Если число не содержит дробную часть, то его нужно представить в стандартном виде и применить первое правило.

Так в числе 2357, например, четыре значащие цифры, в числе 2,357 тоже четыре значащие цифры, в числе 2000 количество значащих цифр определить невозможно. В числе 2000,0 – пять значащих цифр. В числе 0, 00012300 значащими являются последние пять цифр: 1, 2, 3, 0, 0. Первые четыре нуля нужны только для обозначения разряда и пропадут при записи числа в стандартном виде: 1,2300∙10^-4.

В заключение отметим, что чем больше значащих цифр в записи числа, тем меньше его относительная погрешность, и тем точнее это число. То есть, точность числа определяется количеством значащих цифр.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА РАСЧЕТА

Все расчеты мы производим с числами, имеющими определенные погрешности. В ходе любого расчета погрешность всегда возрастает. Никакой расчет не в состоянии уменьшить погрешность исходных данных. Покажем это на примитивном примере. Пусть нужно сложить два числа a и b, погрешности которых соответственно равны Δa и Δb. Имеем

.

Мы получили некоторое число

с абсолютной погрешностью

.

При сложении или вычитании двух чисел, как мы видим, складываются их абсолютные погрешности. Но при расчетах по физическим формулам мы имеем дело, как правило, с умножением и делением. Покажем, что при умножении или делении двух чисел или двух степеней складываются их относительные погрешности.

Пусть расчетная формула выглядит следующим образом:

,

где A = const, а m и n – целые числа, положительные или отрицательные. Если какое-то из этих чисел отрицательно, то соответствующая степень с противоположным показателем является делителем. Относительные погрешности величин x, y, и z будут соответственно равны:

Прологарифмируем исходную формулу:

Найдем дифференциал левой и правой частей:

Три дифференциала dz, dx, и dy примем за соответствующие абсолютные погрешности: dz = ∆z, dx = ∆x, dy = ∆y. Получим соотношение между относительными погрешностями:

(1)

то есть относительные погрешности множителей и делителей складываются, что и требовалось доказать. Притом складываются столько раз, сколько раз каждый из них входит в формулу множителем (делителем): m раз x и n раз y.

Полученная формула связи относительных погрешностей справедлива только в том случае, если величины x и y или обе завышены или обе занижены. Но на практике погрешности величин, входящих в формулу, как правило, компенсируют друг друга, и относительная погрешность результата расчета оказывается меньше той, что дает формула (1). Поэтому погрешность результата произведения принято вычислять как среднюю квадратичную из относительных погрешностей множителей или делителей:

(2)

Как видно из формулы (2), погрешность результата вычисления по формуле всегда будет больше погрешности самого неточного числа из исходных данных.

Предлагаем Вам доказать, что при и .

Итак, в результате любых вычислений (расчетов) погрешность всегда возрастает. Если исходные данные, использованные для расчетов, содержали не более двух значащих цифр, то результат расчета будет содержать только одну верную цифру – первую, вторая цифра уже будет содержать ошибку.

Поэтому при решении расчетных задач ответ не может содержать больше значащих цифр, чем их содержится в исходных данных. Остальные цифры должны быть отброшены с выполнением правила округления: если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставленная цифра не меняется, а если первая отбрасываемая цифра равна или больше 5, то последняя оставленная цифра увеличивается на 1.

Рассмотрим еще один наглядный пример, предложенный Л.М. Фабелинской. Пусть нужно перемножить два числа: 24,2 и 3. Во втором числе только одна значащая цифра. Число десятых во втором числе не известно. Каждую неизвестную цифру будем обозначать рисунком .

Перемножим эти два числа столбиком. При этом результат умножения известной цифры на неизвестную и результат сложения известной цифры с неизвестной будем считать неизвестной цифрой и также обозначать рисунком .

2 4, 2

3,

7 2 6

7 ,

Мы видим, что результат умножения содержит только одну известную, то есть верную, цифру.

ИЗМЕРЕНИЯ. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Измерением называют нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств [1]. Различают прямые и косвенные измерения.

Измерения называют прямым, если искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных [1]. Прямое измерение состоит в сравнении измеряемой величины с эталоном с помощью измерительного прибора. Например, сравнение массы тела с массой гирь и разновесов на рычажных весах или отсчет по шкалам приборов, предназначенных для измерения именно этой величины.

Измерения называют косвенным, если искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений [1]. Косвенное измерение представляет собой расчет измеряемой величины по формуле, в которую подставляют результаты прямых измерений.

