Тема 4. Статистичні показники
Методичні вказівки до вирішення типових задач
Задача 1. Обчислення умовно-натуральних абсолютних величин.
Споживання палива тепловими електростанціями становило:
| Вид палива, млн.т (газ – млрд.м3) | Минулий рік | Звітний рік | Коефіцієнт переводу в умовне паливо |
| Вугілля | 7,5 | 13,9 | 0,9 |
| Газ природній | 9,6 | 7,7 | 1,2 |
| Мазут | 2,8 | 2,1 | 1,37 |
Визначити:
1. Обсяги спожитого палива за кожний рік;
2. Структуру спожитого палива і зробити висновки щодо структурних зрушень.
Розв’язання
| Вид палива | Спожито умовного палива (х) | |||
| Минулий рік | Звітний рік | |||
| Млн.т. | % | Млн.т. | % | |
| Вугілля | 6,75 | 30,5 | 12,51 | 50,8 |
| Газ природній | 11,52 | 52,1 | 9,24 | 37,5 |
| Мазут | 3,84 | 17,4 | 2,88 | 11,7 |
| Всього | 22,11 | 100,0 | 24,63 |
(х) Обсяг умовного палива розраховується шляхом помноження обсягу натурального палива на коефіцієнт переводу.
Висновок: 1. Збільшився обсяг спожитого умовного палива з 22,11 млн.т. до 24,63 млн.т. або на 111,4% ( 
.
2. Істотно змінилась структура палива, а саме: зросла частка вугілля з 30,5% до 50,8%, натомість зменшилось споживання газу, як абсолютно (в тоннах), так і відносно (у %).
Задача 2. Розрахунок середньої арифметичної зваженої.
На підприємстві реалізація продукції характеризується такими даними:
| Сорт товару | Поставлено, тонн | Ціна за 1 тонну, грн | |
| За контрактом | За фактом | ||
| Вищий | |||
| Перший | |||
| Другий | |||
| Всього | х |
Визначити: Середню ціну за контрактом і фактичну. Якщо ціни відрізняються пояснити причину.
Розв’язання
Розрахунок середньої ціни.
За контрактом:
= 32472 грн/т
За фактом:
= 32988 грн/т
Зростання фактичної середньої ціни реалізації у порівнянні з контрактом пов’язано із збільшенням реалізації продукції вищого сорту на 200 т за рахунок зменшення, на цей обсяг реалізації продукції першого та другого сорту.
Задача 3. Розрахунок середньої гармонічної зваженої
Для групи фермерських господарств є дані про урожайність зернових і про валовий збір зерна.
| № господарства | Урожайність зернових, ц/га (х) | Валовий збір зерна, ц (w) |
Визначити середню врожайність зернових по групі господарств.
Розв’язання
В умові задачі відсутні дані щодо розміру посівної площі (f), натомість відомо, що w = x*f. За наявності даних про х та w для розрахунку середньої врожайності використовуємо форму середньої гармонічної зваженої.
`Хгарм. = 
= 
= 
= 34 ц/га
Середня врожайність залежить не лише від мінливості значень ознаки (х), а і зміни структури статистичної сукупності (f). Так, у випадку збільшення площі зернових у фермерському господарстві за № 5 у два рази – валовий збір збільшиться до 39000 ц, а середня урожайність зросте:
`Хгарм. = = 
= 
= 35,1 ц/га
Таким чином, за рахунок структурних зрушень посівної площі (f) урожайність зернових зростає на 1,1 ц/га.
Тема 5. Ряди розподілу
Методичні вказівки до вирішення типових задач
Задача 1. Розрахунок моди і медіани, показників варіації.
За даними ряду розподілу працівників підприємства за стажем роботи визначити структурні середні та показники варіації.
| Стаж роботи | Кількість працівників, осіб (f) | x | xf | Накопичені частоти ∑ f |
| До 4-х | ||||
| 4-8 | ||||
| 8-12 | ||||
| 12-16 | ||||
| 16 і більше | ||||
| Всього | х | х |
Розв’язання
До складу структурних середніх відносять моду і медіану. Для оцінки їх значень визначимо середній стаж роботи працівників: `х = 896:100 ≈ 9 років
Для розрахунку моди визначається модальний інтервал (інтервал з найбільшою частотою). В даному випадку модальний інтервал від 8 до 12 років, а частота модального інтервалу f2 = 35, нижня межа модального інтервалу x0 =8, ширина модального інтервалу h = 4; передмодальний частота f1 = 28, післямодальна – f3 = 12. Тоді модальне значення стажу роботи працівників буде таким:
Мо = Хо + h 
= 8 + 4 
Для розрахунку медіани визначається медіанний інтервал (де сума накопичених частот перевищує половину значень частот ряду розподілу). Перевищення половини обсягу сукупності в даній задачі 0,5 ∑f = 50 відповідає інтервалу від 8 до 12, який приймається за медіанний інтервал з частотою tm = 35; кожна межа медіанного інтервалу Хо = 8; медіанний інтервал h = 4, сума накопичених частот перед медіанним інтервалом S 
= 43.
