Лекція №4

4.1 Похибки вимірювань

Похибка вимірювань – це відхилення результатів вимірювання від дійсного значення вимірювальної величини. Похибки представляють собою суму цілого ряду складових, кожна з яких має свою причину.

Основні причини виникнення похибок пов’язані з:

- неякісною наладкою ЗВТ або зміщенням рівня наладки під час експлуатації ЗВТ;

- неправильною експлуатацією ЗВТ (не підтримують умови експлуатації);

- дією зовнішніх факторів на ЗВТ та об’єкт вимірювання (температура, магнітне поле, вібрації, тиск та інш.);

- властивостями об’єкта вимірювань;

- кваліфікацію оператора;

- іншими причинами.

Аналізуючи причини, в першу чергу необхідно виявити ті, що мають найбільший вплив.

4.2 Красифікація похибок вимірювань

а) У залежності від форми вираження похибки вимірювань поділяються на абсолютну і відносну.

Абсолютна (D) – це похибка вимірювання, що виражається в тих одиницях, що і вимірювальна величина і являє собою різницю між результатом вимірювання А та істинним Х_іст (дійсним Х_д) значенням вимірювальної величини.

Відносна (d) – являє собою відношення абсолютної похибки вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини, виражена в процентах або долях вимірюваної величини.

Якщо в долях, то:

б) В залежності від умов та режимів вимірювання відрізняють статичну і динамічну похибку.

Статична – це похибка, що не залежить від швидкості зміни вимірюваної величини в часі.

Динамічна – це похибка, що залежить від швидкості зміни вимірюваної величини в часі. Динамічна похибка зв’язана з інерційністю вимірювальних ланок ЗВТ, тобто з тим, що перетворення у вимірювальних ланках не проходить миттєво.

в) В залежності від характеру проявлення, можливостей ліквідації і причин виникнення, похибки поділяються на систематичні і випадкові.

Систематична – це похибка, що залишається постійною або закономірно зміною при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини.

Причини виникнення систематичних похибок:

- зношення робочих поверхонь ЗВТ, з допомогою яких здійснюється контакт з вимірювальним механізмом;

- зміни пружних властивостей деталей, а також їх природнє старіння;

- похибки градуювання (нанесення відміток шкали);

- збільшення щілин у вимірювальному механізмі;

- відхилення реальних елементів схеми від розрахункових і т.д.

- Ці похибки можуть зовнішньо себе не проявити і їх можна знайти при повірці і калібруванню, коли ЗВТ порівнюють з еталонами.

Випадкова – це похибка, яка змінюється випадковим шляхом при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини.

Незалежно від того, як би ми сумлінно не проводили вимірювання в одних і тих же умовах однієї і тієї ж величини, результат може відрізнятись один від одного. Випадкова похибка виникає при одночасній дії багатьох джерел, кожне з яких може мати непомітний вплив, але сумарна дія всіх джерел може бути досить впливовою.

При вимірюваннях виділяють також грубі похибки або промахи, що проявляються, як правило, через помилки операторів або різної зміни умов проведення вимірювань (вібрація, протяги та інш.).

Якщо промахи знаходять, то при обробці результатів вимірювань їх не враховують.

4.3 Закони розподілу випадкових похибок

Розглянемо такий приклад: припустимо, що є предмет, довжина якого виміряна за допомогою робочого еталона – оптичного мікроскопа і вона дорівнює 93.147 мм. Тепер цей предмет виміряємо за допомогою лінійки, штангенциркуля і мікрометра.

Ціна поділки: лінійки - 1 мм

штангенциркуля - 0.1 мм

мікрометра - 0.01 мм

Отримаємо результати вимірювань:

- з допомогою лінійки: l_л=93-94 мм

- з допомогою штангенциркуля l_шт=93.1-93.2 мм

- з допомогою мікрометра l_мк=93.14-93.15 мм

Абсолютна похибка складає:

D_л=93-93.147=-0.147 мм

D_шт=93.1-93.147=-0.047 мм

D_мк=93.14-93.147=-0.007 мм

Із наведеного видно, що абсолютна похибка залежить як і від похибки конкретного ЗВТ, так і від похибки робочого еталону, за допомогою якого визначено “дійсне” значення вимірювальної величини.

При відсутності робочого еталону можна визначити похибку результату вимірювання на основі результатів, отриманих за допомогою конкретних ЗВТ (лінійка, штангенциркуль, мікрометр). З цією метою і введено поняття

густини розподілу ймовірностей і функції розподілу ймовірностей.

Нехай є тільки два прилади для вимірювання довжини того ж предмета – цифровий мікрометр і аналоговий мікрометр, ціна поділки яких 0.01 мм. Виміряємо 100 раз одним і другим приладом даний предмет. Результати цих вимірювань занесемо в таку таблицю:

Таблиця 4.1 – Результати вимірювань

Кількість однакових результатів	Хі цифрового ЗВТ	Yi аналогового ЗВТ	Р(Хі)	F(Xi)
	93.11	93.10-93.11	0.02	0.02
	93.12	93.11-93.12	0.05	0.07
	93.13	93.12-93.13	0.10	0.17
	93.14	93.13-93.14	0.20	0.37
	93.15	93.14-93.15	0.24	0.61
	93.16	93.15-93.16	0.19	0.80
	93.17	93.16-93.17	0.11	0.91
	93.18	93.17-93.18	0.05	0.96
	93.19	93.18-93.19	0.03	0.99
	93.2	93.19-93.2	0.01	1.00
Z=100=n

Де:

На основі отриманих результатів побудуємо такі графіки: Р(Х_і) і F(X_i) в залежності від найменшого і найбільшого виміряного значення.

_Р(Хі)

0.30

0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
	93.11	93.12	93.13	93.14	93.15	93.16	93.17	93.18	93.19	93.2

^Хі

Рисунок 4.1 – Графік розподілу ймовірностей

1 – густина розподілу ймовірностей;

2 – полігон розподілу ймовірностей.

F(Xi) 1.2

0.8
0.6
0.4
0.2
0.00
	93.11	93.12	93.13	93.14	93.15	93.16	93.17	93.18	93.19	93.2

^Хі

Рисунок 4.2 – Графік функції розподілу ймовірностей.

Графік залежності Р(Х_і) називають густина розподілу ймовірностей, фізичний зміст якої є: величина Р(Х_і) характеризує, яка доля від всієї кількості вимірювань буде відповідати значенням Х_і.

Графік залежності F(X_i) називають функцією розподілу ймовірностей, тобто величиною, яка характеризує ймовірність того, що випадкова величина Х буде знаходитись в діапазоні [-¥, Х_і].

Крива 2 називається в математиці кривою Гаусса, а закон розподілу ймовірностей, що описується цією кривою, називається нормальним або Гаусса.

У метрології виділяють:

- рівномірний закон розподілу, графіки якого мають вигляд:

Р(Хі) Р(Хі)

а Хс b Хі а b Хі

Рисунок 4.3 – Графік рівномірного закону розподілу.

- трикутний (або Сімпсона) закон розподілу, графіки якого мають вигляд:

Р(Хі) Р(Хі)

0.5

а Хс b Хі а Хс b Хі

Рисунок 4.4 – Графік трикутного (або Сімпсона) закону розподілу.