Виды средних и способы их вычисления
Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, кубическая, хронологическая и т.д.
Данные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях k):
где х - среднее значение исследуемого явления;
k – показатель степени средней;
n – число признаков;
х – текущее значение осредняемого признака.
В зависимости от значения показателя степени k различают следующие виды степенных средних
при k= -1 - средняя арифметическая;
при k=0 - средняя геометрическая;
при k=1 - средняя гармоническая;
при k=2 - средняя квадратическая;
при k=3 - средняя кубическая.
При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше kв формуле (), тем больше значение средней величины:
Данное свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорности средник.
Только одно истинное значение среднего показателя может отразить характер имеющихся данных. Поэтому вид средней выбирается в каждом случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности. .
Помимо степенных средних в статистической практике используются средние структурные ( мода и медиана).
Средняя арифметическая
Самый распространенный вид средних – арифметическая, применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности представляет собой сумму значений признаков отдельных ее единиц. Общественные явления характеризуются аддитивностью т.е. суммарностью объемов варьирующего признака - это определяет область применения средней арифметической и объясняет ее распространенность. Так, например: общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников, валовый сбор урожая - сумма произведенной продукции со всей посевной площади.
Чтобы исчислить среднюю арифметическую нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой служит простая средняя.
Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака):
Пример Имеются следующие данные о заработной плате рабочих участка (табл. ).
Таблица №
| Профессия | Количество рабочих | Заработная плата каждого рабочего за сентябрь, руб. |
| Токари | 4700; 4208; 1917; 3620; 4400 | |
| Фрезеровщики | 3810; 4550 | |
| Слесари | 5210; 3380; 1870 |
Вычислить среднюю месячную заработную плату рабочих участка.
Решение
Процесс выбора средней таков:
• определяющий показатель - общая сумма начисленной заработной платы;
• математическое выражение определяющего показателя - ∑х;
• замена индивидуальных значений средними - ∑х = п • 
;
• решение уравнения.
= 4700 +4208 +1917 +3620 +4400 +3810 44550 +5210 +3380 4870 =
=37 665 = 3766,5 руб. 10
Следовательно, использовалась формула простой средней арифметической.
Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).
Средняя арифметическая взвешенная — средняя сгруппированных величин х1, х2; х3; хп— вычисляется по формуле:
= х1f1+x2f2+....+xnfn = ∑xf
f1+f2+...+fn ∑f
где f1,f2,...,fn – веса (частоты повторения одинаковых признаков)
∑xf – сумма произведений величины признаков на их частоты;
∑f – общая численность единиц совокупности
Рассмотрим технику вычисления средней арифметической взвешенной на примере.
Определить среднюю выработку рабочего за смену, если известно:
Таблица №
Распределениерабочихповыработкедеталей
| Выработка деталей за смену одним рабочим, шт. | Число рабочих (веса) | х∙f |
| 21 | 3 | 63 |
| 22 | 1 | 22 |
| Итого: | 15 | 297 |
По формуле средняя арифметическая взвешенная, шт.:
36 + 76 + 100 + 63 + 22297
ар.вз.= 15 = 15 =19,8 ≈20.
Очень часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности средним, т.е. среднюю из средних. Например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.
Средние из средних рассчитываются так же, как и средне из первоначальных значений признака. При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, принимаются в качестве вариантов.
Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних осуществляется по формуле:
ар.= ∑ гр.∙ f
∑ f
где f – число единиц в каждой группе.
Результаты вычисления средней арифметической из групповых средних представлены в табл.
Таблица №
Распределениерабочихсреднемустажуработы
| Номер цеха | Средний стаж работы, лет гр. | Число рабочих, чел. F |
| Итого: | - |
В этом примере вариантами являются не индивидуальные данные о стаже работы отдельных рабочих, а средние по каждому цеху гр. Весами f являются численности рабочих в цехах.
Отсюда средний стаж работы рабочих по всему предприятию составит, лет:
ар.= ∑ гр.∙ f = 5∙90+7∙60+10∙50 = 6,85
∑ f 200