Математические модели задачи фирмы 3 страница

В математике доказана теорема, из которой следует, что функция Лагранжа имеет экстремум, который совпадает с максимумом функции полезности при ограничении по бюджету и неотрицательных переменных. Необходимым и достаточным условиями экстремума является равенство нулю частных производных от функции Лагранжа по всем переменным.

Полученная система уравнений содержит m+1 переменных и m+1 уравнений. Если бы функция полезности была выражена в явном виде, то решение этой системы дало бы оптимальный набор благ:

X* = (x₁*,…,x_i*,…,x_m*).

Так как функция полезности не выражена явно, продолжим анализ, чтобы выявить условия, которым отвечает оптимальный набор благ. Выше было дано определение предельной полезности, из которого следует, что . Заменив частные производные на МU_i и выполнив некоторые преобразования, получим систему уравнений:

Проанализируем экономический смысл полученной системы. МU_i – предельная (добавочная) полезность единицы (килограмма, метра и т.д.) блага, а Р_i – цена этой единицы, допустим, в рублях. Тогда величина есть предельная полезность такого количества блага, которое можно купить за 1 руб. Таким образом, есть предельная (добавочная) эффективность затраты 1 руб. на покупку данного блага. Если, затратив все деньги, потребитель купил оптимальный набор благ, то израсходовав 1 руб. на дополнительную покупку любого блага, он получит одинаковую дополнительную полезность.

На примере проведенного анализа видна последовательность действий при экономико-математическим моделировании: анализируется экономическая ситуация (задача потребителя), разрабатывается математическая модель (функция полезности и ограничения).

Теперь можно забыть об экономическом содержании модели и заняться чисто математическим анализом – поиском экстремума.

Возвращаемся к экономическому содержанию и анализируем экономический смысл полученных результатов.

Перепишем полученную систему уравнений в несколько ином виде:

Это выражение называется равновесием потребителя на потребительском рынке и является математической записью второго закона Госсена: для оптимального набора благ вложения дополнительной единицы денег в покупку любых благ равнополезны.

Блага для потребителя взаимозаменяемы. Введем понятие «предельная норма замещения», под которой понимается количество одного блага, равнополезное единице другого блага.

Введем обозначения:

k, l – номера благ в наборе;

Δx_k , Δx_l – равнополезные приращения благ в наборе;

– предельная норма замещения k-го блага l-м.

Тогда

Выведем выражение для предельной нормы замещения двух благ в наборе (х₁,…,х_i,…,х_m ). Пусть k и l – номера благ, количества которых в наборе изменяются, в то время как количества остальных благ остаются неизменными. Обозначим:

dx_k – приращение k-го блага;

dx_l – приращение l-го блага равнополезное приращению dx_k;

dU – приращение полезности набора.

Тогда dx_k ¹ 0; dx_l ¹ 0; dx_i = 0 – для i ¹ k, l; dU = 0.

Чтобы найти напишем выражение для dU:

В этом выражении при i ¹ k,l величины dx_i = 0, т.к. dx_i = 0.

Кроме того, учтем, что по определению , а . Подставив приведенные выражения в формулу dU, получим:

По определению, , тогда .

Предельная норма замещения двух благ равна обратному отношению их предельных полезностей, взятому со знаком минус. Выведем формулу предельной нормы замещения для оптимального набора благ. По второму закону Госсена , откуда получим . Подставив полученное выражение в формулу , получим предельную норму замещения для оптимального набора благ, которая равна обратному отношению цен со знаком минус.

.

Знак минус стоит потому, что при добавлении в набор одного блага количество другого блага надо уменьшать, чтобы полезность набора осталась неизменной.

2.2 Практическое применение теории предельной полезности

Задача 1.

Пусть функция полезности имеет вид .

Даны коэффициенты a_0, a_1, a₂, бюджет B и цены Р₁ и Р₂.

a0	a1	a2	B	Р1	Р2
1,12	0,65	0,47

Найти оптимальный набор благ, его полезность и предельную норму замещения первого блага вторым.

Решим задачу в общем виде. Построим функцию Лагранжа:

Возьмем частные производные по всем переменным и приравняем их нулю:

Преобразуем систему:

Разделим первое уравнение на второе:

Выделим x₂:

x₂ = x₁;

P₁x₁ + P₂x₂ = B.

Решим полученную систему:

x₁* = ;

x₂* =

Задача 2.

Николай Павлович тратит в месяц до 100 руб. на покупку сахара и чая. Причем сахар в количестве до 2 кг он может купить у себя на работе по льготной цене 10 руб./кг. Если ему 2 кг недостаточно, он может пойти в магазин и купить там сахар по цене 20 руб./кг. Пачка чая стоит в магазине 10 руб. Изобразите на графике бюджетное ограничение Николая Павловича. Найдите для Николая Павловича оптимальный потребительский набор, если функция полезности для него имеет вид , где x - потребление сахара, в кг, а y - потребление чая, в пачках.