Например, объем некоторого тела можно измерить методом вытеснения жидкости с помощью мерного цилиндра – прямое измерение. А можно, измерив соответствующие линейные размеры тела, вычислить его объем по формуле – косвенное измерение.

Результат измерения принято записывать с указанием соответствующей абсолютной погрешности измерения, которая выражается в тех же единицах, что и сама величина Виды погрешностей и их причины будут рассмотрены позднее. Для обозначения абсолютной погрешности числа x будем использовать символ ∆x.

Например, при измерении силы тока в амперах результат измерения записывают так:

i = (0,25 ± 0,02) А,

где ∆i = 0,02 А – модуль абсолютной погрешности измерения.

Если конкретное число является результатом измерения, то запись этого числа должна обязательно содержать все цифры вплоть до последнего разряда числа, соответствующего самому мелкому делению прибора.

Допустим, мы измеряем силу тока миллиамперметром, позволяющим измерять силу тока вплоть до одного миллиампера. В этом случае результат измерения должен содержать конкретное число десятых, конкретное число сотых и конкретное число тысячных ампера. Пусть при этом миллиамперметр показал, например, ровно две десятых ампера. В этом случае результат измерения должен быть записан так:

i = (0,200 ± 0,001) А

или

i = (200 ± 1) мА.

Точность результата измерения определяется так называемой относительной погрешностью – отношением абсолютной погрешности измерения к самому числу – результату измерения, умноженным на 100 %. Относительная погрешность – всегда безразмерное число. Для обозначения относительной погрешности используется символ ε.

Так относительная погрешность результата измерения силы тока в нашем примере равна

В результате прямого измерения, даже очень тщательно произведенного, причем с помощью самых точных приборов, мы никогда не получим истинного значения измеряемой величины. Результат измерения, как мы не раз утверждали, всегда является приближенным. Это связано не только с тем, что

измерительный прибор всегда имеет ограниченную точность, но и с тем, что в процессе измерения происходит взаимодействие измерительного прибора как с объектом измерения, так и с наблюдателем, обладающим некоторой предельной чувствительностью. Кроме того, на это взаимодействие оказывает влияние окружающая среда: изменение температуры, давления, влажности и другие факторы.

Все имеющие место при измерениях погрешности можно разбить на три группы: систематические погрешности, случайные погрешности и промахи.

Систематические погрешности –это погрешности, величина которых, как правило, одинакова при всех повторных измерениях одной и той же физической величины, проводимых при неизменных условиях. Знак этих погрешностей тоже одинаков. То есть, результаты измерения оказываются или завышенными или заниженными. Систематические погрешности вызываются неправильным выбором метода измерений, неправильной установкой измерительного прибора, неправильной градуировкой измерительного прибора и другими факторами.

Выявить систематические погрешности при использовании одного и того же метода измерения и при наличии одного измерительного прибора невозможно. Для их обнаружения нужно провести независимые измерения. Однако все эти погрешности, в принципе, можно учесть путем проведения специальных измерений. Устранение систематических погрешностей требует глубокого анализа физического процесса, лежащего в основе измерения, и хорошего знания конструкции измерительного прибора.

Случайные погрешности – это погрешности, принимающие при повторных измерениях одной и той же физической величины в одних и тех же условиях различные значения, как по величине, так и по знаку. Эти погрешности вызываются большим числом причин, возникающих во время самого процесса измерения. Действие этих причин на результат каждого измерения различно. Это действие нельзя исключить. Однако математическая теория погрешностей показывает, что можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений, если много раз повторить измерения в одних и тех же условиях.

Промахи – это погрешности измерения, существенно превышающие погрешности, ожидаемые при данных условиях [1]. Промахи возникают из-за неисправности измерительного прибора или небрежности экспериментатора. Грубые, заведомо недостоверные результаты следует сразу же исключить из серии результатов измерений.

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Для расчета погрешностей результатов прямых измерений некоторой величины х нужно [2] сделать несколько измерений этой величины. Обозначим число измерений и соответственно число результатов этих измерений буквой n. Напоминаем, что запись каждого из n результатов измерения должна обязательно содержать все цифры, в том числе и 0 вплоть до последнего разряда числа, соответствующего самому мелкому делению прибора. Далее обработка идет по следующей схеме.

1. Вычисляем среднее арифметическое значение величины х по формуле

Среднее значение также должно содержать столько цифр, в том числе и нулей, сколько их в записях результатов измерений.

2. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность величины х по формуле

где ∆х_i = х_i – х_ср – абсолютная погрешность каждого из n результатов измерений. В записях квадратов этих абсолютных погрешностей должно содержаться в два раза больше цифр, в том числе и нулей, чем в записях результатов измерений. А в записи средней квадратичной погрешности – столько же цифр, что и в записях результатов измерений.

3. Вычисляем предварительную абсолютную погрешность измеряемой величины путем умножения ее средней квадратичной погрешности на коэффициент Стьюдента :

(5)

В записи этой погрешности должно содержаться столько же цифр, что и в записях результатов измерений. Значение коэффициента Стьюдента для данного числа n и для доверительной вероятности α = 95 % берем из таблицы, расположенной в следующем разделе.

4. Вычисляем окончательную абсолютную погрешность измеряемой величины с учетом погрешности прибора δ по формуле

(6)

Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры.

5. Уточняем запись среднего значения измеряемой величины, сопоставив его с величиной абсолютной погрешности. Число, обозначающее среднее значение измеряемой величины, нужно округлить, оставив в нем все цифры вплоть до разряда, являющегося последним в окончательной записи абсолютной погрешности. Записываем результат измерений в виде суммы округленного среднего значения и абсолютной погрешности:

х = х_ср ± Δх. (7)

Например, мы получили следующие величины: среднее значение х_ср = 2,36752 и значение окончательной абсолютной погрешности: Δх = 0,08364. После округления получим Δх = 0,084. Следовательно, среднее значение нужно округлить до тысячных: х_ср = 2,368. Окончательно запишем

х = 2,368 ± 0,084.

6. Вычисляем относительную погрешность измеряемой величины по формуле

Относительную погрешность, как правило, выражают в процентах. Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры.

Отметим, что величина относительной погрешности определяется конкретными условиями проведения самого процесса измерения, но сама эта величина не известна. Описанный выше метод позволяет произвести оценку величины этой погрешности. Причем с ростом числа измерений результат оценки погрешности будет все ближе к истинному значению величины относительной погрешности. Однако увеличение числа измерений никогда не приведет к уменьшению самой погрешности.

КОЭФФИЦИЕНТ СТЬЮДЕНТА

Число прямых измерений всегда конечно. Поэтому средняя квадратичная погрешность заведомо меньше истинной абсолютной погрешности. Чтобы получить близкое к реальности значение абсолютной погрешности, нужно увеличить среднюю квадратичную погрешность, умножив ее на коэффициент Стьюдента . В теории Стьюдента рассчитаны значения этого коэффициента в зависимости от доверительной вероятности α и числа измерений n. С ростом доверительной вероятности, то есть надежности значения абсолютной погрешности, коэффициент Стьюдента увеличивается. А с ростом числа измерений, увеличивающим надежность самих результатов измерения, коэффициент Стьюдента уменьшается. Ниже приведены значения коэффициента Стьюдента для доверительной вероятности α = 0,95.

n
tα (n)	12,71	4,303	3,182	2,776	2,571
n
tα (n)	2,447	2,365	2,306	2,262	2,093

Отметим, что запись результата измерения в форме (7) означает, что значение измеренной величины x с заданной вероятностью α не выйдет за пределы интервала (x_ср – Δx, x_ср + Δx). Поэтому абсолютную погрешность Δx

часто называют полушириной доверительного интервала.

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Результат косвенного измерения есть результат расчета по заданной формуле. Оценка относительной погрешности результата расчета уже описана выше. Относительная погрешность рассчитывается по формуле (2), если величины, полученные в результаты прямых измерений, входят в заданную формулу в качестве множителей или делителей.

Для примера рассмотрим косвенное измерение объема прямого цилиндра высоты h с диаметром d. Объем такого цилиндра можно вычислить по формуле

Для вычисления объема цилиндра по формуле (9) нужно иметь результаты измерения его диаметра и высоты. Пусть в результате прямых измерений получены значения диаметра и высоты цилиндра в соответствии с (7):

В этом случае известны и относительные погрешности значений диаметра и высоты цилиндра:

и

Прежде, чем приступать к вычислению объема, оценим относительную погрешность результата вычисления по формуле (9). В эту формулу входят четыре величины (числа). Два числа из них пришли из математики и являются, а скорее считаются, абсолютно точными: это числа 4 и π. Но число 4 – конечное число, а число π – является бесконечной непериодической дробью. Как это будет показано, можно взять округленное значение числа π с таким количеством значащих цифр, что это число практически не внесет никакой погрешности в окончательный результат расчета значения объема цилиндра.

