Побудова біфуркаційної множини у просторі параметрів сімейства динамічних систем

Нехай динамічна система описується системою диференціальних рівнянь, що залежать від одного або кількох параметрів :

(2.2)

Розглянемо питання проте, як досліджується поведінка динамічної системи залежно від різних значень параметрів? Особливо будемо цікавитися такими значеннями параметрів, за яких здійснюється якісна перебудова фазового портрету.

Припустимо спочатку, що система (2.2) залежить від одного параметра, тобто . Для з'ясування вигляду портрету динамічної системи при зміні цього параметра, наприклад, у межах , потрібно розділити діапазон від на деяку кількість відрізків: , і при кожному значення параметра дослідити фазовий портрет динамічної системи. Іншими словами, для пошуку нерухомих точок для кожного необхідно розв’язати відповідну систему нелінійних алгебраїчних рівнянь:

У результаті, повинні бути отримані пари особливих точок як функції параметру .

Дослідження поведінки системи (2.2) можна оптимізувати, використовуючи метод продовження по параметру, який застосовується, коли динамічна система неперервно залежить від параметра .

Припустимо, що для початкового значення вдалося визначити (за допомогою тих чи тих чисельних методів розв'язання нелінійних рівнянь) нерухомі точки динамічної системи. Для наступного значення параметра будемо припускати, що ці особливі точки, які визначають фазовий портрет, зміняться незначно. Тому для запуску чисельного алгоритму розв'язання нелінійних рівнянь в якості початкової ітерації будемо використовувати корені, обчислені на попередньому кроці.

Взагалі кажучи, для кожного можна побудувати схему визначення нерухомих точок, виходячи з розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь за принципом схеми «предиктор-коректор». Якщо визначені властивості фазового портрету для попередніх : , і т.д., то вигідним представляється екстраполювати їх на i-ту точку. Таким чином, для визначення нерухомих точок на кожному i-му кроці слід використовувати двоетапну процедуру:

o на 1-му кроці будується екстраполяція залежності нерухомих точок від попередніх значень параметра (предиктор);

o на 2-му кроці ця екстраполяція коригується за допомогою розв’язання системи рівнянь (2.2) будь-яким чисельним методом, наприклад, методом Ньютона (коректор).

Якщо використовувати досить добре наближення до дійсного розв’язку, то обсяг обчислень на комп'ютері суттєво скоротиться. Такий підхід до розв'язання систем нелінійних рівнянь і називається алгоритмом продовження по параметру.

Варто наголосити, що певні особливі точки для кожного значення параметра потребують аналізу їх стійкості. На будь-якому з кроків, тобто для будь-якого , деякі точки із стійких можуть перетворюватися на нестійкі, і навпаки. Коли відбувається така подія, фазовий портрет якісно перебудовується. Наприклад, якщо для якихось значень особлива точка була нестійкою, а для певного вона стала стійкою, то фазовий портрет змінюється кардинально. У цьому випадку говорять про біфуркації зміни стійкості.

Важливо знайти значення параметрів, коли ті чи ті нерухомі точки змінюють тип стійкості. Тому корисно буває уточнити значення параметра , обчислюючи замість більш точне значення , відповідне моменту біфуркації. Таку задачу можна розв’язати, залучаючи знову ж таки алгоритм продовження по параметру. Тільки в цьому випадку система рівнянь, яку потрібно розв’язати, буде іншою. Нагадаємо, що біфуркація відповідає зміні знака дійсної частини одного з власних значень характеристичного рівняння матриці Df. Позначимо цю дійсну частину власного значення функцією таких аргументів:

.

Біфуркація, таким чином, визначається переходом цієї функції через 0. Для точного визначення моменту біфуркації необхідно розв’язати відповідне нелінійне рівняння з невідомим параметром .

Розглянемо ще один приклад з галузі математичної біології - логістичну модель популяції, що підлягає промислу, -
щоб проілюструвати біфуркаційний аналіз в багатовимірному випадку:

(2.3)

Тут швидкість зростання популяції описується параметром , а другий параметр (доданок ) моделює вилучення з популяції певного числа особин в одиницю часу. Атрактори одержаної динамічної системи визначаються квадратичним алгебраїчним рівнянням:

, (2.4)

розв’язок якого:

. (2.5)

Таким чином, система (2.3) має два атрактори і , які існують тільки, коли дискримінант квадратичного рівняння (2.4) більший або дорівнює нулю.

Зобразимо на площині розв’язки цього рівняння, тобто параболу (рис. 2.2). На осі абсцис відкладемо параметр , а про залежність від параметра просто будемо пам'ятати. При заданому значенні параметра , будуть існувати два атрактори і . Але такі два атрактори будуть існувати до критичного значення параметра , для якого . Це критичне значення дорівнює

.

При значеннях параметра розв’язків квадратичного рівняння немає, відповідно, жодного атрактора динамічна система мати не буде.

Як нескладно переконатися, один з атракторів є стійким, інший нестійким (на рис. 2.2 пунктиром показана нестійка гілка). Як і раніше, стійкий атрактор відповідає асимптотичному значенню чисельності популяції, трохи зниженій відносно логістичної ємності середовища. Видно, що зі зростанням параметра рівноважна чисельність популяції плавно знижується.

Рис 2.2. Атрактори системи (2.4), як функції параметра

При біфуркаційному значенні параметра відбувається взаємне народження і смерть стійкого і нестійкого атракторів. Така поведінка, наявність точки народження / смерті пари атракторів, дуже характерна для динамічних систем. Дану біфуркацію називають особливістю типу складка. У динамічних системах, що описуються, навіть, лише одним диференціальним рівнянням розглянутого типу, можуть існувати й інші типи біфуркацій, що часто зустрічаються на практиці.

При корені (2.5) відсутні, і, замість прямування
розв’язку рівняння (2.3) до деякого асимптотичного значення, воно в деякий момент часу перетворюється на нуль, а потім приймає (безглузді з біологічної точки зору) від’ємні значення (рис. 2.3). Іншими словами, при занадто інтенсивному промислі вся популяція вимирає.

Рис. 2.3. Розв’язок рівняння (2.3) для закритичного значення

Відзначимо, що динамічну систему з двома параметрами (2.3) вдалося розв’язати аналітично. При чисельному знаходженні такого типу біфуркацій за допомогою продовження по параметру, при можна зустрітися з наступними труднощами. Спроба визначити розв’язок алгебраїчного рівняння при нічого не дасть, оскільки розв’язку просто немає. Гілка розв’язку повертається назад, проходячи через точку . У цьому випадку необхідно змінити параметр продовження.