Процесс гибели и размножения
В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.
Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 3.2.
Рис. 3.2
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2, ..., Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только либо в состояние Sk-1, либо в состояние Sk+1.
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивноcтями 
или 
.
По графу, представленному на рис. 15, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).
В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния Sn
которое с учетом
для состояния (15.12) приводится к виду
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:
(3.6)
к которой добавляется нормировочное условие
(3.7)
При анализе численности популяций считают, что состояние Sk соответствует численности популяции, равной k, и переход системы из состояния Sk в состояние Sk+1 происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние Sk-1 — при гибели одного члена популяции.
Решая систему (3.6), (3.7), можно получить
(3.8)
Пример 02
В условиях задачи 15.5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (15.25) 
, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора 
мин. поступает в среднем 3 заявки на переговори.
Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонньїх номеров) п = 2, З, 4, ... й определим по формулам (15.25), (15.28), (15.29) для получаемой п - канальной СМО характеристики обслуживания.
При п = 2
.
.
.
При п = 3
.
.
.
При п = 4
.
.
.
При п = 5
.
.
.
При п = 5
.
.
.
Значение характеристик СМО сведем в табл. 15.1. *
Таблица 15.1
| Характеристика обслуживания | Число каналов (телефонных номеров) | |||||
Относительная пропускная способность  | 0,25 | 0,47 | 0,65 | 0,79 | 0,90 | 0,95 |
| Абсолютная пропускная способность А | 22,5 | 42,4 | 58,8 | 71,5 | 81,0 | 85,3 |
По условию оптимальности ( 
, следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае 
— см. табл. 15.1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 81 заявок (А = 81), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (15.30)
.
СМО с отказами
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
А — абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее
число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q — относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
ротк. — вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
k — среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).