В принятых обозначениях запишем уравнение склада

(10.3.1)

где – количество продукции на складе в начальный момент.

Аналогично можно записать уравнения для складов основных и оборотных производственных фондов.

2. Модель транспортировки. Транспортировка занимает определенное время, зависящее от расстояния между объектами и способа транспортировки. Будем считать, что при перевозке качество продукции не претерпевает изменений. Поэтому транспортировку будем учитывать через чистое запаздывание равное времени перемещения продукции в пункт ее потребления.

(10.3.2)

где – поток загружаемой на транспорт продукции, а – поток доставленной продукции в пункте назначения. Коэффициент характеризует потери продукции при транспортировке.

3. Модель реализации. Готовая продукция может реализовываться немедленно или этот процесс может затягиваться на время реализации В зависимости от способа, процесс реализации можно описать как чистое запаздывание:

(10.3.3)

или как инерционное запаздывание:

(10.3.4)

где – поток поступившей на реализацию продукции, – поток реализованной продукции.

4. Модель банка. После продажи, произведенная на предприятии продукция имеет обратное влияние на производственный объект, которое в основном осуществляется через выручку, поступившую в распоряжение предприятия.

Пусть – продажная цена единицы продукции. Тогда поток денег от реализованной продукции

(10.3.5)

поступает в банк на расчетный счет предприятия. Если – количество денег предприятия в банке в момент времени t, а – поток денег, снимаемых с банка предприятием, то уравнение банка имеет вид:

(10.3.6)

где – количество денег предприятия в банке в начальный момент времени t₀. Формально, с математической точки зрения простейшая модель банка совпадает с моделью склада.

Модель взаимодействия ППО с рынком.На рис.54 представлена элементарная схема взаимодействия ППО с рынком.

Рис.54

На рисунке:

– поток денег, идущих на приобретение ОПФ,

– поток денег, идущих на приобретение оборотных фондов,

– поток денег, идущих на остальные потребности (зарплата, соцкультбыт, налоги и др.),

– цены единицы изделия, основных и оборотных фондов,

– доли потока денег, выделяемых на приобретение основных и оборотных фондов, –доля оставшегося потока денег:

В схеме не учитывается запаздывание на складирование, транспортировку, сбыт, банковские операции и другие рыночные операции. также не учитываются важные маркетинговые мероприятия, такие, например, как формирование спроса и предложения, ценообразование, реклама и многое другое. Схема является простейшей базовой моделью взаимодействия ППО с рынком, которую в дальнейшем можно сколько угодно наращивать и усложнять.

Запишем систему соотношений, описывающую представленную на рис.54 замкнутую систему с учетом временного лага на цикл производства.

Модель ППО:

(10.3.7)

Модель рынка:

(10.3.8)

Условия равновесного рынка. Используя соответствующие уравнения из системы (10.3.8) выражения потоков ОПФ и Обф можно записать:

(10.3.9)

В случае, когда коэффициент фондоемкости m(t)=m=Const, подставляя (10.3.9) в уравнения ППО (10.3.7), получим:

(10.3.10)

В условиях стабильного (равновесного) рынка, любые возмущения внутри рынка, не должны отражаться на производственной деятельности предприятия, т.е. поток выпуска продукции должен оставаться неизменным. Получим условия стабильной работы ППО. Будем считать, что предприятие работает на полную мощность, т.е. В этом случае, , и система уравнений (10.3.10) примет вид

откуда следуют условия стабильного (равновесного) рынка

(10.3.11)

при изменении экзогенных рыночных факторов (например, изменения цен на производственные фонды q_U и q_V,), из условий (10.3.11) можно определить значения управляемых эндогенных параметров (например, цену своей продукции q_у, величины долей β и γ), которые обеспечат стабильную работу предприятия в рамках рассмотренной модели.

qy

Модель замкнутой системы с учетом спроса и предложения.Построим упрощенную имитационную модель, описывающую взаимодействие спроса, производства и управления на уровне ППО. Схема этой модели приведена на рис.55.

Рис.55

В схеме приняты следующие обозначения:

– потребное количество продукции предприятия в единицу времени;

(t) – спрос на продукцию предприятия в единицу времени;

ε(t) – величина невязки (рассогласования) между потоками потребности и спроса на продукцию предприятия

;

1 — блок формирования цены продукции. Цена рассчитывается как функция невязки. В простейшем случае, это может быть пропорциональная зависимость вида

где q₀ – базовая цена при ε(t) = 0, – коэффициент пропорциональности.

