Дослідження поведінки динамічних систем

Розглянемо систему (1.1) у двовимірному випадку. Через кожну точку фазової площини проходить єдина фазова крива, за виключенням особливих точок , таких що

Лінеаризуємо систему в околі точки рівноваги . Процедура лінеаризації (1.1): . В новій системі координат положенню рівноваги відповідає точка (0,0). Якщо f і g – аналітичні функції поблизу , то можна розкласти f і g в ряд Тейлора в околі цієї точки. Зважаючи на те, що в точці рівноваги , та знехтувавши величинами більш за першого за перший порядок малості, отримаємо лінеаризовану в околі систему відносно змінних :

Введемо позначення:

.

Розв'язки лінійної системи

(1.5)

дають параметричні (t – параметр) форми фазових кривих поблизу нерухомої точки .

Нехай та – власні значення матриці А, тобто

. (1.6)

Отже, розв’язки (1.5) мають вигляд:

(1.7)

де – довільні константи, а – власні вектори матриці А, які відповідають і визначаються за формулою:

(1.8)

Виключення параметра t в (1.7) дає фазові криві на площині (x,y) поблизу точки рівноваги . Вираз (1.7) використовується, якщо власні значення не є рівними. Якщо ж , то розв’язки (1.5) будуть пропорційні .

Далі розглянемо вплив власних значень матриці А на характер особливої точки лінійної системи (1.5). Для спрощення викладення вважатимемо, що точкою рівноваги є (0,0).

I) є дійсними числами і не дорівнюють один одному.

а) і мають однаковий знак. Типові власні вектори зображені на рис. 1. 3,а. Нехай Тоді, згідно з (1.7), наприклад, при справедливий вираз . Значить, точка на фазовій площині рухається лише уздовж у напрямку початку координат при : якщо – уздовж PО; якщо – уздовж QO. Згідно з (1.7), кожний розв’язок наближається до (0,0) при , тому що при коли . Отже ~ при .

Таким чином, поблизу початку координат всі розв’язки наближаються до нуля уздовж , як зображено на рис. 1.3,а. Така особлива точка називається вузол (тип I). Якщо , це буде стійкий вузол, оскільки всі траєкторії наближуються до (0,0) при . Якщо , це – нестійкий вузол; оскільки при (рис. 1.3,б).

Рис.1.3. Особлива точка – вузол: а – стійкий, б – нестійкий

б) і мають різні знаки. Припустимо, наприклад, що . Тоді, уздовж при , в той час як уздовж при .

Таким чином, рух уздовж і відбувається в різних напрямках; розв’язки поблизу (0,0) зображені на рис. 1.4,а. Така точка рівноваги називається сідловою точкою. Вона завжди нестійка, за виключенням руху строго вздовж напрямку вектора.

II) і є комплексними числами: Розв’язок (1.7) в цьому випадку включає в себе і, отже, коливально наближується до точки (0,0) або віддаляється від неї.

а) . В цьому випадку виникає точка рівноваги фокус, який є стійким при і нестійким при . На рис. 1.4,б зображена особлива точка на кшталт фокуса.

б) . В цьому випадку фазові криві представляють собою еліпси. Така особлива точка – центр; її зображено на рис 1.4, в.

У випадку особливих точок такого типу, знайдених за допомогою лінійного наближення функцій і , необхідно розглядати члени більш високого порядку (ніж лінійні) для того, щоб визначити, стійкі вони чи ні.

Рис.1.4. Особлива точка: а – сідло, б – фокус, в – центр

ІІІ) .

а) Розв'язки включають члени типу і в даному випадку існує тільки єдиний власний вектор , уздовж якого розв'язки прямують до (0,0). Параметр у виразі впливає на поведінку розв'язку далеко від (0,0). Ця точка називається вузол (тип ІІ); вона зображена на рис. 1.5,а.

б) Якщо розв'язки не включають члена , то особлива точка називається діакритичною, і може бути як стійкою, так і нестійкою залежно від знака . Траєкторії поблизу діакритичної особливої точки наведено на рис. 1.5,б.

Рис.1.5. Особлива точка: а – вузол (тип ІІ), б – діакритична

Таким чином, тип особливою точки залежить від параметрів в матриці А в (1.5). На рис. 1.6 підведений підсумок викладеним вище результатам в термінах сліду і визначника матриці А.

Рис. 1.6. Підсумкова діаграма, яка демонструє вплив сліду = і визначника на характер особливої точки