Таким образом, источниками погрешности являются значения диаметра и высоты цилиндра. Обе эти величины входят множителями в формулу (9), но диаметр входит множителем два раза (в квадрате), а высота – один раз. Следовательно, подстановка этих величин в формулу (9) приведет к сложению двух относительных погрешностей диаметра и одной относительной погрешности высоты. Согласно формуле (2), относительная погрешность объема составит

Как видим, наибольший вклад в относительную погрешность объема цилиндра вносит неточность измерения диаметра цилиндра. Поэтому для уменьшения погрешности результата необходимо именно диаметр цилиндра измерить с как можно большей точностью.

Чтобы число π не внесло дополнительную погрешность в результат вычисления объема, нужно взять его значение с относительной погрешностью, много меньшей погрешностей диаметра и высоты цилиндра. Поскольку, как нам известно, точность числа зависит от количества значащих цифр в нем, нужно взять столько цифр числа π, чтобы их количество на одну цифру превышало бы максимальное число значащих цифр в средних значениях диаметра и высоты. Вот запись округленного числа π, содержащая 7 значащих цифр: π = 3,141593.

Теперь, взяв число π с необходимым количеством значащих цифр, можно выполнить расчет среднего значения объема цилиндра по формуле (9):

После этого нужно выполнить расчет относительной погрешности значения объема по формуле (14). Затем вычислить абсолютную погрешность объема по формуле

Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры. Затем нужно уточнить запись среднего значения объема, сопоставив его с величиной абсолютной погрешности (16). Число, обозначающее среднее значение объема, нужно округлить, оставив в нем все цифры вплоть до разряда, являющегося последним в окончательной записи абсолютной погрешности. Записываем результат измерений в виде суммы округленного среднего значения и абсолютной погрешности:

Например, мы получили следующие величины: среднее значение = 3867,395 мм³, = 4,258 мм³. Округляем значение до двух значащих цифр, получаем = 4,3 мм³. Вторая значащая цифра находится в разряде десятых долей миллиметра. Значит, последней оставленной цифрой в записи должна быть цифра 3, стоящая в этом же разряде. Первой отбрасываемой цифрой является 9 ˃ 5, следовательно, нужно добавить 1 к оставленной тройке. В итоге получим: V = (3867,4 4,3) мм³ = (3,8674 0,0043) мм³ = (3,8674 0,0043) = (3,8674 0,0043) . Окончательно:

с относительной погрешностью, равной

КОЕ-ЧТО ИЗ МАТЕМАТИКИ

Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужно вспомнить, что такое вектор и как с ним работать, поскольку в описании физической реальности нельзя обойтись без векторных величин. Многие физические величины являются векторами.

Вектор можно изобразить в виде направленного отрезка определенной длины. Вектор имеет две характеристики: модуль (абсолютную величину или просто величину) и направление. Каждая из этих характеристик может быть постоянной или изменяться независимо от другой.

Векторы складываются по правилу треугольника, как это показано на рисунке.

При умножении вектора на число получается новый вектор, который направлен в ту же сторону, что и старый, если число положительное, и в противоположную сторону, если число отрицательное. Модуль нового вектора равен произведению модуля старого вектора на модуль этого числа.

При умножении вектора на число 0, получается нулевой вектор, не имеющий ни величины, ни направления.

Любой вектор можно спроецировать на ось координат. Проекция вектора на ось координат равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между вектором и осью. Если угол острый, то его косинус и соответственно проекция вектора положительны. Если угол тупой, то его косинус и соответственно проекция вектора отрицательны. Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю.

α

0

Любой вектор можно представить в виде суммы трех его составляющих по осям координат:

где , , и – проекции вектора, а – единичные векторы (орты) соответствующих осей координат.

Вектор равен сумме трех векторов , , , каждый из которых направлен вдоль своей оси координат.

0

Допустим некоторая векторная физическая величина, например скорость , изменилась с течением времени. Тогда изменение скорости тоже будет вектором:

Для нахождения вектора это векторное равенство перепишем по-другому

и найдем этот вектор по правилу треугольника. Откладываем из одной точки два вектора и . По правилу треугольника строим вектор . Обратите внимание, какой физический смысл здесь раскрывается: Вектор изменения скорости соединяет конец первого вектора с концом второго, то есть показывает, как изменился вектор скорости (увеличился или уменьшился и в какую сторону повернулся).

Существуют два разных умножения вектора на вектор: скалярное и векторное.