Решение. При x£2 бюджетное ограничение будет выглядеть 10x + 10y £ 100. Если же Николай Павлович покупает больше 2 килограммов сахара, ситуация эквивалентна той, когда Николаю Павловичу дают дополнительно 20 руб., но весь сахар он покупает в магазине. Бюджетное ограничение следующее: 20x + 10y £ 120. Точка излома: (2;8).

Найдем теперь оптимальный потребительский набор. При более широком множестве покупательских возможностей 20x + 10y £ 120 оптимум достигается при y = 12–2x, функция полезности примет вид xy=x(12–2x) ® max, 12–4x=0, x*=3, y*=6.

Точка (3;6) удовлетворяет условию x³2. Таким образом, она будет решением и нашей задачи. Достигнутая Николаем Павловичем полезность: u(3;6)=3^.6=18.

Ответ: х*=3, y*=6, u(3;6)=3*6=18.

Задача 3.

Борис любит слушать новые компакт-диски и ходить на дискотеки. На эти нужды он выделяет в год 2000 руб. И компакт-диск, и билет на дискотеку стоят по 100 руб. При этом у Бориса есть возможность за 1000 руб. купить клубную карту, позволяющую ходить на дискотеки за 25 руб. Нарисовать множество покупательских возможностей Бориса. Определить его оптимальный потребительский набор, если задана функция полезности , где x - число посещений дискотеки, а y - число купленных компакт-дисков. Что произойдет с оптимальным набором и полезностью Бориса, если клубная карта станет на 200 руб. дороже? На 200 руб. дешевле?

Решение. У Бориса 2 возможности - покупать или не покупать клубную карту. Если он не покупает ее, то бюджетное ограничение выглядит (1). Если Борис покупает клубную карту, у него остается 1000 руб. и бюджетное ограничение принимает вид (2). Итоговым множеством покупательных возможностей будет объединение двух множеств, заданных указанными бюджетными ограничениями и ограничениями .

Решением задачи будет точка А(10;10). Значение функции полезности в ней составляет .

Решением задачи будет точка B(20;5). Значение функции полезности в ней составляет .

Видим, что Борису безразлично, покупать клубную карту или не покупать - в обоих случаях он достигает одинаковой полезности.

Если клубная карта станет на 200 руб. дороже (ограничение (3)), Борис просто не станет ее покупать, достигнув полезности 100 в точке A. Если клубная карта станет на 200 руб. дешевле (ограничение (4)), Борис ее купит. Оптимумом станет точка С(24;6). Достигаемая полезность увеличится до .

Задача 4.

Студент Дмитрий тратит в месяц 600 руб. на оплату Интернета и приобретение компакт-дисков. Компакт-диски стоят 60 руб., а час работы в Интернете 10 руб. При этом имеется альтернативная возможность разово заплатить 240 руб. и после этого весь месяц работать в Интернете за 5 руб./час. Нарисовать множество покупательских возможностей Дмитрия и определить его оптимальный выбор, если функция полезности имеет вид , где x - число часов работы в Интернете, а y - число купленных компакт-дисков. Изменится ли оптимальный выбор и полезность Дмитрия, если разовая оплата за Интернет 1) повысится до 300 руб., 2) понизится до 120 руб.

Решение. Если Дмитрий не использует альтернативный тариф на Интернет, то бюджетное ограничение выглядит (1). При использовании альтернативы после оплаты 240 руб. у Дмитрия остается 360 руб. Ограничение в этом случае принимает вид (2). Итоговым множеством покупательских возможностей будет объединение двух множеств, заданных указанными ограничениями и ограничениями .

Решением задачи будет точка A(30;5). Значение функции полезности в ней составляет 30*5=150.

Решением задачи будет точка B(36;3). Значение функции полезности в ней составляет 36*3=108, что существенно хуже, чем в точке A.

Таким образом, Дмитрий не будет использовать альтернативный тариф.

Если разовая оплата за Интернет повысится до любой величины, в том числе, до 300 руб. (ограничение (3)), то Дмитрий по прежнему не будет использовать альтернативный тариф. Оптимальный выбор (A) и полезность при этом не изменятся. Если разовая оплата снизится до 120 руб., то новое ограничение будет иметь вид . Максимум функции достигается при этом в точке C(48;4), а полезность окажется равной 48*4=192, что больше, чем в точке A. Таким образом, Дмитрий будет использовать альтернативный тариф и получит при этом большую полезность.

Задача 5.

Пусть предпочтения потребителя, покупающего два блага, описываются следующей функцией полезности: ,

где х₁ и х₂ – объемы потребления первого и второго блага, соответственно.

