3x2 = 0,88.

Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим рассчитанное на ЭВМ регрессионное уравнение урожайности, включив в него все исходные показатели:

Исходные данные для анализа - student2.ru = 3,515 – 0,006x1 + 15,542x2+110x3 + 4,475х4 - 2,932x5.(53.22)

(-0,01) (0,72) (0,13) (2,90) (-0,95)

В скобках указаны tнаблj) = tj — расчетные значения t-критерия для проверки гипотезы о значимости коэффициента регрессии Н0: βj = 0, j = 1, 2, 3, 4, 5. Критическое значение tкр = 1,76 найдено по таблице t-распределения при уровне значимости α = 0,1 и числестепеней свободы v = 14.Из уравнения следует, что статистически значимым является коэффициент регрессии только при х4, так как |t4| = 2,90 > tкр = 1,76. Не поддаются экономической интерпретации отрицательные значения коэффициентов регрессии при х1 и x5, из чего следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (х1) и средствами оздоровления растений (x5) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.

После реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с исключением переменных и учетом того, что в уравнение должна войти только одна из трех тесно связанных переменных (x1, х2 или x3), получаем окончательное уравнение регрессии

Исходные данные для анализа - student2.ru = 7,342 + 0,345x1 + 3,294x4. (53.23)

(11,12) (2,09) (3,02)

Уравнение значимо при α = 0,05, так как Fнабл = 266 > Fкр = 3,20, найденного по таблице F-распределения при α = 0,05, v1 = 3 и v2 = 17. Значимы и коэффициенты регрессии β1 и β4, так как |tj| > tкр = 2,11 (при α = 0,05, v = 17). Коэффициент регрессии β1 следует признать значимым (β1 ≠ 0) из экономических соображений; при этом t1 = 2,09 лишь незначительно меньше tкр = 2,11. В случае если α = 0,1, tкр = 1,74 и коэффициент регрессии β1 статистически значим.

Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни приводит к росту урожайности зерновых в среднемна0,345 ц/га (b1 = 0,345).

Коэффициенты эластичности Э1 = 0,068 и Э4 = 0,161 (Эj = Исходные данные для анализа - student2.ru ) показывают, что при увеличении показателей x1 и х4 на 1% урожайность зерновых повышается соответственно на 0,068% и 0,161%.

Множественный коэффициент детерминации r Исходные данные для анализа - student2.ru = 0,469 свидетельствует о том, что только 46,9% вариации урожайности объясняется вошедними в модель показателями (x1 и x4), т.е. насыщенностью растениеводства тракторами и удобрениями. Остальная часть вариации обусловлена действием неучтенных факторов (х2, x3, х5, погодными условиями и др.). Средняя относительная ошибка аппроксимации Исходные данные для анализа - student2.ru = 10,5% свидетельствует об адекватности модели, так же как и величина остаточной дисперсии s2 = 1,97.

Компонентный анализ

Компонентный анализ предназначен для преобразования системы k исходных признаков в систему k новых показателей (главных компонент). Главные компоненты не коррелированы между собой и упорядочены по величине их дисперсий, причем первая главная компонента имеет наибольшую дисперсию, а последняя, k-я — наименьшую. При этом выявляются неявные, непосредственно не измеряемые, но объективно существующие закономерности, обусловленные действием как внутренних, так и внешних причин.

Компонентный анализ является одним из основных методов факторного анализа. В задачах снижения размерности и классификации обычно используются т первых компонент (т << k).

При наличии результативного признака у может быть построено уравнение регрессии на главных компонентах.

На основании матрицы исходных данных

Исходные данные для анализа - student2.ru

размерности п х k, где хij.— значение j-го показателя у i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, .... k), вычисляют средние значения показателей Исходные данные для анализа - student2.ru а также s1, ..., sk и матрицу нормированных значений

Исходные данные для анализа - student2.ru

с элементами

Исходные данные для анализа - student2.ru

Рассчитывается матрица парных коэффициентов корреляции:

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.24)

с элементами

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.25)

где j, l= 1, 2, .... k.

На главной диагонали матрицы R, т.е. при j = l, расположены элементы

Исходные данные для анализа - student2.ru

Модель компонентного анализа имеет вид

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.26)

где aiv — «вес», т.е. факторная нагрузка v-й главной компоненты на j-ю переменную;

fiv — значение v-й главной компоненты для i-го наблюдения (объекта), где v = 1, 2, ...,k.

В матричной форме модель (53.26) имеет вид

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.27)

Исходные данные для анализа - student2.ru

fiv — значение v-й главной компоненты для i-го наблюдения (объекта);

aiv — значение факторной нагрузки v-й главной компоненты на j-ю переменную.

Матрица F описывает п наблюдений в пространстве k главных компонент. При этом элементы матрицы F нормированы, т.е. fv = Исходные данные для анализа - student2.ru , a главные компоненты не коррелированы между собой. Из этого следует, что

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.28)

Исходные данные для анализа - student2.ru

Выражение (53.28) может быть представлено в виде

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.29)

С целью интерпретации элементов матрицы А рассмотрим выражение для парного коэффициента корреляции между переменной zj и, например, f1-й главной компонентой. Так как zо и f1 нормированы, будем иметь с учетом (53.26):

Исходные данные для анализа - student2.ru

Принимая во внимание (53.29), окончательно получим

Исходные данные для анализа - student2.ru

Рассуждая аналогично, можно записать в общем виде

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.30)

для всех j = 1, 2, .,., k и v = 1, 2, .... k.

