Диференціації та подібності розподілів
Базові поняття та терміни
Побудова рядів розподілу випливає з принципів статистичного групування.
При побудові атрибутивних рядів розподілу варіанти розташовуються за логічною послідовністю. В разі використання дискет-них та інтервальних варіаційних рядів варіанти записують за зростанням або спаданням варіюючої ознаки.
Розрізняють ряди розподілу з абсолютними, відносними та нагромадженими (кумулятивними) частотами.
Ряди розподілу з абсолютними частотами характеризують склад сукупності, а з відносними - їхню структуру.
Формою розподілу статистичної сукупності прийнято називати криву співвідношення частот І значень варіюючої ознаки.
За своєю формою розподіли поділяють на такі види: одно-, дво- та багатовершинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп із різними рівнями ознаки. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні і асиметричні (скошені), гостро- та плосковершинні.
У симетричному розподілі рівновіддалені від центру значення ознаки мають однакові частоти, а в асиметричному - вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія, і навпаки.
Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, модою і медіаною.
У симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення 
= Me = Mo .
В асиметричному між ними існують певні розбіжності. При правосторонній асиметрії > Me > Mo, при лівосторонній, навпаки, < Me < Mo.
Асиметрія, як відносна статистична характеристика дорівнює різниці між середнім значенням і медіаною або модою, поділеними на середнє квадратичне відхилення.
Стандартизовані відхилення
або 
характеризують напрям і міру скошеності розподілу. В симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії А>0, при лівосторонній А <0.
Асиметрія та ексцес - це дві пов'язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексна їх оцінка виконується на основі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу — це середня арифметична k-го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:
Моменти 3-го і 4-го порядку характеризують відповідно асиметрію та ексцес.
Міра асиметрії— це відносне відхилення, яке характеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу. У симетричному розподілі µ3 = 0. Чим більша скошеність ряду, тим більше
значення µ3
Для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів використовується стандартизований момент As = µ3 : σ3.
При правосторонній асиметрії коефіцієнт As>0, при лівосторонній AS<0. Звідси: правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння - від'ємною.
Вважається, що при As<0,25 асиметрія низька, якщо АS не перевищує 0,5 - середня, при A s > 0,5 - висока.
Ексцес розподілу - це ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центру розподілу.
Для вимірювання ексцесу використовується стандартизований
момент 4-го порядку Ek =µ4:σ4. У симетричному, близькому до
нормального, розподілі Ек=3. Очевидно, при гостровершинному розподілі Ек >3, при плосковершинному Ек <3.
Оцінка концентрації значень ознаки
Оцінка концентрації значень ознаки ґрунтується на відхиленнях часток двох розподілів - за кількістю елементів сукупності ф і обсягом значень ознаки Dj.
Коефіцієнт концентрації- це півсума модулів відхилень:
Межа коливання коефіцієнта: 0 
К 1:
v при К= 0 -рівномірний розподіл;
v при К=1 -повнаконцентрація;
v що більший ступінь концентрації, то більше значення К.
Коефіцієнти концентрації використовуються в регіональному
аналізі для оцінювання рівномірності територіального розподілу виробничих потужностей, фінансових ресурсів тощо.
Коефіцієнт локалізації характеризує співвідношення часток і використовується для оцінювання рівномірності розподілу і варіації різних регіонів:
Інтенсивність структурних зрушеньоцінюється за
допомогою середнього лінійного або середнього квадратичного відхилень часток:
де Di — частки відповідно базисного та поточного періоду;
n - число складових сукупності.
Розв'язок типових задач
Задача 1. Наведені такі дані про розподіл робітників підприємства за затратами часу на виготовлення однієї деталі:
| Затрати часу на одну деталь, хв. | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 | 30-32 | 32-34 |
| Кількість робітників, % |
Визначити:
1. середній розмір затрат часу на одиницю продукції;
2. середнє квадратичне відхилення;
3. моду і медіану;
4. коефіцієнти асиметрії та ексцесу.
Розв'язок:
Побудуємо розрахункову таблицю:
Таблиця 4.3.
| Вихідні показники | Розрахункові показники | |||||
| Затрати часу на одну деталь, хв. | Кількість робітників % f |  |  |  |  |  |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 22-24 | -250 | |||||
| 24-26 | -324 | |||||
| 26-28 | -34 | |||||
| 28-30 | ||||||
| 30-32 | ||||||
| 32-34 | ||||||
| Разом | -48 |
1. Середні затрати часу на одну деталь (трудомісткість)
2. Середнє квадратичне відхилення
3. Мода знаходиться в інтервалі від 28 до 30, оскільки цей інтервал має найбільшу частоту – 40 і визначається за формулою:
4. Медіана.