2 — блок определения потока отложенного спроса на продукцию предприятия. Величина отложенного спроса зависит от рыночной цены изделия и других факторов маркетинга. Она определяется путем маркетинговых исследований рынка. Например, функция отложенного спроса может моделироваться как:

где – запаздывание реакции покупателей на изменение цены, – коэффициент пропорциональности.

3 — блок определения величины потока потенциального предложения предприятия по выпуску продукции: . Предложение (готовность предприятия к производству изделия в количестве за единицу времени) в основном зависит от цены изделия и определяется в соответствии с известной кривой предложения

4 — блок расчета потребных потоков ОПФ и ОбФ для производства продукции в объеме (t). Если предприятие работает на полную мощность, т.е. то из уравнений ППО следует:

где и – максимально допустимые потоки основных и оборотных фондов, зависящие от финансовых возможностей предприятия.

Если судить по динамике потребности и выпуска продукции, то, очевидно, что колебания потребности вызывают колебания выпуска . Возникает естественный вопрос: не может ли производство само быть источником колебаний? Ответить на этот вопрос можно исследуя процессы в модели, представленной на рис.55. Из-за колебаний в развитии производства наряду с колебаниями цены возникают колебания отложенного спроса и других эндогенных переменных модели. Расчеты показывают, что колебательность системы и ее устойчивость сильно зависят от экзогенных параметров и .

10.4. Многопродуктовый простой производственный объект

Модель развития многопродуктового объекта.Обычно производственные предприятия выпускают не единственный или однородный вид продукции. Тогда предприятие представляет собой многопродуктовый производственный объект (МППО). Как и в случае с ППО, при рассмотрении МППО выделим два входных потока: потоки ОПФ U(t)и ОбФ V(t) и поток выпуска продукции В отличии от модели ППО (рис.53), для МППО эти потоки представляют собой векторные величины (рис.56).

Рис.56

Введем в рассмотрение вектор количества ОПФ на предприятии

(10.4.1)

и коэффициент мгновенной фондоемкости , равный количеству ОПФ r-го вида, необходимых для выпуска единицы j-го изделия в единицу времени. Тогда возможный поток выпуска продукции j-го вида в единицу времени (мощность предприятия), ограниченный количеством ОПФ r-го вида выделенных на производство j-го изделия , будет иметь вид:

(10.4.2)

Общее потребное количество ОПФ r-го вида для производства всех изделий равно сумме

(10.4.3)

Дифференцируя выражение (10.4.3), перейдем к потокам поступающих и выбывающих основных производственных фондов:

(10.4.4)

где – коэффициент пропорциональности. Уравнение (10.4.4) является уравнением развития основных производственных фондов предприятия.

Используя выражение коэффициента выбытия ОПФ для многопродуктового производственного объекта с учетом (10.4.2), из уравнения (10.4.4) получим уравнение мощности по выпуску предприятием j-ой продукции из условия наличия на предприятии ОПФ r-го вида:

(10.4.5)

где – количество ОПФ r-го вида, направленных на производство j-го изделия.

Мощность предприятия по выпуску j-го изделия определяется наиболее дефицитной компонентой ОПФ, т.е.

(10.4.6)

где компоненты вектора мощности , находятся из решения системы уравнений (10.4.5).

Модель выпуска продукции МППО.Обозначим – поток оборотных фондов s-го вида потребляемых предприятием для производства j-ой продукции. Вектор потока оборотных фондов, потребных для производства j-ой продукции

является вектором с пропорциональными компонентами.

Общий поток потребляемых оборотных фондов s-го вида для идеального производства определяется как сумма

(10.4.7)

По аналогии с уравнением выпуска продукции на ППО, выпуск продукции на многопродуктовом простом производственном объекте с учетом чистого запаздывания на производство, можно записать в виде уравнения:

(10.4.8)

где: – поток продукции j-го изделия, зависящий от величины потока оборотных фондов (ОбФ) s-го вида;

– коэффициент фондоотдачи ОбФ s-го вида на производстве j-го изделия: ;

– запаздывание, учитывающее время производства j-го изделия при использовании s-го вида ОбФ.

Поток выпуска готовой продукции j-го вида в момент времени t учетом ограничения на располагаемую мощность предприятия определяется из системы:

(10.4.9)

где поток продукции определяется из уравнения (10.4.8), а располагаемая мощность – из условия (10.4.6).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. ─ М.: «наука», 1976. ─ 284 с.