Таким образом, элемент ajv матрицы факторных нагрузок А характеризует тесноту линейной связи между исходной переменной zj и главной компонентой fv, т.е. –1 ≤ ajv ≤ +1.

Рассмотрим теперь выражение для дисперсии нормированной переменной zj. С учетом (53.26) будем иметь

Исходные данные для анализа - student2.ru

где v, v'= 1, 2, ..., k.

Учитывая (53.29), окончательно получим

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.31)

По условию, переменные zj нормированы и s Исходные данные для анализа - student2.ru = 1. Таким образом, дисперсия переменной zj, согласно (53.31), представлена своими составляющими, определяющими долю вклада в нее всех k главных компонент.

Полный вклад v-й главной компоненты в дисперсию всех k исходных признаков вычисляется по формуле

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.32)

Одно из основополагающих условий метода главных компонент связано с представлением корреляционной матрицы R через матрицу факторных нагрузок А. Подставив для этого (53.27) в (53.24), будем иметь

Исходные данные для анализа - student2.ru

Учитывая (53.28), окончательно получим

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.33)

Перейдем теперь непосредственно к отысканию собственных значений и собственных векторов корреляционной матрицы R.

Из линейной алгебры известно, что для любой симметричной матрицы R всегда существует такая ортогональная матрица U, что выполняется условие

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.34)

Исходные данные для анализа - student2.ru

Так как матрица R положительно определена, т.е. ее главные миноры положительны, то все собственные значения λv > 0 для любых v =1, 2, ..., k.

В компонентном анализе элементы матрицы Λ ранжированы: λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥λv ... ≥ λk ≥ 0. Как будет показано ниже, собственное значение λv характеризует вклад v-й главной компоненты в суммарную дисперсию исходного признакового пространства.

Таким образом, первая главная компонента вносит наибольший вклад в суммарную дисперсию, а последняя, k-я, — наименьший.

В ортогональной матрице U собственных векторов v-й столбец является собственным вектором, соответствующим λv -му значению.

Собственные значения λ1 ≥ ... ≥ λv.... ≥λk находятся как корни характеристического уравнения

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.35)

Собственный вектор Vv, соответствующий собственному значению λv корреляционной матрицы R, определяется как отличное от нуля решение уравнения, которое следует из (53.34):

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.36)

Нормированный собственный вектор Uv равен

Исходные данные для анализа - student2.ru

Из условия ортогональности матрицы U следует, что U-1 = UT, но тогда, по определению, матрицы R и Λ подобны, так как они, согласно (53.34), удовлетворяют условию

Исходные данные для анализа - student2.ru

Так как у подобных матриц суммы диагональных элементов равны, то

Исходные данные для анализа - student2.ru

Учитывая, что сумма диагональных элементов матрицы R равна k, будем иметь

Исходные данные для анализа - student2.ru

Таким образом,

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.37)

Представим матрицу факторных нагрузок А в виде

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.38)

а v-й столбец матрицы А — как

Исходные данные для анализа - student2.ru

где Uv — собственный вектор матрицы R, соответствующий собственному значению λv.

Найдем норму вектора Аv:

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.39)

Здесь учитывалось, что вектор Uv — нормированный и U Исходные данные для анализа - student2.ru Uv = 1. Таким образом,

Исходные данные для анализа - student2.ru

Сравнив полученный результат с (53.32), можно сделать вывод, что собственное значение λv характеризует вклад v-й главной компоненты в суммарную дисперсию всех исходных признаков. Из (53.38) следует, что

Исходные данные для анализа - student2.ru (53.40)

Согласно (53.37), общий вклад всех главных компонент в суммарную дисперсию равен k. Тогда удельный вклад v-й главной компоненты определяется по формуле Исходные данные для анализа - student2.ru .

Суммарный вклад т первых главных компонент определяется из выражения Исходные данные для анализа - student2.ru .

Обычно для анализа используют т первых главных компонент, вклад которых в суммарную дисперсию превышает 60—70%.

Матрица факторных нагрузок А используется для экономической интерпретации главных компонент, которые представляют собой линейные функции исходных признаков. Для экономической интерпретации fv используются лишь те хj, для которых |ajv| > 0,5.

Значения главных компонент для каждого i-го объекта (i = 1, 2, .... n) задаются матрицей F.

Матрицу значений главных компонент можно получить из формулы

Исходные данные для анализа - student2.ru

откуда

Исходные данные для анализа - student2.ru

Уравнение регрессии на главных компонентах строится по алгоритму пошагового регрессионного анализа, где в качестве аргументов используются главные компоненты, а не исходные показатели. К достоинству последней модели следует отнести тот факт, что главные компоненты не коррелированы. При построении уравнений регрессии следует учитывать все главные компоненты.

Пример. Построение регрессионного уравнения

По данным примера из § 53.2 провести компонентный анализ и построить уравнение регрессии урожайности Y на главных компонентах.

Решение. В примере из § 53.2 пошаговая процедура регрессионного анализа позволила исключить отрицательное значение мультиколлинеарности на качество регрессионной модели за счет значительной потери информации. Из пяти исходных показателей в окончательную модель вошли только два (x1 и x4). Более рациональным в условиях мультиколлинеарности можно считать построение уравнения регрессии на главных компонентах, которые являются линейными функциями всех исходных показателей и не коррелированы между собой.

Воспользовавшись методом главных компонент, найдем собственные значения и на их основе — вклад главных компонент в суммарную дисперсию исходных показателей x1, х2, х3, х4, х5 (табл. 53.2).

Таблица 53.2

Наши рекомендации