Спочатку знаходимо номер медіани за формулою:
тобто медіана знаходиться між номерами 50 і 51. Поступово нагромаджуючи частоти (2+12=14; 14+34=48; 48+40=98), визначаємо, що 50-й і 51-й номери знаходяться у четвертому інтервалі, тобто медіана також знаходиться в інтервалі від 28 до 30.
Далі здійснюємо розрахунок медіани за формулою:
5. Для характеристики форми розподілу визначаємо співвідношення показників центру розподілу: 
При такому співвідношенні, коли середня величина менша за моду і медіану, можна зробити висновок, що у розподілі робітників за розміром затрат часу існує лівостороння асиметрія.
Асиметрія, як відносна статистична характеристика, дорівнює різниці між середнім значенням і медіаною або модою, поділеними на середнє квадратичне відхилення.
6. Комплексну оцінку асиметрії та ексцесу виконуємо на основі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу – це середня арифметична k-го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:
Моменти 3-го і 4-го порядку характеризують відповідно асиметрію та ексцес.
звідси коефіцієнт асиметрії дорівнює:
Таким чином має місце незначна лівостороння асиметрія.
При правосторонній асиметрії коефіцієнт 
, при лівосторонній 
Звідси правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння – від’ємною. Вважається, що при 
асиметрія низька, якщо 
не перевищує 0,5 – середня, при 
- висока.
Ексцес розподілу – це ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центру розподілу.
звідси коефіцієнт ексцесу дорівнює:
Таким чином, Ek>3, що свідчить про наявність гостро вершинного розподілу. У симетричному, близькому до нормального розподілу Ek=3, при плоско вершинному Ek<3.
Задача 2. Наведені такі дані про розподіл підприємств цементної галузі за розміром основних виробничих фондів:
| Групи підприємств за розміром основних виробничих фондів, млн. грн. | Кількість підприємств у % до підсумку | Валова продукція у % до підсумку |
| 1-3 | 4,6 | 0,6 |
| 3-5 | 13,6 | 6,2 |
| 5-Ю | 15,9 | 9,9 |
| 10-20 | 52,3 | 59,4 |
| 20-30 | 13,6 | 23,9 |
| Разом | 100,0 | 100,0 |
Визначити коефіцієнт концентрації.
Розв'язок:
Оцінка концентрації значень ознаки грунтується на відхиленнях часток двох розподілів — за кількістю елементів сукупності, тобто за кількістю підприємств - dt і обсягом значень ознаки, тобто випуском продукції - /),-.
Коефіцієнт концентрації — це півсума модулів відхилень:
 |
| 0,046-0,006=0,04 |
| 0,136-0,062=0,074 |
| 0,159-0,099=0,06 |
| 0,523-0,594=0,071 |
| 0,136-0,239=0,103 |
Межа коливання: 
У даному випадку має місце більш-менш рівномірний розподіл. Коефіцієнт концентрації, що дорівнює 0,174, свідчить про досить низький рівень концентрації виробництва продукції у цементній галузі промисловості.
З А Д А Ч І
6.1. За результатами зимової екзаменаційної сесії студенти І курсу ЛДФА одержали такі оцінки з статистики:
| Оцінка | "5" | "4" | "3" | "2" |
| Кількість студентів |
Визначити показники характеристики форми розподілу -коефіцієнти асиметрії та ексцесу.
6.2. За даними про розподіл підприємств галузі за рівнем собівартості продукції визначити характеристики форми розподілу -коефіцієнти асиметрії і ексцесу. Зробити висновки.
| № з/п | Групи підприємств за собівартістю продукції, грн. | Кількість підприємств |
| 16-18 | ||
| 18-20 | ||
| 20-22 | ||
| 22-24 | ||
| 24-26 | ||
| 26-28 | ||
| Разом |
6.3. Статистичні характеристики розподілу робітників двох підприємств за рівнем заробітної плати становили:
| Показники | Завод № 1 | Завод №2 |
| Середня заробітна плата, гри. Мода рівня заробітної плати, грн. Дисперсія | 412,5 415,6 | 564,8 548,3 |
Порівняти варіацію та асиметрію розподілу робітників підприємств за рівнем зарплати. Зробити висновки.