Одноканальная система с неограниченной очередью.

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность , а поток обслуживании — интенсивность .. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁;, S₂, ..., S_k по числу заявок, находящихся в СМО- S₀ — канал свободен; S₁ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; S₂ — канал занят, одна заявка стоит ч очереди; ... S_k — канал занят, (k—1) заявок стоят в очереди и т.д

Граф состояний СМО представлен на рис. 3.6.

Рис.3.6

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна , а интенсивность потока обслуживании .

Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время , очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если < 1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если , очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами для процесса гибели и размножения (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим:

. (3.18)

Так как предельные вероятности существуют лишь при r < 1, то геометрический ряд со знаменателем r < 1, записанный в скобках в формуле (3.18) сходится к сумме, равной

Поэтому

(3.19)

и с учетом соотношений (3.8)

(3.20)

найдем предельные вероятности других состояний

(3.21)

Предельные вероятности р₀. p₁, р₂, p_k, - образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем r < 1, следовательно, вероятность р₀ - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при r < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе L_cист определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (3.21) примет вид

(3.22)

(суммирование от 1 до ¥, так как нулевой член 0р₀ = 0).

Можно показать, что формула (3.22) преобразуется (при < 1) к виду

(3.23)

Найдем среднее число заявок в очереди L_оч Очевидно, что

(3.24)

где L_об. — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

, (3.25)

т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:

(3.26)

(3.27)

Теперь по формуле (3.24) с учетом (3.23) и (3.27)

(3.27)

Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

(3.28)

Формулы (3.28) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность .

На основании формул (3.28) с учетом (3.23) и (3.27) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:

(3.29)

а среднее время пребывания заявки в очереди –

(3.30)

Задача 3.8. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.

Решение.

Имеем

Так как = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.

Вероятность того, что причал свободен, по (3.19) р₀ = 1- 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, .Р_зан. ⁼ 1 - 0.2 = 0,8. По формуле (3.20) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны р₁ = 0,8(1 - 0,8) = 0,16; р₂. = 0,8².(1 - 0.8) = 0,128; р₃ = 0.8³.(1 - 0,8) = 0,1024.

Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна

Р = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904.

По формуле (3.40) среднее число судов, ожидающих разгрузки,

Lоч. = 0,82/(1-0,8) = 3,2,

а среднее время ожидания разгрузки по формуле (3.27)

По формуле (3.23) среднее число судов, находящихся у причала,

или проще

а среднее время пребывания судна у причала

Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна t_oб либо увеличение числа причалов.

[МАЛ2]