Основи оптимального управління

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

до самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни „Математичне програмування” для студентів освітньо-кваліфікаційного рівня „бакалавр” напрямку підготовки 6.030601 „Менеджмент” денної та заочної форм навчання

Кривий Ріг

Укладачі: Т.М. Ковальчук канд. техн. наук, доц.,

В.А.Ковальчук д-р техн. наук, проф.,

Л.М. Варава д-р екон. наук, проф.

Відповідальний за випуск: Л.М. Варава д-р екон. наук, проф.

Рецензент: В.Я. Нусінов д-р. екон. наук, проф.

Методичні рекомендації складено згідно до вимог освітньо-професійних програм підготовки бакалаврів з напрямку „Менеджмент”.

У рекомендаціях викладено основні теоретичні засади з вивчення дисципліни „Математичне програмування”, наведено варіанти для виконання індивідуальних завдань та зразки їх рішення. Рекомендовано навчально-методичну літературу за дисципліною та вимоги до оформлення роботи.

Розглянуто Схвалено

на засіданні кафедри МіА на вченій раді ЕФ

Протокол № Протокол №

від __ ________ 2009 р. від __ _________ 2009 р.

ЗМІСТ

1. Загальні положення ............................................................... 4

2. Основи оптимального управління ....................................... 5

3. Лінійне програмування ........................................................ 6

3.1. Загальна постановка задачі .................................. 6

3.2. Види математичних моделей .............................. 8

3.3. Графічний розв’язок систем т лінійних нерівностей

з двома змінними .................................................. 10

3.4. Графічний метод ................................................... 13

3.5. Симплексний метод ............................................. 15

3.6. Транспортна задача ............................................. 18

4. Цілочислове програмування ............................................... 24

4.1. Загальна постановка задачі .................................. 24

4.2. Метод Гоморі ....................................................... 25

4.3. Графічний метод .................................................. 27

5. Нелінійне програмування .................................................. 27

5.1. Загальна постановка задачі ................................... 27

5.2.Дробово-лінійне програмування .......................... 28

5.3. Метод множників Лагранжа ................................. 33

5.4. Дослідження функції на екстремум за заданою

областю припустимих розв’зків ............................ 34

6. Модель Лєонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий

аналіз) ....................................................................................... 34

7. Динамічне програмування ..................................................... 36

7.1. Загальна постановка задачі ................................... 36

7.2. Оптимальна стратегія заміни обладнання .......... 38

7.3. Оптимальний розподіл ресурсів .......................... 41

7.4. Оптимізаційна модель управління товарними

запасами .................................................................. 42

8. Контрольні завдання .............................................................. 49

9. Зразки розв’язання задач .................................................... 69

10. Список використаних джерел .......................................... 95

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Вивчення дисципліни „Математичне програмування” базується на раніше засвоєних математичних дисциплінах „Вища математика” та „Теорія ймовірностей і математична статистика”, що у комплексі дозволяє ставити та вирішувати оптимізаційні задачі. Щодо підготовки бакалаврів за напрямком „Менеджмент”, то їм необхідно приймати не тільки оптимальні управлінські рішення, але й добре знатися на суто економічних питаннях, що також є об’єктом оптимізації. З огляду на це, дані методичні рекомендації складено таким чином, щоб студенти мали змогу самостійно опанувати прийомами математичного програмування, з’ясувати послідовність методичних підходів та причинно-наслідкові зв’язки задач та їх рішень, що приймаються. Для цього структурою рекомендацій передбачено наступну послідовність засвоєння матеріалу:

1) математична формалізація задачі у вигляді побудови економіко-математичної моделі;

2) визначення типу задачі (лінійного, нелінійного, динамічного програмування тощо);

3) визначення способу розв’язання оптимізаційної задачі;

4) реалізація поставленої задачі.

У методичних рекомендаціях наведено 9 найпоширеніших типів оптимізаційних задач, кожна з яких містить 30 варіантів для виконання студентом індивідуальних завдань. Наведено зразки розв’язання індивідуальних задач з відповідними теоретичним обґрунтуванням.

Для більш поглибленого засвоєння матеріалу наведено перелік навчально-методичної літератури за даною дисципліною.

Індивідуальні завдання та контрольні роботи виконуються у окремому зошиті рукописно або у друкованому вигляді, реєструються і здаються викладачу не пізніше як за тиждень до підсумкового контролю знань.

ОСНОВИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ

При прийнятті обґрунтованих рішень вирішального значення набувають вміння чітко формулювати задачі, математично описувати процеси і явища, які розглядаються. Необхідно з усіх можливих шляхів, що ведуть до мети, обирати найбільш економічний, який найкращим чином відповідає поставленій меті.

Задачі управління і планування зазвичай зводяться до вибору деякої системи параметрів і системи функцій. Нехай необхідно знайти максимум (мінімум) функції

(2.1)

при умовах

або (2.2)

, (2.3)

де - функції, - параметри управління (керовані змінні).

Функція (2.1) називається цільовою функцією, умови (2.2) і (2.3) являють собою обмеження поставленої задачі. Умова (2.3) справедлива для багатьох задач, особливо економічних, коли параметри управління за своїм змістом не можуть бути від’ємними.

Математична дисципліна, що вивчає екстремальні (максимальні або мінімальні)задачі управління, планування і розробку методів їх вирішення називається математичним програмуванням.

В залежності від виду цільової функції і обмежень математичне програмування поділяється на лінійне і нелінійне. У задачах лінійного програмування можливі випадки, коли параметри управління набувають лише цілі дискретні значення. При розв’язанні подібних задач використовують цілочислове програмування. Коли вихідні параметри змінюються у певних межах, тоді використовують параметричне програмування.

На теперішній час не існує загальних і досить ефективних методів розв’язання задач нелінійного програмування. Лише для певного класу нелінійних задач, система обмежень яких лінійна, а цільова функція нелінійна, але має властивість опуклості, розроблені досить ефективні методи, що одержали назву методів опуклого програмування. На практиці доволі часто виникають ситуації, в яких необхідно приймати рішення при наявності двох або більше сторін, що мають різну мету. Результати будь-якої дії кожної із сторін залежать від рішень партнерів. Для розв’язання задач з конфліктними ситуаціями використовують математичні методи теорії ігор.

Динамічне програмування – один з розділів методів оптимізації, в яких процес прийняття рішення може бути розбитий на окремі етапи. В основі методу лежить принцип оптимальності, який розробив Р. Беллман.

Теорія масового обслуговування вивчає системи, контролює їх характеристики для здійснення оптимізації системи в цілому.

Вище перелічено основні розділи математичного програмування, які плануються вивчати протягом семестру.

ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