Отже, медіанна стажу роботи працівників дорівнює:
Ме = Хо + h 
= 8 + 4 
.
Обчислюємо такі показники варіації, як розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.
Розв’язання
1. Розмах варіації – це різниця між середніми значеннями останнього і першого інтервалів:
R = Xmax – Xmin = 18 – 2 = 16 років
Розрахунок інших показників варіації наведений в таблиці:
 |  |   = 9 | ( ) | ( )2 | ( )2 . |
| -7 | |||||
| -3 | |||||
| всього | х | х |
2. Обчислюємо інші показники варіації
- середнє лінійне відхилення
| d | = | ∑ ( ) | = | = | 3,7 року | |
| ∑ |
- дисперсія
| σ2 | = | ∑ ( )2 . | = | = | 21,3 | |
| ∑ |
- середнє квадратичне відхилення
σ = 
= 
= 4,6 роки
- коефіцієнт варіації 
| Vσ | = | σ | = | 4,6 | · | = | 51,3% | |
 |
Показники варіації дозволяють дати оцінку відхилення варіації від середньої.
Значення коефіцієнту варіації (51,3 %) свідчить про те, що розглянута сукупність кількісно неоднорідна, тому що Vσ > 33,0 %.
На практичних заняттях по рядах розподілу рекомендуються такі варіанти робіт для розрахунку показників варіації:
Відомі такі дані про стаж роботи і кількість працівників:
| Варіант 0 | Варіант 1 | Варіант 2 | Варіант 3 | Варіант 4 | ||||||
| Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | |
| До 4-х | 2-6 | До 4-х | 2-6 | До 2-х | ||||||
| 4-8 | 6-10 | 4-8 | 6-10 | 2-4 | ||||||
| 8-12 | 10-14 | 8-12 | 10-14 | 4-6 | ||||||
| 12 і більше | 14-18 | 12 і більше | 14-18 | 4 і більше | ||||||
| Варіант 5 | Варіант 6 | Варіант 7 | Варіант 8 | Варіант 9 | ||||||
| Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | Стаж роботи, роки | Кількість працівників | |
| До 4-х | 2-6 | До 4-х | 2-6 | До 4-х | ||||||
| 4-8 | 6-10 | 4-8 | 6-10 | 4-8 | ||||||
| 8-12 | 10-14 | 8-12 | 10-14 | 8-12 | ||||||
| 12 і більше | 14-18 | 12 і більше | 14-18 | 12 і більше | ||||||
Задача 2. Розрахунок дисперсій
Для розрахунку дисперсій використаємо дані таблиці, за матеріалами якої розрахувати групові, міжгрупову та загальну дисперсію.
Матеріали для дисперсійного аналізу
| Сорт пшениці | Кількість сортодільниць (f) | Урожайність в кожній сортодільниці (y) | ∑y | `уi |
| Миронівська | 25,26,28,30,35,36 | |||
| Поліська | 27,25,29,31 | |||
| Київська | 39,40,44,42,38,37,35,45 | |||
| Всього | - |
Розв’язання
В даній структурованій сукупності, що поділена на групи за факторною ознакою (х), дисперсія результативної ознаки (у) розкладається на: дисперсію у кожній групі (внутрішньогрупову), дисперсію міжгрупами (міжгрупову).
Варіація урожайності окремо для кожного сорту пшениці визначається шляхом розрахунку трьох внутрішньогрупових дисперсій, за формулою:
= 
;
Для сорту «Миронівська»:
= 
= 
= 17,67
Для сорту «Поліська»:
= 
= 
= 5,0
Для сорту «Київська»:
= 
=
= 
= 10,5
Середня з групових дисперсій розраховується за формулою:
= 
= 
= 
= 11,67
Розрахунок міжгрупової дисперсії:
= 
= 
= 
= 
= 29,33,
де `у = 
;
Використавши взаємозв’язок, міжгрупові та внутрішньогрупові дисперсії (правила додавання дисперсії) визначимо загальну дисперсію:
= 11,67 + 29,33 = 41,00
Перевіримо наші розрахунки, обчисливши загальну дисперсію за спрощеною формулою.
=` 
– 
- 
= 
– 1156 = 1197 – 1156 = 41
Вірність розрахунків підтверджено.
Для практичних занять з розрахунку дисперсії рекомендуються наступні варіанти.
| Варіант | Відділення комерційних банків | Депозитні ставки в окремих відділеннях, % | ||||||||||
| Центральні | ||||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| 1. | Центральні | |||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| 2. | Центральні | |||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| 3. | Центральні | |||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| 4. | Центральні | |||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| 5. | Центральні | |||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| Центральні | ||||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| Центральні | ||||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| Центральні | ||||||||||||
| Філії | ||||||||||||
| Центральні | ||||||||||||
| Філії | ||||||||||||
Визначити групові, міжгрупову та загальну дисперсії депозитної процентності ставки, а також питому вагу міжгрупової дисперсії у загальній. Результати проаналізувати.