Пусть доход потребителя В= 200 руб. Известно, что, при сложившихся ценах, затрачивая весь свой доход, потребитель может купить один из двух следующих наборов: набор 1 или набор 2.

Набор 1 = {10 единиц первого товара, 15 единиц второго}

Набор 2 = {24 единицы первого товара, 8 единиц второго}

Требуется:

Определить уровень цен на первое и второе благо (Р₁ иР₂).

Сформулировать модель поведения потребителя. Найти оптимальный объем потребления (х^*₁ и х^*₂) и предельную полезность денег.

Построить уравнение кривой безразличия для оптимального набора. Изобразить решение задачи потребителя графически. Найти предельную норму замещения первого блага вторым в потреблении в точке оптимума.

Решение. Нам известно, что потребитель, полностью расходуя свой доход, равный 200 руб., может приобрести один из двух наборов благ: (10; 15) и (24; 8). Это означает, что бюджетное ограничение потребителя при приобретении любого из этих наборов будет выходить на равенство:

Отсюда получаем, что цены на блага составляют: Р₁ = 5, Р₂ = 10.

Модель поведения потребителя должна учитывать его предпочтения по отношению к потребляемым благам и бюджетное ограничение.

Формально модель поведения потребителя является обычной задачей условной оптимизации, в которой требуется найти такой вектор благ х*, который максимизировал бы функцию полезности потребителя и удовлетворял бы бюджетным ограничениям.

Введем параметры модели:

х₁ – объем потребления первого блага;

х₂ – объем потребления второго блага;

Запишем целевую функцию:

Это условие означает, что потребитель стремится максимизировать получаемую им полезность от потребления благ.

Запишем ограничения модели, определяющие бюджетное множество потребителя:

1) бюджетное ограничение: , это условие означает, что потребитель не может потратить на приобретение благ больше, чем получаемый им дохода;

2) условие неотрицательности: , это условие можно интерпретировать как условие необратимости, которое означает, что потребитель не может продавать имеющиеся у него блага или обменивать одно на другое.

Таким образом, математическая модель поведения потребителя имеет вид:

Так как целевая функция непрерывна, а область допустимых значений (бюджетное множество) замкнута и ограничена, то решение существует (по Т. Вейерштрасса), причем x₁^* > 0 и x₂^* > 0 и бюджетное ограничение выходит на равенство.

Решим данную задачу методом множителей Лагранжа. Для этого строим функцию Лагранжа:

, где λ – множитель Лагранжа при бюджетном ограничении.

Запишем условия для решения задачи Лагранжа:

Из первых двух условий системы, получим:

Что соответствует второму закону Госсена для потребления: оптимальным для потребителя будет являться такой выбор, при котором рост расходов на 1 руб. на приобретение любого блага будет приводить к одинаковому росту получаемой полезности.

Отсюда получаем:

Так как λ = 0.07>0, то бюджетное ограничение выходит на равенство: , то следовательно х₁^* = 20 ед., х₂^* = 10 ед.

Уравнение кривой безразличия, соответствующее оптимальному набору, имеет следующий вид:

ютилей, что эквивалентно уравнению гиперболы:

Предельная полезность денег, которая представлена в модели множителем Лагранжа по бюджетному ограничению (λ), составляет 0.07, что означает, что при увеличении дохода потребителя на 1 руб., получаемая им полезность увеличится на 0.07 ютилей.

Предельная норма замещения первого блага вторым находится из формулы:

, это означает, что в точке оптимума, для сохранения того же уровня полезности при уменьшении потребления первого блага на единицу, потребителю потребуется увеличить потребление второго блага на 0,5 единиц.

Графическое решение данной задачи представлено на следующем рисунке.

2.3. Эластичность спроса на товар по его цене

Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении его цены на 1%. На рис. 7 показан график спроса.

Рисунок 7 Эластичность спроса

Здесь Q – объем спроса, Р – цена товара, D – обозначение графика спроса. График спроса показывает зависимость спроса от цены, т.е. выражает функцию Q=f(P). Непривычно, что аргумент Р откладывается по оси ординат, а функция Q – по оси абсцисс: так по экономической традиции изображается этот график.

Обозначим:

– приращение цены;

– приращение спроса;

–процентное приращение цены;

–процентное приращение спроса;

– эластичность спроса по цене.

По определению:

.

Формула эластичности спроса получена для конечных приращений. Перейдем к бесконечно малым приращениям:

Найдем уравнения графиков спроса единичной, нулевой и бесконечно большой эластичности. График спроса, как он изображен на рис. 7, имеет отрицательную эластичность, поскольку для всех точек графика.

Пусть . Тогда и .

Получено дифференциальное уравнение. Решим его:

Здесь c – произвольная неотрицательная константа.

Таким образом, график спроса единичной эластичности есть гипербола с произвольной неотрицательной константой с.