Результатом скалярного произведения вектора на вектор является число, равное произведению модуля первого вектора на модуль второго и на косинус угла между ними:

или равное сумме одноименных проекций этих векторов на оси координат:

Скалярное умножение обозначается точкой.

Результатом векторного произведения вектора на вектор является вектор. Векторное умножение обозначается косым крестиком. Например, вектор равен векторному произведению векторов и :

Вектор перпендикулярен векторам и и его направление определяется по правилу буравчика (правого винта), как это показано на рисунке. Буравчик вращается от первого вектора в сторону второго вектора . Если векторы – множители поменять местами, то вектор изменит направление на противоположное.

	Модуль вектора равен произведению модуля первого вектора на модуль второго и на синус угла между ними:

α

Если два вектора параллельны, то их векторное произведение равно нулевому вектору .

Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужно также вспомнить основы математического анализа и, как минимум, уметь найти производную от комбинации элементарных функций и взять табличный интеграл.

Напомню определение производной. Пусть некоторая физическая величина, например вектор скорости, меняется с течением времени. Тогда время t является независимой переменной, то есть аргументом (играет роль x из математики). А скорость является зависимой переменной, то есть функцией (играет роль y из математики). Производной называется предел

Если , то и Существует обозначение для величины, которая стремится к 0, но не равна 0. Эта величина называется бесконечно малой. Все дело в том, что она не имеет конкретного значения. Зато она всегда меньше любого сколь угодно малого числа, какое бы мы ни назвали. Для такой бесконечно малой величины существует обозначение: . Это выражение называется дифференциалом и является в данном случае бесконечно малым промежутком времени. – бесконечно малое приращение вектора скорости. Имеем дробь:

которая обладает всеми свойствами дроби из математики, за исключением того, что ее значение нельзя получить обычным делением числителя на знаменатель, а нужно перейти к пределам и раскрыть получившуюся неопределенность. Для любой функции в математике это все проделано и сведено в правила взятия производной от элементарной функции.

Например, некоторое тело движется так, что модуль его скорости зависит от времени по уравнению:

где и – константы. Найдем производную от модуля скорости по времени:

Как Вы вероятно помните, эта производная является ускорением.

Настоятельно рекомендую каждую производную от функции y по аргументу x, которая встретится Вам в физике, обозначать только такой дробью:

Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужно также вспомнить, что такое степень и логарифм. Степенью называется двухуровневое выражение вида , нижняя и верхняя части которого неравнозначны.

Показатель степени

Степень

b

a

Основание степени

Для удобства обозначим эту степень буквой у. Имеем равенство

где а – основание степени у, а b – показатель степени у. Чтобы выразить а и b из этого равенства, нужно применить разные правила.

Основание а степени у равно корню из этой степени:

а показатель b степени у равен логарифму этой степени по основанию а:

Итак, показатель степени и логарифм степени – это практически одно и то же.

Чтобы убедиться, проверьте тождество:

и левая и правая части которого равны у.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности числа? Чему равна, например, погрешность числа 2,50?

2. Какие измерения называются прямыми, а какие – косвенными?

3. Что называют серией измерений?

4. Какие погрешности имеют место при измерениях?

5. По какой формуле вычисляется средняя квадратичная погрешность измерения величины x?

6. По какой формуле вычисляется абсолютная погрешность измерения величины x?

7. Что такое коэффициент Стьюдента и как он зависит от числа измерений и от доверительной вероятности?

8. Какова последовательность действий при расчете абсолютной погрешности результатов серии прямых измерений?

9. Как записать результат серии прямых измерений? Что такое доверительный полуинтервал?

10. Как вычисляется относительная погрешность серии прямых измерений? Для чего вводится относительная погрешность?

11. Как выполнить оценку погрешности результата косвенного измерения? Составьте формулу для расчета, например, относительной погрешности результата вычисления электрической мощности P по формуле: , где U – напряжение на участке, R – сопротивление участка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Метрология. Термины и определения. ГОСТ 16263–70. – М.: Изд-во стандартов, 1982. – 52 с.

2. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения. ГОСТ 11004 – 74. – М.: Изд-во стандартов, 1981. – 20 с.

СОДЕРЖАНИЕ

		Стр.
1.	Числа и цифры
2.	Точность числа. Погрешности.
3.	Оценка погрешности результата расчета.
4.	Измерения. Виды погрешностей.
5.	Расчет погрешности результатов прямых измерений.
6.	Коэффициент Стьюдента.
7.	Расчет погрешности результатов косвенных измерений.
	Кое-что из математики
11.	Контрольные вопросы.
12.	Литература.