Определение выгодного пути
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
И МОДЕЛИ
Методические указания к выполнению контрольной работы для бакалавров направлений 080100.62 «экономика» и 080200.62 «Менеджмент» заочной формы обучения
Красноярск 2014
УДК 330.4:519.2
Рецензент:
Кандидат технических наук, доцент А.В. Зиненко
(Сибирский государственный аэрокосмический университет
имени академика М.Ф. Решетнева)
Экономико-математические методы и модели: Методические указания к выполнению контрольной работы для бакалавров направлений 080100.62 «экономика» и 080200.62 «Менеджмент» заочной формы обучения / Сост.: Ю. В. Ерыгин, В. Е. Герасимова; СибГАУ. Красноярск, 2014. 74 с.
Учебно-методическое издание
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
И МОДЕЛИ
Методические указания к выполнению контрольной работы для бакалавров направлений 080100.62 «экономика» и 080200.62 «Менеджмент» заочной формы обучения
Составители:
Ерыгин Юрий Владимирович
Герасимова Валерия Евгеньевна
© Сибирский государственный аэрокосмический
университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие……………………………………………………………… 4
1. Определение выгодного пути………………………………………… 5
2. Планирование производственной программы………………………. 13
3. Распределение средств на расширение производства………………. 18
4. Производство и затраты………………………………………………. 24
5. Предприятие и рынок…………………………………………………. 34
6. Экспертные методы……………………………………………………. 41
7. Матричное моделирование в анализе межотраслевых связей………. 55
Библиографический список……………………………………………………… 66
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы значительный вес в экономических исследованиях приобрели экономико-математические методы и модели. Математические методы, используются с одной стороны для исследования операций в больших природных и технических системах, а с другой стороны – находят широкое применение в финансово-экономической сфере. Содержательно экономико-математические методы опираются на традиционные математические дисциплины, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, линейную алгебру, дискретный анализ, теорию вероятности и др.
Цель контрольной работы – закрепить и проверить знания, полученные студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала, а также выявить умения применять на практике методы экономико-математического моделирования. Студент должен в установленный срок выполнить контрольную работу по семи темам. По каждой теме необходимо решить свой вариант задания. Номер варианта задания выбирается в соответствии с первой буквой фамилии.
При выполнении контрольной работы рекомендуется придерживаться определенной последовательности действий.
На первом этапе необходимо познакомиться с теоретическим материалом по каждой теме контрольной работы. С этой целью рекомендуется изучить теоретический материал, изложенный как в приведенном библиографическом списке, так и на лекциях.
На втором этапе необходимо познакомиться с примерами решения задач, приведенных по каждой теме.
На третьем этапе полученные теоретические и практические представления по каждой теме контрольной работы закрепляются посредством решения своего варианта задания (номера задачи).
При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими требованиями:
1. В начале работы должен быть указан номер варианта.
2. Перед решением задачи следует привести ее условие.
3. Решение задач нужно сопровождать формулами, развернутыми расчетами и выводами по их результатам.
4. Задачи, по которым даются ответы без развернутых расчетов, пояснений, выводов, считаются нерешенными.
5. Контрольная работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫГОДНОГО ПУТИ
Граф – это совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами (или дугами).
Многие практические задачи могут быть решены с помощью теории графов. Так, например, задача размещения, задача почтальона, задача строительства дорог.
Пример решения задачи
Требуется перевезти груз из города А в город В. Сеть дорог, связывающих А и В показана на рис. 1.1. Стоимость перевозки груза из города S в город J проставлена над соответствующими дугами сети.
Задание. Необходимо найти маршрут, связывающий А и В, для которого суммарные затраты на перевозку груза были бы наименьшими.
Условие. Вершинам сети соответствуют города, а дугам
транспортные магистрали (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Алгоритм решения
Используется метод динамического программирования.
1. Задача разбивается на шаги искусственным образом. В качестве
шага выбирается некоторое подмножество городов, на которое разбивается всё множество в соответствии с заданной сетью транспортной магистрали. Сеть, изображенную на рис. 1.1 удобно разбить на четыре части. Процесс решения задачи разбивается на четыре шага.
2. В качестве параметра, характеризующего состояние управляемой
системы, перед каждым шагом выберем номер города, из которого
нужно выехать, обозначим его S.
3. В качестве параметра шагового управления для каждого шага выберем номер города, через который нужно ехать из города S, обозначим его J.
4. Выигрыш, который приносит на n шаге управление , будет
(
) − стоимость перевозки груза из S в J.
Пусть − минимальные затраты на перевозку груза от города S до конечного города, если осталось n шагов.
5. Обозначим через − состояние, в которое должна перейти система под влиянием управления
на n шаге.
6. Основное рекуррентное уравнение для данной задачи имеет вид
. (1.1)
Решение задачи
Выполняем первый этап − оптимизацию в условном направлении. Оптимизация в условном направлении выполняется с последнего шага . Рекуррентное уравнение для
в соответствии с (1.1) имеет вид
.
Состояние системы S на данном шаге может иметь значение 7 или 8 (номера городов, из которых можно выехать на данном шаге). Шаговое управление J = 9 (номер города через который следует ехать из города S).
Выигрыш (затраты по перевозке из S в J) определяется по
рис.1 для всех возможных на данном шаге значений S и J: = 9;
= 8. Значение
так как из города 9 груз вывозить не надо. Таким образом, затраты на перевозку из 7 и 8 в конечный город определяются суммами:
Оформим решение в виде табл. 1.1.
Таблица 1.1
S J | ![]() | ![]() | |
9+0 | |||
8+0 |
В первом столбце табл. 1.1 расположены возможные значения состояния системы S на шаге n. В первой строке − возможные значения шагового управления J. В каждой клетке сумма для соответствующих значении S и J на данном шаге. Значения
при
берутся из предыдущей таблицы. Для
. В предпоследнем столбце вычисляются минимальные затраты по перевозке груза из города S, если до конца маршрута осталось n шагов −
(наименьшее значение из сумм в строке). В последнем столбце фиксируется номер города
, через который следует ехать, чтобы достичь минимальных затрат
,
.
Результат оформим в виде табл. 1.2.
Таблица 1.2
S J | ![]() | ![]() | ||
8+9 | - | |||
6+9 | 5+8 | |||
- | 5+8 |
Рекуррентное соотношение для (n-3) имеет вид .
Вычисления для третьего шага оформим в виде табл. 1.3.
Таблица 1.3
S J | ![]() | ![]() | ||||
17+7 | - | 15+13 | ||||
- | 6+13 | 8+13 |
Для последнего шага − в табл. 1.4.
Таблица 1.4
S J | ![]() | ![]() | ||
10+24 | 11+19 |
Второй этап − безусловная оптимизация.
В табл. 1.4 − искомые минимальные затраты по перевозке груза из города А в конечный город В. Для того, чтобы получить эти затраты, груз из города
должен быть доставлен в город
.
Находим новое состояние системы на втором шаге
.
По новому состоянию S = 3 из табл. 1.3 определяем − город в который нужно ехать из города 3, чтобы получить минимальные затраты
. Состояние системы на третьем шаге
.
Находим (для ) номер города, в который нужно
ехать из города , это
из табл. 1.2. Состояние системы на четвертом шаге
. В табл. 1.1 этому состоянию соответствует город
. Двигаясь от последней таблицы к первой определяем, оптимальный маршрут
, затраты на перевозку груза по которому составляют
.