Найдем выражение для абсолютно неэластичного спроса:

Q=c, где с – произвольная неотрицательная константа.

На Рисунок 8 показан график абсолютно неэластичного спроса .

Рисунок 8 Абсолютно неэластичный спрос

Абсолютно неэластичный спрос – это абстракция. В России к нему близок спрос на коммунальные услуги, хлеб, водку.

Найдем выражение для абсолютно эластичного спроса:

где с – произвольная неотрицательная константа.

На рис. 9 показан график абсолютно эластичного спроса.

Рисунок 9 Абсолютно эластичный спрос

Абсолютно эластичный спрос - это также абстракция. К нему приближается спрос на продукцию одной фирмы на рынке совершенной конкуренции. Если фирма установит цену ниже рыночной равновесной, она быстро продаст свой товар. Наоборот, при цене выше рыночной равновесной товар не будет продан.

2.4 Решения задач на эластичность спроса

Задача 1.

Заданы значения эластичности спроса от доходов населения в краткосрочном и долгосрочном периодах на квартиры, мебель и одежду. Определить, какому товару соответствует какая строчка данных. Ответ объяснить.

краткосрочный	долгосрочный
0,95	1,17
0,07	2,45
2,60	0,53

Решение:

Даже значительное повышении доходов в краткосрочном периоде не приведет к серьезному увеличению спроса на квартиры (квартира - слишком дорогой товар, чтобы его можно было купить сразу). В долгосрочном же периоде покупка квартир при повышении доходов становится возможной. То есть эластичность в долгосрочном периоде должна быть гораздо больше, чем в краткосрочном, что соответствует второй строке (0,07 ® 2,45).

Для мебели ситуация противоположная - повышение доходов уже в краткосрочном периоде позволяет приобрести новую мебель. Однако в долгосрочном периоде повторное приобретение мебели, как правило, уже не требуется. Поэтому эластичность в долгосрочном периоде меньше, чем в краткосрочном - третья строка (2,60 ® 0,53).

Оставшаяся первая строка (0,95 ® 1,17) соответствует одежде. Эластичность слабо меняется в долгосрочном периоде относительно краткосрочного.

Задача 2.

Проранжируйте блага по ценовой эластичности спроса - для какого из них эластичность по абсолютной величине будет минимальна, для какого больше, еще больше и, наконец, самая большая: одежда, молоко, соль, ресторанные блюда. Объясните ответ.

Решение. Самая низкая по абсолютной величине эластичность у соли: товар первой необходимости, заменители полностью отсутствуют, расходы на соль занимают крайне малую долю в семейном бюджете; поэтому даже резкое увеличение цены практически не повлияет на объем потребления.

Чуть выше эластичность молока, поскольку доля расходов на молоко несколько больше. Тем не менее, адекватных заменителей молока нет, и существенного сокращения потребления не будет даже при значительном повышении цены. Эластичность спроса на одежду еще выше. При подорожании многие начинают покупать одежду в более дешевых магазинах или перешивать старые вещи. Наиболее высокая эластичность - у ресторанных блюд. Это товар роскоши. При подорожании большинство людей в состоянии отказаться от данного блага.

Ответ: соль, молоко, одежда, ресторанные блюда.

Задача 3.

Производители телевизоров перепрофилировали часть мощностей предприятий на выпуск компьютерных мониторов. Это привело к росту средней цены на телевизоры с 5000 до 5500 руб. По старым ценам производители еженедельно реализовывали 10000 телевизоров. Сколько телевизоров в неделю продается по новым ценам, если известно, что коэффициент ценовой эластичности спроса на телевизоры равен 2,5?

A) 4000 B) 7500 C) 8750 D) 12500

Решение. Эластичность показывает отношение процентного изменения спроса к процентному изменению цены. Цена увеличилась на 10%. Следовательно, спрос должен упасть на 2,5 ^. 10% = 25%. То есть по новым ценам продается 7500 телевизоров.

Ответ: B.

2.5. Варианты заданий по теме

Задание 1

При повышении цены на 6% спрос упал на 9%. Найти ценовую эластичность спроса.

Задание 2

Эластичность спроса на шоколад по доходу равна 0,6. Доходы населения выросли на 15%. Как изменятся продажи шоколада?

Задание 3

Для заданной функции полезности U(x₁,x₂) на товары х₁, х₂ определить, какой оптимальный набор товаров выберет потребитель при векторе цен p=(p₁, p₂) и доходе В. Построить аналитические функции спроса x_i=x_i(p₁, p₂, I). Найти максимальное значение функции полезности.

Вариант	U(x1,x2)	P1	P2	В
		0,7
			2,5
			1,5
	3x12/3x21/3
	x11/2x22/3
	(x1-1)1/4(x2-3)3/4
	(x1-1)1/4(x2-3)3/4

3. МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ПРОСТЕЙШИХ РЫНКАХ