2. Афанасьев А.А., Куршев В.Н. Теория организации. ─ Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2003. ─ 184 с.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем.─ М.: Финансы и статистика, 2002.─ 368 с.

4. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. ─ М.: Высш. шк., 1977. 519 с.

5. ГранбергА.Г. Моделирование социалистической экономики. ─ М.: «Экономика», 1988. ─ 351 с.

6. Доналд Дж. Бауэрсокс, Дейвид Дж. Клосс. Логистика: интегрированная цепь поставок. – М.: ЗАО “Олимп-Бизнес”, 2001. ─ 239 с.

7. Ерохин Н.М., Орехов Н.А., Сидоренко А.В. Статистические модели и планирование экспериментов в экономике. ─ Калуга: КФ МГТУ, 1994.─ 155 с.

8. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. ─ М.: МГУ, Издательство “ДИС”,1998.─ 368 с.

9. Ивахненко А.Г., Зайченко Ю.П., Димитров Е.Д. Принятие решений на основе самоорганизации. ─ М., «Сов. Радио», 1976. ─ 280 с.

10. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. —М.: Статистика, 1978. ─ 222 с.

11. Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика. ─ М.: «Экономика», 1982. ─ 408 с.

12. Крамер Г. Математические методы статистики.─М.:«Мир», 1975. ─375 с.

13. Моделирование народнохозяйственных процессов. Под ред, И.В.Котова. — Л.: издательство Ленинградского университета, 1990. — 288 с.

14. Муртаф Б. Современное линейное программирование. ─ М.: «Мир», 1984. ─ 224 с.

15. Нейлер Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. ─ М.: «Мир», 1975. ─ 502 с.

16. Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. ─ М.: НОРМА–ИНФРА, 2001.─572 с.

17. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике. ─ М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. ─ 302 с.

18. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. ─ М.: «Экономика», «Дело», 1992.─510 с.

19. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. ─ М.: «Экзамен», 2002. ─ 128 с.

20. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике.─ М.:Книжный дом «Университет», Высшая школа, 2002. ─ 288 с.

21. Сергеев В.И. Логистика в бизнесе. ─ М.: ИНФРА-М, 2001. ─ 233 с.

22. Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. ─ Казань, «Фэн», 1996. ─ 224 с.

23. Теория автоматического управления. Ч.1.; Под ред. А.А.Воронова.─ М.: Высш. шк., 1986.─367 с.

24. Терехов Л.Л. Производственные функции.─М.:«Статистика»,1974.─348 с.

25. Ультриванов И.П. Имитационное моделирование динамических систем. ─ Казань: КАИ, 1987. ─ 68 с.

26. Ультриванов И.П. Основы маркетинга. ─ Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2003. ─ 135 с.

27. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. ─ М.: «Мир», 1975.

─ 534 с.

28. Экономико-математические методы и прикладные модели. Под ред. В.В.Федосеева.

─ М.: ЮНИТИ, 2002. ─ 391 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1.Основные понятия моделирования систем . . . . . . . . . . 3

1.1. Виды и способы математического моделирования систем . . . . 3

1.2. Экономико-математические модели . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Адекватность модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Понятие «черного ящика» в теории управления. . . . . . . . . 7

1.5. Последовательность процесса моделирования . . . . . . . . . 7

Глава 2. Основные свойства систем управления. . . . . . . . . . . . 8

2.1. Понятие системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Структура системы управления (8). Большая и сложная системы (9).

2.2. Устойчивость динамических систем . . . . . . . . . . . . . 10

Понятие устойчивости (10). Устойчивость по Ляпунову (10).

2.3. Равновесие в экономических системах . . . . . . . . . . . . 12

Цены рыночного равновесия (12). Анализ общего равновесия (13).

2.4. Качество процессов регулирования . . . . . . . . . . . . . 14

Время регулирования (15). Статическая ошибка управления(15). Перерегулирование (16).

Глава 3. Общие методы оптимизации . .. . . . . . . . . . . . . . 17

3.1. Классификация методов полученияоптимальных решений . . . 17

3.2. Оптимальные решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Необходимые понятия и определения (18). Необходимое условие экстремума (19). Выпуклые и невыпуклые области (20).

3.3. Математическое программирование . . . . . . . . . . . . 20

Определение и цели (20). Классификация задач математического программирования (21).

Глава 4. Задача линейного программирования

и ее оптимальное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

4.1. Определение линейности функций . . . . . . . . . . . . . 22